歷年名牌大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)考試試題及答案

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流歷年名牌大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)考試試題及答案.精品文檔.上海交通大學(xué)2007年冬令營(yíng)選拔測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、填空題（每小題5分，共50分）1設(shè)函數(shù)滿足，則 2設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，則 3設(shè)且，則方程的解的個(gè)數(shù)為 4設(shè)扇形的周長(zhǎng)為6，則其面積的最大值為 5 6設(shè)不等式與的解集分別為M和N若，則k的最小值為 7設(shè)函數(shù)，則 8設(shè)，且函數(shù)的最大值為，則 96名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應(yīng)考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷離開(kāi)座位，則其中一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾其余尚在考試的考生的概率為 10已知函數(shù)，對(duì)于，定義，若，則 二、計(jì)算與證明題（

2、每小題10分，共50分）11工件內(nèi)圓弧半徑測(cè)量問(wèn)題為測(cè)量一工件的內(nèi)圓弧半徑，工人用三個(gè)半徑均為的圓柱形量棒放在如圖與工件圓弧相切的位置上，通過(guò)深度卡尺測(cè)出卡尺水平面到中間量棒頂側(cè)面的垂直深度，試寫出用表示的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值12設(shè)函數(shù)，試討論的性態(tài)（有界性、奇偶性、單調(diào)性和周期性），求其極值，并作出其在內(nèi)的圖像13已知線段長(zhǎng)度為，兩端均在拋物線上，試求的中點(diǎn)到軸的最短距離和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)參考答案：1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 27. 8. 9. 10. 11.，12. ；偶函數(shù)；周期為 13. ；14.略；反證法 15. 2；3；2008年交大冬令營(yíng)數(shù)學(xué)試題參考答案2008.

3、1.1一填空題1若，則22函數(shù)的最大值為_(kāi)3等差數(shù)列中，則前項(xiàng)和取最大值時(shí)，的值為_(kāi)204復(fù)數(shù),若存在負(fù)數(shù)使得，則5若，則6數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則這個(gè)數(shù)列的前99項(xiàng)之和7中的系數(shù)為39212258數(shù)列中，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 9甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種商品甲廠生產(chǎn)的此商品占市場(chǎng)上的80%，乙廠生產(chǎn)的占20%；甲廠商品的合格率為95%，乙廠商品的合格率為90%若某人購(gòu)買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品，則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為10若曲線 與 的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，則 二解答題130個(gè)人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人選出，這些人中最高的設(shè)為；把每行最高的人選出，這些人中最矮的設(shè)為（）是否有可能比高？（）和是否可能相

4、等？1 解：不可能 若為同一人，有； 若在同一行、列，則均有； 若不在同一行、列，同如圖1以5*6的矩形為例，記所在列與所在行相交的人為。因?yàn)闉榱凶畎娜耍杂?；又因?yàn)闉榱凶罡叩娜耍杂?；于是有。綜上，不可能有 有可能，不妨令30個(gè)人身高由矮至高分別為，如圖2所示： 此時(shí)有3世界杯預(yù)選賽中，中國(guó)、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在A組，進(jìn)行主客場(chǎng)比賽規(guī)定每場(chǎng)比賽勝者得三分，平局各得一分，敗者不得分比賽結(jié)束后前兩名可以晉級(jí)（）由于4支隊(duì)伍均為強(qiáng)隊(duì)，每支隊(duì)伍至少得3分于是 甲專家預(yù)測(cè)：中國(guó)隊(duì)至少得10分才能確保出線； 乙專家預(yù)測(cè)：中國(guó)隊(duì)至少得11分才能確保出線問(wèn)：甲、乙專家哪個(gè)說(shuō)的對(duì)？為什么？（）

5、若不考慮中條件，中國(guó)隊(duì)至少得多少分才能確保出線？解：乙專家 若中國(guó)隊(duì)得10分，則可能出現(xiàn)其余三隊(duì)12分、10分、10分的情況，以澳大利亞12分，卡塔爾10分，伊拉克3分為例，得分情況如下表。中國(guó)隊(duì)無(wú)法確保晉級(jí)，因此甲專家說(shuō)的不對(duì)。澳澳中中卡卡伊伊總分澳30303312中03130310卡03103310伊0030003 假設(shè)中國(guó)隊(duì)得了11分而無(wú)法晉級(jí)，則必為第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12場(chǎng)比賽四隊(duì)總得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四隊(duì)總分36分時(shí)不能出現(xiàn)一場(chǎng)平局，而11不是3的倍數(shù)，故出線平局，矛盾！ 所以中國(guó)隊(duì)得11分可以確保出線。 若中國(guó)隊(duì)

