函數(shù)與方程教案

1、第四章：函數(shù)應(yīng)用§1：函數(shù)與方程教學(xué)分析:課本選取探究具體的一元二次方程的根與其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系作為本節(jié)的入口。其意圖是讓學(xué)生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，使新知識(shí)與原有知識(shí)形成聯(lián)系。教學(xué)目標(biāo)：1、讓學(xué)生明確“方程的根與“函數(shù)的零點(diǎn)的密切聯(lián)系，學(xué)會(huì)結(jié)合函數(shù)圖像性質(zhì)判斷方程根的個(gè)數(shù)，學(xué)會(huì)用多種方法求方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)。2、通過本節(jié)學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握“由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，在今后學(xué)習(xí)中利用這一規(guī)律探索更多的未知世界。重點(diǎn)難點(diǎn)：根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)；函數(shù)零點(diǎn)的概念。復(fù)習(xí)引入：同學(xué)們好，今天我們來進(jìn)行第四章函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)，這一節(jié)

2、課我們先來學(xué)習(xí)第一節(jié)函數(shù)與方程。在講新課之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程、一元二次方程，并會(huì)對(duì)它們進(jìn)行求解?，F(xiàn)在來看幾個(gè)方程：ax+b=0(a0) 這是一個(gè)一元一次方程，我們能很容易求出方程的解是x=.ax+bx+c=0(a0) 這是一個(gè)一元二次方程，在對(duì)一元二次方程求解時(shí)我們會(huì)先用判別式=b4ac來判斷方程是否有實(shí)解。當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，xx;當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，x=x;當(dāng)0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根。當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，我們可以通過求根公式求出一元二次方程的根：x=。x+4x+3x+2x+1=0 我們知道這是一個(gè)一元五次方程，對(duì)于這樣一個(gè)高次方程大

3、家會(huì)不會(huì)求解？能不能知道這個(gè)方程是否有解？下面我們就來學(xué)習(xí)怎樣判斷一個(gè)給定方程的解是否存在的問題？寫標(biāo)題1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在一、 例1：給出三個(gè)方程：x-2x-3=0； x-2x+1=0 ；x-2x+3=0分析：這三個(gè)都是簡單的一元二次方程，我們可以通過判別式來判斷方程是否有解，假設(shè)有解，也能很容易的求出。解：0 x=3，x=-1；對(duì)應(yīng)函數(shù)：f(x) = x-2x-3=0 x= x=1；對(duì)應(yīng)函數(shù)：f(x) = x-2x+10 無實(shí)解；對(duì)應(yīng)函數(shù)：f(x) = x-2x+3圖像：提問：觀察求出的三個(gè)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？總結(jié)： 一元二次方程的根就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)

4、的橫坐標(biāo)。一元二次方程根的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等。對(duì)于函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，我們來學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)名詞函數(shù)零點(diǎn)。二、 函數(shù)零點(diǎn)1 概念：我們把函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè) 函數(shù)的零點(diǎn)。說明：零點(diǎn)是所在函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，并不是一個(gè)點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的根。函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)相等。學(xué)習(xí)過零點(diǎn)概念及以上4點(diǎn)說明，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)判斷零點(diǎn)：要求函數(shù)的零點(diǎn)就要看函數(shù)圖像與x軸是否有交點(diǎn)，也即相應(yīng)方程是否有實(shí)根。因此得到判斷零點(diǎn)的方法。2 判斷零點(diǎn)的方法：方程f(x)=0有實(shí)根函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)

5、有零點(diǎn)?？傻贸觯悍匠蘤(x)=0的實(shí)根與函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。那如果所給的函數(shù)的圖像不易畫出，又不能求出其對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)，我們?cè)鯓优袛嗪瘮?shù)有沒有零點(diǎn)呢？觀察例1中第一個(gè)方程的對(duì)應(yīng)圖像：f(x) = x-2x-3從圖像上看，我們知道函數(shù)f(x) = x-2x-3有兩個(gè)零點(diǎn)：-1,3.而能找到區(qū)間-2,0使零點(diǎn)-1在-2,0內(nèi)，區(qū)間2,4使零點(diǎn)3在2,4內(nèi)。且有f(-2)=50,f(0)=-30, f(-2)×f(0)0; f(2)=-30, f(4)=50, f(2)×f(4)0.可以發(fā)現(xiàn)f(-2)×f(0)0，函數(shù)f(x) = x-2x-3在區(qū)間-2

6、,0內(nèi)有零點(diǎn)-1是方程x-2x-3=0的一個(gè)根；同樣地，f(2)×f(4)0，函數(shù)f(x) = x-2x-3在區(qū)間2,4內(nèi)有零點(diǎn)3是方程x-2x-3=0的另一個(gè)根。因此可以得到以下結(jié)論：3.零點(diǎn)存在性定理： 假設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)×f(b)0，那么在區(qū)間a,b內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解。零點(diǎn)存在性定理是用來判斷一個(gè)方程是否存在解的，因此，現(xiàn)在我們可以來判斷上課開始的那個(gè)一元五次方程是否存在解了？ x+4x+3x+2x+1=0解：考慮f(x)

7、 = x+4x+3x+2x+1試探：當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=10；當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=1+4+3+2+1=110；當(dāng)x=-1時(shí)，f(-1)=-1-4+3-2+1=-30 f(0)×f(-1)0那么函數(shù)f(x) = x+4x+3x+2x+1在區(qū)間-1,0內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在-1,0內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解。三、 舉例：例2：函數(shù)f(x) =3-x，問：方程f(x)=0在區(qū)間-1,0內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？分析：問方程在區(qū)間內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解，意味著什么?即要判斷相應(yīng)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間-1,0內(nèi)有沒有零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在性定理，我們只需驗(yàn)證f(0)×f(-1)是否小于0。解：f(-1)=3- 1=

8、-1=-0, f(0)= 3-0=10，f(0)×f(-1)0而函數(shù)f(x) =3-x的圖像是連續(xù)曲線，f(x) 在區(qū)間-1,0內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f(x)=0在區(qū)間-1,0內(nèi)有實(shí)數(shù)解。例3：判定方程x-2x-5=1有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解，且一個(gè)大于5，一個(gè)小于2。分析：轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)f(x) =x-2x-5-1在區(qū)間-，2和(5, +) 內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)。解：考慮函數(shù)f(x) =x-2x-5-1，有f(2) =2-22-5-1=-10，f(5) =5-25-5-1=-10，又因?yàn)閒(x)的圖像是開口向上的拋物線，在-，2內(nèi)存在一點(diǎn)a，使f(a)0；在(5, +)內(nèi)存在一點(diǎn)b，使f(b)0，所以拋物線與橫軸在a，2內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，在(5, b)內(nèi)也有一個(gè)交點(diǎn)，而該交點(diǎn)即是方程的解。所以方程x-2x-5=1有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解，且一個(gè)大于5，一個(gè)小于2。四、 零點(diǎn)存在性定理說：“假設(shè)f(a)×f(b)0，那么在區(qū)間a,b內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，它只指出了方程f(x)=0實(shí)數(shù)解的存在，并不能判斷具體有多少個(gè)實(shí)數(shù)解。那改為f(a)×f(