彈性力學有限元

1、用有限單元法解平面問題用有限單元法解平面問題單元分析單元分析整體分析整體分析概述概述概述概述有限單元法的發(fā)展有限單元法的發(fā)展有限單元法的分析過程概述有限單元法的分析過程概述有限單元法的特點有限單元法的特點概述概述u有限元法的情況和現(xiàn)狀有限元法的情況和現(xiàn)狀有限單元法的發(fā)展有限單元法的發(fā)展u有限元法的產(chǎn)生有限元法的產(chǎn)生u有限元法的發(fā)展有限元法的發(fā)展概述概述有限單元法有限單元法是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計算方法。它是展起來的一種現(xiàn)代計算方法。它是5050年代首先年代首先在連續(xù)體力學領域在連續(xù)體力學領域- -飛機結(jié)構靜、動態(tài)特性分飛機結(jié)構靜、動態(tài)特性分

2、析中應用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很析中應用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很快廣泛的應用于求解熱傳導、電磁場、流體力快廣泛的應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。學等連續(xù)性問題。力學分析方法力學分析方法理論分析（解析法理論分析（解析法) )試驗分析試驗分析計算機分析計算機分析( (數(shù)值法）數(shù)值法）概述概述z解析解的局限性解析解的局限性x存在問題：推導復雜存在問題：推導復雜x要求合適的試函數(shù)要求合適的試函數(shù)u有限元法的產(chǎn)生有限元法的產(chǎn)生 特點特點：只能求解方程性質(zhì)比較簡單，且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題：只能求解方程性質(zhì)比較簡單，且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題xyllqlql1yzh/

3、2h/2)534()(622223hyhyqyxlhqx22346yhxhqxy22112hyhyqy概述概述z經(jīng)濟生產(chǎn)發(fā)展的要求經(jīng)濟生產(chǎn)發(fā)展的要求y實際發(fā)展的需要實際發(fā)展的需要l航空航天航空航天l土木結(jié)構土木結(jié)構l汽車工業(yè)汽車工業(yè)l機械工業(yè)機械工業(yè)u有限元法的產(chǎn)生有限元法的產(chǎn)生為了實現(xiàn)重大工程和工業(yè)產(chǎn)品的計算分析、模擬仿真與優(yōu)化設計為了實現(xiàn)重大工程和工業(yè)產(chǎn)品的計算分析、模擬仿真與優(yōu)化設計有限元法是支持工程科學家進行創(chuàng)新研究和工程師進行創(chuàng)新設計的、有限元法是支持工程科學家進行創(chuàng)新研究和工程師進行創(chuàng)新設計的、最重要的工具和手段最重要的工具和手段概述概述離散的概念離散的概念 niinosss1ni

4、inolll1z有限元發(fā)展的可能條件有限元發(fā)展的可能條件 (a) continuum object,(b)a discrete approximation by inscribed regular polygons,概述概述(c) disconnected element,(d) generic element.)/sin(limnnn概述概述n n = n sin(/n) Extrapolated by Wynn- Exact to 16 places1 0.0000000000000002 2.0000000000000004 2.828427124746190 3.41421356237

5、30968 3.06146745892071816 3.121445152258052 3.14141832793321132 3.13654849054593964 3.140331156954753 3.141592658918053128 3.141277250932773256 3.141513801144301 3.141592653589786 3.141592653589793Table 1.1. Rectification of Circle by Inscribed Polygons (“Archimedes FEM”)概述概述x高級語言的出現(xiàn)高級語言的出現(xiàn)x數(shù)值計算方法的發(fā)

6、展數(shù)值計算方法的發(fā)展z計算機和軟件的發(fā)展計算機和軟件的發(fā)展概述概述l20世紀世紀40年代，年代，1941年年A.Hrennikoff用桿系結(jié)構來構造離散模型用桿系結(jié)構來構造離散模型離散化思想。離散化思想。l1943年年R.Courant第一次假設翹曲函數(shù)在一個人為劃分的三角形單第一次假設翹曲函數(shù)在一個人為劃分的三角形單元集合體的每個單元上為簡單的線性函數(shù)，求得元集合體的每個單元上為簡單的線性函數(shù)，求得St.Venant扭轉(zhuǎn)問題扭轉(zhuǎn)問題的近似的近似有限單元法的基本思想。有限單元法的基本思想。l1960年年R.W.Clough教授在一篇題為教授在一篇題為“平面應力分析的有限單元法平面應力分析的有限

7、單元法”的論文中首先使用有限單元法的論文中首先使用有限單元法（the Finite Element Method)一詞。一詞。l1956年年Turner、Clough等人在分析等人在分析飛機結(jié)構飛機結(jié)構時，將矩陣位移法時，將矩陣位移法的方法、原理推廣應用于彈性力學平面問題，將一個彈性連續(xù)體假的方法、原理推廣應用于彈性力學平面問題，將一個彈性連續(xù)體假想地劃分為一系列三角形的所謂單元。想地劃分為一系列三角形的所謂單元。l德國德國J. H. Argyris教授發(fā)表了一組能量原理與矩陣分析的論文教授發(fā)表了一組能量原理與矩陣分析的論文lZienkiewicz, O. C. and Cheung, Y.