6、得12分，則可能出線如表情況，仍無(wú)法確保晉級(jí)。澳澳中中卡卡伊伊總分澳30303312中03033312卡03303312伊0000000 假設(shè)中國(guó)隊(duì)得13分仍無(wú)法出線，則必為第3名，則第一名、第二名均不少于13分，總得分已經(jīng)不少于39分大于36分，矛盾！ 故中國(guó)隊(duì)至少得13分才可以確保出線。4通信工程中常用n元數(shù)組表示信息，其中或1，設(shè)，表示和中相對(duì)應(yīng)的元素不同的個(gè)數(shù)（）問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組 使得；（）問(wèn)存在多少個(gè)5元數(shù)組 使得；（）令，求證：解：5； ；記中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為1的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)一個(gè)為1，一個(gè)為0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為；即是中1的個(gè)數(shù)，即是中1的個(gè)數(shù)，是中對(duì)應(yīng)

7、項(xiàng)一個(gè)為1，一個(gè)為0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)。于是有中1一共有個(gè)，即所以有于是5曲線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在上，求解：設(shè)， 聯(lián)立與，得：知，； 且 得 又 所以 解得或（舍）2011年同濟(jì)大學(xué)等九校(卓越聯(lián)盟)自主招生 數(shù)學(xué)試題一、選擇題,1.已知向量為非零向量,則夾角為( ) A. B. C. D. 2.已知?jiǎng)t( ) A. B. C . D.3.在正方體中,為棱的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且,則異面直線與所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 4.為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為( ) A. B. C. D. 5.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且的重心為拋物線的焦點(diǎn),若邊

8、所在的直線方程為,則拋物線方程為( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均不等于2,且為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為( ) A. B. C. D. 7.若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 8.如圖,內(nèi)接于,過(guò)中點(diǎn)作平行于的直線交于,交于,交在點(diǎn)處的切線于,若,則的長(zhǎng)為( )OABCDEFGPl第8題圖 A. B. C. D.9.數(shù)列共有11項(xiàng),且 滿足這種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 16010.設(shè)是坐標(biāo)平面按順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)做角度為的旋轉(zhuǎn),表示坐標(biāo)平面關(guān)于軸的鏡面反射.用表示變換的

9、復(fù)合,先做,再做.用表示連續(xù)次的變換,則是( ) A. B. C. D.二、解答題13.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且橢圓與直線相切.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)作兩條互相垂直的直線,與橢圓分別交于及,求四邊形面積的最大值與最小值.14.一袋中有個(gè)白球和個(gè)黑球.從中任取一球,如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該黑球不再放回,另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后,記袋中白球的個(gè)數(shù)為.(1)求;(2)設(shè),求(3)證明:參考答案:一.選擇題二.解答題13.【解】設(shè)橢圓方程為,因?yàn)樗c直線只有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程組只有一解,整理得.所以得.又因?yàn)榻裹c(diǎn)為,所以聯(lián)立上式解得所以橢圓方程為.(2

10、)若斜率不存在(或?yàn)?)時(shí),則.若斜率存在時(shí),設(shè)為,則為.所以直線方程為.設(shè)與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)為聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得.則所以同理可得所以因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以,也所以所以綜上所述,的面積的最小值為,最大值為2.14.【解】(1)時(shí),袋中的白球的個(gè)數(shù)可能為個(gè)(即取出的是白球),概率為;也可能為個(gè)(即取出的是黑球),概率為,故.(2)首先,時(shí),第次取出來(lái)有個(gè)白球的可能性有兩種;第次袋中有個(gè)白球,顯然每次取出球后,球的總數(shù)保持不變,即個(gè)白球(故此時(shí)黑球有個(gè)),第次取出來(lái)的也是白球,這種情況發(fā)生的概率為第次袋中有個(gè)白球,第次取出來(lái)的是黑球,由于每次球的總數(shù)為個(gè),故此時(shí)黑球的個(gè)數(shù)為.這種情況發(fā)生的概率為.故

