大學高等數(shù)學定理公式

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流大學高等數(shù)學定理公式.精品文檔.第一章 函數(shù)與極限 1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。 2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列xn不能同時收斂于兩個不同的極限。 定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。 如果數(shù)列xn無界，那么數(shù)列xn一定發(fā)散；但如果數(shù)列xn有界，卻不能斷定數(shù)列xn一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)

2、列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。 定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系)如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列xn有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列xn是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1中子數(shù)列x2k-1收斂于1，xnk收斂于-1，xn卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。 3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示xx0，所以xx0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒有定義無關。 定理(極限的局部保號性)如果lim(xx0)時f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點那么x0的某一去心鄰域，

3、當x在該鄰域內(nèi)時就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函數(shù)f(x)當xx0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。 一般的說，如果lim(x)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(xx0)f(x)=，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。 4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮??；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮??；常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮??；定理如果F1(x)F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x

4、)=b，那么ab. 5、極限存在準則兩個重要極限lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件：ynxnzn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準則也成立。 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 6、函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當xx0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。 不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(xx0)f(x)不存在；3、雖在x=

5、x0有定義且lim(xx0)f(x)存在，但lim(xx0)f(x)f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。 如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。 定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。 定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應的區(qū)間Iy=y|y=f(x)，xIx上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 定理

6、(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即mf(x)M.定理(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)<0)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點(a<<b）。 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。 第二章 導數(shù)與微分 1、導數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點x0處可導的充

7、分必要條件是在點x0處的左極限lim(h-0)f(x0+h)-f(x0)/h及右極限lim(h+0)f(x0+h)-f(x0)/h都存在且相等，即左導數(shù)f-(x0)右導數(shù)f+(x0)存在相等。2、函數(shù)f(x)在點x0處可導=>函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)>在該點可導。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件而不是充分條件。 3、原函數(shù)可導則反函數(shù)也可導，且反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。 4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導；函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。 第三章 中值定理與導數(shù)的應用 1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)

8、f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(a<<b），使的函數(shù)f（x）在該點的導數(shù)等于零：f（）= 0. 2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(a<<b），使的等式f（b）-f（a）= f（）（b-a）成立即f（）= f（b）-f（a）/（b-a）。 3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且F(x)在(a，b)內(nèi)的每一點處均不

9、為零，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點，使的等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f()/F()成立。 4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、/、0×、-、00、1、 0等形式。 5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f(x)>0，那么函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)增加；(2)如果在(a，b)內(nèi)f(x)<0，那么函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)減少。 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定

10、義區(qū)間，就能保證f(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。 6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。 在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。 定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導數(shù)為零，即f(x0)=0.定

11、理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導，且f(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時，f(x)恒為正；當x去x0右側(cè)臨近的值時，f(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時，f(x)恒為負；當x去x0右側(cè)臨近的值時，f(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側(cè)臨近的值時，f(x)恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。 定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f(x0)=0，f(x0)0那么：(1)當f(x0)<0時，函數(shù)f(

12、x)在x0處取得極大值；(2)當f(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。 7、函數(shù)的凹凸性及其判定設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1，x2恒有f(x1+x2)/2<f(x1)+f(x1)/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有f(x1+x2)/2>f(x1)+f(x1)/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。 定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間a，b上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)

13、內(nèi)f(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間a，b上的圖形是凸的。 判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f(x)；(2)令f(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號，如果f(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側(cè)的符號相反時，點(x0，f(x0)是拐點，當兩側(cè)的符號相同時，點(x0，f(x0)不是拐點。 在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點，這些點也要作為分點。第四章 不定積分 1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F(x)，使

14、對任一xI都有F(x)=f(x)；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。 分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設對數(shù)和反三角函數(shù)為u. 2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。 第五章 定積分 1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程 2、函數(shù)可積的充分條件定理設f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a，b上可積，即連續(xù)=>

15、;可積。 定理設f(x)在區(qū)間a，b上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間a，b上可積。 3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間a，b上f(x)0則abf(x)dx0.推論如果在區(qū)間a，b上f(x)g(x)則abf(x)dxabg(x)dx.推論|abf(x)dx|ab|f(x)|dx.性質(zhì)設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值，則m(b-a)abf(x)dxM(b-a)，該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。 性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a，b上至少存在一個點，使下式成立：abf(x)dx=

16、f()(b-a)。 4、關于廣義積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上除點c(a<c<b）外連續(xù)，而在點c的鄰域內(nèi)無界，如果兩個廣義積分acf（x）dx與cbf（x）dx都收斂，則定義abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx，否則（只要其中一個發(fā)散）就稱廣義積分abf（x）dx發(fā)散。  第六章 定積分的應用 求平面圖形的面積(曲線圍成的面積) 直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù)) 極坐標系下(r，x=rcos，y=rsin)(扇形面積公式S=R2/2) 旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=abf(x)2dx，其中f(x

17、)指曲線的方程) 平行截面面積為已知的立體體積(V=abA(x)dx，其中A(x)為截面面積) 功、水壓力、引力 函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*abf(x)dx) 第七章 多元函數(shù)微分法及其應用 1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y

18、)=0(xy)/(x2+y2)x2+y20 2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設函數(shù)f(x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點或邊界點且P0D，如果lim(xx0，yy0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點P0(x0，y0)連續(xù)。 性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。 性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。 3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導如果一元函數(shù)在某點具有導數(shù)，則它在該點必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導數(shù)在某點都存

19、在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。 4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導。 5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導數(shù)存在且在點(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。 6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)具有偏導數(shù)，且在點(x0，

20、y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必為零。 定理(充分條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC-B2=0時可能有也可能沒有。 7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。 (2)對于每一個駐點(x0，y