8、K., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill, London, 1967.概述概述1943-Courant(Varitional methods)1943-Courant(Varitional methods)1956-Turner,Clough,Matrin and Topp(the direct stiffness methods)1960-Clongh(“Finite Element”,Plane problems)1970s-Applications on mainframe computers198

9、0s-Microcomputers,pre-and postprocessors1990s-Analysis of large structural systems概述概述z發(fā)展歷程發(fā)展歷程y應力元（應力解法）應力元（應力解法）y混合元（能量解法）混合元（能量解法）y有限元有限元y無限元無限元y位移元（位移解法）位移元（位移解法）概述概述yADINAySAPyNASTRANyABAQUSyANSYSyMARC 通用軟件的出現(xiàn)通用軟件的出現(xiàn)u有限元法的情況和現(xiàn)狀有限元法的情況和現(xiàn)狀概述概述 在大力推廣在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到航天飛機，所技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造

10、都離不開有限元分析計算，有的設計制造都離不開有限元分析計算，F(xiàn)EA在工程設在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。計和分析中將得到越來越廣泛的重視。 國際上早在國際上早在20世紀世紀50年代末、年代末、60年代初就投入大量的人年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析程序。其中最力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由為著名的是由美國國家宇航局（美國國家宇航局（NASA）在在1965年委托年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本，是有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)

11、展至今已有幾十個版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。概述概述目前，世界各地的研究機構和大學發(fā)展了一批目前，世界各地的研究機構和大學發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用規(guī)模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件，主要有德國的有限元分析軟件，主要有德國的ASKA、英國的、英國的PAFEC、法國的、法國的SYSTUS、美國的、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。等公司的產(chǎn)品。概述概述有限元分析方法最早是從結(jié)構化矩

12、陣分析發(fā)展而來，有限元分析方法最早是從結(jié)構化矩陣分析發(fā)展而來，逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析，實逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析，實踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁場、滲流和聲場等問題的求解計算，最近又發(fā)展到求場、滲流和聲場等問題的求解計算，最近又發(fā)展到求解幾個交叉學科的問題。解幾個交叉學科的問題。 例如當氣流流過一個很高的鐵塔產(chǎn)生變形，而塔的變形又例如當氣流流過一個很高的鐵塔產(chǎn)生變形，而塔的變形又反過來影響到氣流的流動反過來影響到氣流的

13、流動這就需要用固體力學和流體動力學的這就需要用固體力學和流體動力學的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂 流固耦合流固耦合 的問題。的問題。2.2.從單純結(jié)構力學計算發(fā)展到求解許多物理場問題從單純結(jié)構力學計算發(fā)展到求解許多物理場問題概述概述分析學科領域.實體運動，承受壓力，或?qū)嶓w間存在接觸實體運動，承受壓力，或?qū)嶓w間存在接觸.施加熱、高溫或存在溫度變化施加熱、高溫或存在溫度變化.恒定的磁場或磁場恒定的磁場或磁場.電流（直流或交流）電流（直流或交流）.氣（液）體的運動，或受限制的氣體氣（液）體的運動，或受限制的氣體/ /液體液體.以上各種情況的耦合以上各種情況的耦

14、合結(jié)構結(jié)構熱熱磁磁流體流體電電耦合場耦合場概述概述 線性理論已經(jīng)遠遠不能滿足設計的要求。線性理論已經(jīng)遠遠不能滿足設計的要求。 例如：航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力，要考例如：航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力，要考慮材料的非線性問題；諸如塑料、橡膠和復合材料等各種新材料慮材料的非線性問題；諸如塑料、橡膠和復合材料等各種新材料的出現(xiàn)，只有采用非線性有限元算法才能解決。的出現(xiàn)，只有采用非線性有限元算法才能解決。 非線性的數(shù)值計算是很復雜的，很難為一般工程技術非線性的數(shù)值計算是很復雜的，很難為一般工程技術人員所掌握。為此近年來國外一些公司花費了大量的人員所掌握。為此近年來國外一些