11、(3)第次白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類: 第次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望,即.由于白球和黑球的總個(gè)數(shù)為,第次取出來(lái)的是白球,這種情況發(fā)生的概率是;第次取出來(lái)的是黑球,這種情況發(fā)生的概率是,此時(shí)白球的個(gè)數(shù)是 故清華大學(xué)保送生暨自主招生北京冬令營(yíng)數(shù)學(xué)筆試試題（2009年12月30日）1.求的單調(diào)區(qū)間及極值.2.設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)三角形，為除去后剩下三個(gè)三角形內(nèi)切圓面積之和.求.3.已知某音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個(gè)部件工作的概率如下圖所示.能聽(tīng)到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B中有一工作，C工作，D與E中有一工作；且若D和E同時(shí)工作則有立體聲效果.A 0.9

12、0B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94求：（1）能聽(tīng)到立體聲效果的概率； （2）聽(tīng)不到聲音的概率.4.(1)求三直線，所圍成三角形上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)； (2)求方程組的整數(shù)解個(gè)數(shù).5.已知，ABC是正三角形，且B、C在雙曲線一支上.(1)求證B、C關(guān)于直線對(duì)稱；(2)求ABC的周長(zhǎng).復(fù)旦大學(xué)2010年選拔生考試數(shù)學(xué)試題一、填空(每小題5分，共45分)1sinx+siny=0，則cos2x-sin2y=_2平面p1, p2成a的二面角，平面p1中的橢圓在平面p2中的射影是圓，那么橢圓短軸與長(zhǎng)軸之比為_(kāi)3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，則x+y=_4電話號(hào)碼0，1不能是首位，則本市電

13、話號(hào)碼從7位升到8位，使得電話號(hào)碼資源增加_52002=83a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37正整數(shù)，則a0=_6的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)7_8空間兩平面a,b，是否一定存在一個(gè)平面均與平面a,b垂直？_9在ABC中，cos(2A-C)cos(2C-B)，則此三角形的形狀是_二、解答題(共87分)1求解：cos3xtan5xsin7x2數(shù)列3，3-lg2，,3-(n-1)lg2問(wèn)當(dāng)n為幾時(shí)，前n項(xiàng)的和最大？3求證：xR時(shí)，|x-1|4|x3-1|4a為何值時(shí)，方程有解？只有一解？5一艘船向西以每小時(shí)10公里的速度航行，在它的西南方向有一臺(tái)風(fēng)中心正以每小時(shí)20公里速度向正北方向移動(dòng)，船

14、與臺(tái)風(fēng)中心距離300米，在臺(tái)風(fēng)中心周圍100米處將受到影響，問(wèn)此船航行受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間段長(zhǎng)度？6x3-2y31的所有整數(shù)解(x,y)，試證明：1設(shè)f(x)的原函數(shù)是，則_2設(shè)，則函數(shù)(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是_6兩個(gè)等差數(shù)列200，203，206，和50，54，58都有100項(xiàng)，它們共同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的兩根分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)，則k的取值范圍是_8將3個(gè)相同的球放到4個(gè)盒子中，假設(shè)每個(gè)盒子能容納的球數(shù)不限，而且各種不同的放法的出現(xiàn)是等可能的，則事件“有3個(gè)盒子各放一個(gè)球”的概率是_2、選擇題

15、(本題共15分，每小題3分在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)正確，把所選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi))1若今天是星期二，則31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13個(gè)字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戲，若字母的各種排列是隨機(jī)的，恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )ABm >-3Cm >-1D4若一項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m的等比數(shù)列的中間兩項(xiàng)正好是方程x2+px+q0的兩個(gè)根，則此數(shù)列各項(xiàng)的積是( )ApmBp2mCqmDq2m5設(shè)f (x0)2

