多項(xiàng)式的根之美

1、.多項(xiàng)式的根之美木遙按：這是美國數(shù)學(xué)家JohnBaez今年11月14日在他的網(wǎng)頁上貼出來的一篇文章原文，很快引起了許多人的興趣。標(biāo)題中的“根是指數(shù)學(xué)中一個(gè)多項(xiàng)式的解。假如你還沒有忘光你的高中數(shù)學(xué)課，就應(yīng)該知道下面這兩個(gè)事實(shí)：任何一個(gè)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中必有根，并且每個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)于一個(gè)點(diǎn)。這樣，給定一系列多項(xiàng)式，我們就可以把它們的根都畫在復(fù)平面上，從而形成一些特定的圖案。請(qǐng)放心，即使你對(duì)多項(xiàng)式毫不理解，也不會(huì)阻礙你欣賞這些圖案之美的。也許你曾經(jīng)聽說過經(jīng)典的曼德布洛特集合Mandelbrotset，那你很容易就能在這里看到某些相似之處。所不同的是，人們對(duì)這些新的圖案還所知甚少。下面所有括

2、號(hào)中的文字都是我所添加，以幫助不熟悉復(fù)平面的朋友理解所說那些的點(diǎn)的位置。我的朋友DanChristensen發(fā)現(xiàn)了一幅令人贊嘆的圖畫見題圖。它是由所有系數(shù)為-4到4之間的整數(shù)的5次以下多項(xiàng)式的根在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成的。點(diǎn)擊圖片可以看大圖。二次多項(xiàng)式的根是灰色的，三次多項(xiàng)式的根是青藍(lán)色的，四次多項(xiàng)式的根是紅色的，五次多項(xiàng)式的根是黑色的。橫軸是實(shí)軸，縱軸是虛軸，中間的大洞的中心是原點(diǎn)。兩側(cè)小一點(diǎn)的洞的中心是±1，在±i處和1的所有六個(gè)虛根出也各有一個(gè)小洞即中間那個(gè)大洞上下不遠(yuǎn)處對(duì)稱的那些小洞。你可以在這里看到許多迷人的圖案，給人的感覺是這些整系數(shù)多項(xiàng)式的根在竭力避開那些整點(diǎn)和

3、單位根似的，除非這些整點(diǎn)和單位根本身就是多項(xiàng)式的根。假如你把圖案放大，可以看到更多細(xì)節(jié)：在這里你可以看到，在1這個(gè)點(diǎn)所在的空白區(qū)域周圍環(huán)繞著一些美麗的羽毛，在expi/3這個(gè)點(diǎn)周圍有一個(gè)六瓣的星形即左上角那個(gè)梅花形狀的洞，還有一條奇特的紅色連線把這兩個(gè)點(diǎn)連接起來，還有很多其他的點(diǎn)周圍的星形的洞，諸如此類。人們應(yīng)該開場(chǎng)研究這些東西才對(duì)！讓我們把所有系數(shù)為-n到n之間的整數(shù)的d次以下多項(xiàng)式的全體根構(gòu)成的集合稱為Christensen集Cd,n，很顯然當(dāng)d和n越大，Cd,n這個(gè)集合就越大，并且當(dāng)n趨于無窮大時(shí)這個(gè)集合趨于布滿全復(fù)平面。假如固定d,令n趨向于無窮大，那么我們就能得到全體有理復(fù)數(shù)；假如令

4、d和n同時(shí)趨于無窮大，那么我們就能得到全體代數(shù)復(fù)數(shù)。于是一個(gè)有趣的問題就是，假如我們固定n，令d趨于無窮大，會(huì)得到什么呢？在上面這些圖片的鼓舞下，SamDerbyshire決定繪制一些分辨率更高的多項(xiàng)式根的圖片。試驗(yàn)了幾次之后，他覺得他最喜歡的是系數(shù)為±1的多項(xiàng)式。他把所有24次以下的這樣的的多項(xiàng)式的根繪制成一副高明晰度的圖片，這些多項(xiàng)式一共有224個(gè)，其根大約共有24×224個(gè)，也就是大約四億個(gè)。他用mathematica一個(gè)數(shù)學(xué)軟件花了大概四天時(shí)間才計(jì)算出所有這些根，得到了大約5G的數(shù)據(jù)。然后他用Java語言生成了這幅美妙的圖案：顏色表示根的密度，從黑色到暗紅色到黃色再

5、到白色。上圖是低分辨率版本，這里有一個(gè)90M的文件可供。我們可以放大一點(diǎn)看到更多細(xì)節(jié)：請(qǐng)注意單位根周圍的那些小洞，還有圓弧內(nèi)部的那些羽毛。為了更清楚地觀察，我們把下面這些標(biāo)記出來的區(qū)域放大：這里是1這個(gè)點(diǎn)處的那個(gè)洞。即上面最右邊那個(gè)標(biāo)記出來的區(qū)域。中間那條白線是實(shí)軸。這是因?yàn)橛蟹浅６嗟亩囗?xiàng)式根都是實(shí)數(shù)。然后這里是i這個(gè)點(diǎn)處的洞。即最上面那個(gè)標(biāo)記區(qū)域。這是expi/4這個(gè)點(diǎn)周圍。差不多位于1和i正中央。請(qǐng)注意，根的密度在接近這個(gè)點(diǎn)的時(shí)候會(huì)變大，然后又突然變小?？梢钥吹竭@些密度所形成的微妙的圖案。但是更漂亮的是當(dāng)我們來到單位圓內(nèi)部時(shí)的那些羽毛狀圖案！這里是實(shí)軸附近的樣子，這個(gè)圖的中心位于4/5點(diǎn)處

6、。右邊數(shù)第二個(gè)標(biāo)記區(qū)域。在4/5i點(diǎn)處的樣子就截然不同了。從上數(shù)第二個(gè)標(biāo)記區(qū)域。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)?！皫熤拍?，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時(shí)國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也。“師之

7、含義，如今泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫??！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者。“老“師連用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對(duì)知識(shí)淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識(shí)的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識(shí)，更重于傳播知識(shí)。但是我覺得最漂亮的還要說是1/2expi/5這個(gè)點(diǎn)周圍的區(qū)域。剩下的那個(gè)標(biāo)記區(qū)域。這幅圖生動(dòng)的展示出，在我們的數(shù)學(xué)研究中，規(guī)律性是如何從一團(tuán)混沌中逐漸成型的，就像從薄霧中隱約顯現(xiàn)出來一樣。要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才