15、公司花費了大量的人力和投資開發(fā)諸如人力和投資開發(fā)諸如MARC、ABQUS和和ADINA等專長于等專長于求解非線性問題的有限元分析軟件，并廣泛應用于工求解非線性問題的有限元分析軟件，并廣泛應用于工程實踐。程實踐。3.3.由求解線性工程問題進展到分析非線性問題由求解線性工程問題進展到分析非線性問題概述概述 隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計算機運算速飛隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計算機運算速飛速發(fā)展，整個計算系統(tǒng)用于求解運算的時間越來越少，而速發(fā)展，整個計算系統(tǒng)用于求解運算的時間越來越少，而數(shù)據(jù)準備和運算結(jié)果數(shù)據(jù)準備和運算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工

16、程工作站上，求解一個包含程工作站上，求解一個包含10萬個方程的有限元模型只需萬個方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計算一個工程問題時有要用幾十分鐘。工程師在分析計算一個工程問題時有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結(jié)果分析上。以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結(jié)果分析上。4.4.增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能概述概述目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用能很強的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網(wǎng)格自動戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網(wǎng)

17、格自動劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將大量的計算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖大量的計算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。 概述概述隧道的隧道的1/2 有限元模型有限元模型 廠房開挖部分的網(wǎng)格廠房開挖部分的網(wǎng)格 前處理前處理 概述概述 后處理后處理 隧道襯砌和巖體的應力分布圖隧道襯砌和巖體的應力分布圖概述概述 當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用CAD軟件的軟件的集成使用，集成使用， 即：在用即：在用CAD軟件完成部件和零件的造型設軟件完成部

18、件和零件的造型設計后，自動生成有限元網(wǎng)格并進行計算，如果分析的結(jié)計后，自動生成有限元網(wǎng)格并進行計算，如果分析的結(jié)果不符合設計要求則重新進行造型和計算，直到滿意為果不符合設計要求則重新進行造型和計算，直到滿意為止，從而極大地提高了設計水平和效率。當今所有的商止，從而極大地提高了設計水平和效率。當今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD軟件（例如軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、I D E A S 、 B e n t l e y 和和 A u t o C A D 等 ） 的 接 口等 ） 的

19、 接 口 。 5.5.與與CADCAD軟件的無縫集成軟件的無縫集成概述概述6.6.有限元方法在工業(yè)生產(chǎn)中的廣泛應用有限元方法在工業(yè)生產(chǎn)中的廣泛應用y機械加工機械加工y航空航天航空航天概述概述y土木結(jié)構土木結(jié)構y汽車工業(yè)汽車工業(yè)概述概述y核電能源核電能源y其它領域其它領域概述概述有限單元法的特點有限單元法的特點數(shù)值解法的類型數(shù)值解法的類型：在解析法的基礎上直接進行近似數(shù)值計算，如有限差分法。在解析法的基礎上直接進行近似數(shù)值計算，如有限差分法。在力學模型上進行數(shù)值計算，如有限單元法在力學模型上進行數(shù)值計算，如有限單元法數(shù)值解法的產(chǎn)生數(shù)值解法的產(chǎn)生：l許多力學問題無法求得解析解答許多力學問題無法求得

20、解析解答l許多工程問題也只需要給出數(shù)值解答許多工程問題也只需要給出數(shù)值解答概述概述有限單元法的基本思想有限單元法的基本思想l離散離散l分片插值分片插值變分法在整個求解域內(nèi)用一個統(tǒng)一的試函數(shù)逼近真實函數(shù)變分法在整個求解域內(nèi)用一個統(tǒng)一的試函數(shù)逼近真實函數(shù)有限單元法針對每一個單元選擇試函數(shù)有限單元法針對每一個單元選擇試函數(shù)分片插值的思想是有限單元法與里茲法的一個重要區(qū)別分片插值的思想是有限單元法與里茲法的一個重要區(qū)別（圖解）（圖解）把連續(xù)系統(tǒng)（包括桿系、連續(xù)體、連續(xù)介質(zhì)）分割成把連續(xù)系統(tǒng)（包括桿系、連續(xù)體、連續(xù)介質(zhì)）分割成數(shù)目有限的單元數(shù)目有限的單元概述概述ox xy y實際分布曲線實際分布曲線c1