16、，則( )A-2B2C-4D43、證明與計(jì)算（本題61分）1(6分)已知正數(shù)列a1，a2，an，且對(duì)大于1的n有，試證：a1，a2，an中至少有一個(gè)小于12(10分)設(shè)3次多項(xiàng)式f(x)滿足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，試求f(x)3(8分)求極限4(10分)設(shè)在x0處可導(dǎo)，且原點(diǎn)到f(x)中直線的距離為，原點(diǎn)到f(x)中曲線部分的最短距離為3，試求b，c，l，m的值(b,c>0)5(8分)證明不等式：，6(8分)兩名射手輪流向同一目標(biāo)射擊，射手甲和射手乙命中目標(biāo)的概率都是若射手甲先射，誰(shuí)先命中目標(biāo)誰(shuí)就獲勝，試求甲、乙兩射手獲勝的概率OyxB1A2A1B27(11分

17、)如圖所示，設(shè)曲線上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角頂點(diǎn)在曲線上試求An的坐標(biāo)表達(dá)式，并說(shuō)明這些三角形的面積之和是否存在1. 數(shù)的位數(shù)是_。2. 求_。3. ，則用表示_。4. ，求_。5. ，求的最小值為_(kāi)。6. 有一盒大小相同的球，它們既可排成正方形，又可排成一個(gè)正三角形，且正三角形每邊上的球恰比每邊上正方形多2個(gè)小球，球數(shù)為_(kāi)。7. 數(shù)列中，求_。8. 展開(kāi)式中系數(shù)為_(kāi)。9. 一人排版，有三角形的一個(gè)角，大小為，角的兩邊一邊長(zhǎng)，一邊長(zhǎng)，排版時(shí)把長(zhǎng)的那邊錯(cuò)排成長(zhǎng)，但發(fā)現(xiàn)角和對(duì)邊長(zhǎng)度沒(méi)變，則_。10. 擲三粒骰子，三個(gè)朝上點(diǎn)恰成等差列的概率為_(kāi)。11. ，

18、則（ ）12. A B C D13. 某人向正東走，再左轉(zhuǎn)朝新方向走了，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)，則（ ）A B C3 D不確定A B C D14. ，則（ ）A， B的面積 C對(duì)，第一象限 D，的圓心在上15. 一個(gè)圓盤被條等間隔半徑與一條割線所分割，則不交疊區(qū)域最多有（ ）個(gè)A B C DA B C D16. 對(duì)，定義，則滿足（ ）A交換律 B結(jié)合律 C都不 D都可17. ，則（ ）A3 B4 C5 D618. ，在上最小值為，求。19. ，求的最小值。20. ，求21. （為參數(shù)）求頂點(diǎn)軌跡，求在上截得最大弦長(zhǎng)的拋物線及其長(zhǎng)。22. 為遞增數(shù)列，在上對(duì)應(yīng)為，以與曲線圍成面積為，若為的等比數(shù)列，求和。

19、1三次多項(xiàng)式f(x)滿足f(3)2f(1)，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2，則第三個(gè)根為_(kāi)2用長(zhǎng)度為12的籬笆圍成四邊形，一邊靠墻，則所圍成面積S的最大值是_3已知，x+2y1，則的最小值是_4有4個(gè)數(shù)，前3個(gè)成等比數(shù)列，后3個(gè)成等差數(shù)列，首末兩數(shù)和為32，中間兩數(shù)和為24，則這四個(gè)數(shù)是_5已知f(x)=ax7+bx5+x2+2x-1，f(2)=-8，則f(-2)=_6投三個(gè)骰子，出現(xiàn)三個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率是_7正四面體的各個(gè)面無(wú)限延伸，把空間分為_(kāi)個(gè)部分8有n個(gè)元素的集合分為兩部分，空集除外，可有_種分法9有一個(gè)整數(shù)的首位是7，當(dāng)7換至末位時(shí)，得到的數(shù)是原數(shù)的三分之一，則原數(shù)的最小值是_10100!末尾連續(xù)有_個(gè)零二、解答題（本大題共60分，每題10分）11數(shù)列an的a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求an和123個(gè)自然數(shù)倒數(shù)和為1求所有的解13已知x1000+x999(x+1)+(x+1)1000，求x50的系數(shù)14化簡(jiǎn)：(1) ；(2) 15求證：為最簡(jiǎn)分式1函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，則f(x)