21、整體試探函數(shù)整體試探函數(shù)c2分片差值函數(shù)分片差值函數(shù)一維函數(shù)的整體插值和分片插值一維函數(shù)的整體插值和分片插值概述概述l直接剛度法直接剛度法l變分法變分法l加權殘數(shù)法加權殘數(shù)法l能量平衡法能量平衡法有限單元法的推理途徑有限單元法的推理途徑概述概述1、物理概念清晰、物理概念清晰。有限元法一開始就從力學角度進行有限元法一開始就從力學角度進行簡化，易于掌握，便于初學者入門。簡化，易于掌握，便于初學者入門。2、可以從不同的水平上建立起對該法的解。、可以從不同的水平上建立起對該法的解。它既可從它既可從通俗易懂的結(jié)構力學方法出發(fā)，闡述其基本原理并通俗易懂的結(jié)構力學方法出發(fā)，闡述其基本原理并進行公式推導，也可

22、以按嚴格的數(shù)學邏輯來闡釋。進行公式推導，也可以按嚴格的數(shù)學邏輯來闡釋。3、適應性強，應用范圍廣、適應性強，應用范圍廣目前，它幾乎適應于求解目前，它幾乎適應于求解所有的連續(xù)介質(zhì)和場的問題。所有的連續(xù)介質(zhì)和場的問題。4、已經(jīng)出現(xiàn)了許多大型結(jié)構分析通用程序，可以直接、已經(jīng)出現(xiàn)了許多大型結(jié)構分析通用程序，可以直接應用。應用。如如SAP，ANSYS，NASTRAN，ADINA等。等。有限單元法的優(yōu)點有限單元法的優(yōu)點概述概述學習有限元法所需的理論基礎學習有限元法所需的理論基礎l學科理論學科理論理論力學、材料力學、結(jié)構力學、理論力學、材料力學、結(jié)構力學、彈性力學、流體力學、傳熱學等彈性力學、流體力學、傳熱學

23、等l數(shù)學基礎數(shù)學基礎線性代數(shù)、變分原理、加權余量法線性代數(shù)、變分原理、加權余量法l計算機基礎計算機基礎計算機的一般知識、算法語言、計計算機的一般知識、算法語言、計算機的使用和編程算機的使用和編程概述概述有限單元法分析過程概述有限單元法分析過程概述結(jié)構離散化結(jié)構離散化單元分析單元分析整體分析整體分析概述概述有限元分析有限元分析是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬。利用簡單而又統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬。利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。未知量去

24、逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。定義定義基本概念基本概念概述概述物理系統(tǒng)舉例 幾何體幾何體 載荷載荷 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)結(jié)構結(jié)構熱熱電磁電磁概述概述有限元模型 有限元模型有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。真實系統(tǒng)真實系統(tǒng)有限元模型有限元模型概述概述節(jié)點和單元節(jié)點節(jié)點: 空間中的坐標位置，具有一定自由度和空間中的坐標位置，具有一定自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。單元單元: 一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣一組節(jié)點自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣 描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線、。單元有線、 面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。面或

25、實體以及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡單形狀的有限元模型由一些簡單形狀的單元單元組成，單元之間通過組成，單元之間通過節(jié)點節(jié)點連連接，并承受一定接，并承受一定載荷載荷。載荷載荷載荷載荷概述概述信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。分離但節(jié)點重疊的單元分離但節(jié)點重疊的單元A和和B之間沒有信息傳遞之間沒有信息傳遞（需進行節(jié)點合并處理）（需進行節(jié)點合并處理）具有公共節(jié)點的單元具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞之間存在信息傳遞 . . . .AB. . . . . . . . .AB. . . .1 node2 nodes節(jié)點和單元 概述概述節(jié)點和單元 盡管

26、梯子的有限元模型低于盡管梯子的有限元模型低于100100個方程（即個方程（即“自由度自由度”），然而在今天一個小的），然而在今天一個小的 ANSYSANSYS分析就可能有分析就可能有50005000個未個未知量，矩陣可能有知量，矩陣可能有2525，000000，000000個剛度系數(shù)。一臺奔騰個剛度系數(shù)。一臺奔騰PCPC機在幾分鐘內(nèi)可求解機在幾分鐘內(nèi)可求解5000500050005000的矩陣系統(tǒng)，而過去的矩陣系統(tǒng)，而過去則需要幾天時間。則需要幾天時間。作為一個整體，單元形成了整體結(jié)構的數(shù)學模型。作為一個整體，單元形成了整體結(jié)構的數(shù)學模型。每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。每個單元的

27、特性是通過一些線性方程式來描述的。概述概述自由度自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性用于描述一個物理場的響應特性。結(jié)構結(jié)構 DOFs 結(jié)構結(jié)構 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 壓力壓力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ自由度（DOFs）概述概述u結(jié)構的離散化結(jié)構的離散化 將某個工程結(jié)構離散為由各種單元組成的計算模型，這將某個工程結(jié)構離散為由各種單元組成的計算模型，這一步稱作單元剖分。一步稱作單元剖分。 離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；單元節(jié)點的設置、性質(zhì)、數(shù)

28、目等應視問題的性質(zhì)，描述單元節(jié)點的設置、性質(zhì)、數(shù)目等應視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計算進度而定。變形形態(tài)的需要和計算進度而定。 用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲 得的結(jié)果就與實際得的結(jié)果就與實際情況相符合。情況相符合。概述概述1.單元類型選擇單元類型選擇離散化首先要選定單元類型，這包括離散化首先要選定單元類型，這包括單元形狀單元形狀、單元結(jié)點單元結(jié)點數(shù)與數(shù)與結(jié)點自由度數(shù)結(jié)點自由度數(shù)等三個方面的內(nèi)容等三個方面的內(nèi)容水壩水壩概述概述1D2D3D常用單元的形狀常用單元的形

29、狀概述概述概述概述 線單元線單元: Beam(梁梁)單元是用于單元是用于螺栓螺栓(桿桿)，薄壁管件，薄壁管件，C形截面構件，形截面構件，角鋼或者狹長薄膜構件角鋼或者狹長薄膜構件(只有膜只有膜應力和彎應力的情況應力和彎應力的情況)等模型。等模型。 Spar (桿桿)單元是用于單元是用于彈簧，螺彈簧，螺桿，預應力螺桿和薄膜桁架桿，預應力螺桿和薄膜桁架等等模型模型。 Spring 單元是用于單元是用于彈簧，螺桿彈簧，螺桿，或細長構件，或細長構件，或或 通過剛度等通過剛度等效替代復雜結(jié)構等模型效替代復雜結(jié)構等模型。概述概述 X-Y 平面單元平面單元: 在整體笛卡爾在整體笛卡爾X-Y平面內(nèi)（模型必須建在

30、此面內(nèi)），平面內(nèi)（模型必須建在此面內(nèi)），其其中任何一種單元類型只允許有平面應力、平面應變中任何一種單元類型只允許有平面應力、平面應變 、軸對軸對稱、和稱、和/或者諧結(jié)構特性。或者諧結(jié)構特性。OKNJMPLIIJK,L,OPNMTriangular OptionY(or Axial)X (or Radial)平面應力或應變平面應力或應變:概述概述平面應力平面應力 分析是用來分析分析是用來分析諸如承受面內(nèi)載荷的諸如承受面內(nèi)載荷的平板平板、承受壓力或遠離中心載荷的承受壓力或遠離中心載荷的薄圓盤薄圓盤等結(jié)構等結(jié)構。平面應力平面應力概述概述平面應變分析平面應變分析是用于分析那種是用于分析那種一個方向的尺

31、寸（指定為總體一個方向的尺寸（指定為總體Z方向）遠遠大于其它兩個方向方向）遠遠大于其它兩個方向的尺寸，并且垂直于的尺寸，并且垂直于Z軸的橫截軸的橫截面是不變的。面是不變的。平面應變平面應變概述概述假定三維實體模型是由假定三維實體模型是由XY面內(nèi)的橫截面內(nèi)的橫截面繞面繞Y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)360o 形成的（管，錐體形成的（管，錐體，圓板，圓板, 圓頂蓋，圓盤等）。圓頂蓋，圓盤等）。4 對稱軸必須和整體對稱軸必須和整體 Y 軸重合。軸重合。4 不允許有負不允許有負 X 坐標。坐標。4 Y 方向是軸向，方向是軸向，X方向是徑向，方向是徑向， Z方向是周向方向是周向 (hoop) 。4 周向位移是零；周向應

32、變和應力十周向位移是零；周向應變和應力十分明顯。分明顯。4 只能承受軸向載荷（所有載荷）。只能承受軸向載荷（所有載荷）。Hoop軸對稱軸對稱概述概述 Shell (殼殼)單元用于單元用于薄面薄面板板或或曲面模型。曲面模型。殼單元分析應用的基本原殼單元分析應用的基本原則是則是每塊面板的主尺寸不每塊面板的主尺寸不低于其厚度的低于其厚度的10倍。倍。殼單元殼單元:概述概述 用于那些由于幾何、材料、用于那些由于幾何、材料、載荷或分析結(jié)果要求考慮的細載荷或分析結(jié)果要求考慮的細節(jié)等原因造成節(jié)等原因造成無法采用更簡單無法采用更簡單單元進行建模的結(jié)構單元進行建模的結(jié)構。四面體模型使用四面體模型使用CAD建模往

33、建模往往比使用專業(yè)的往比使用專業(yè)的FEA分析建模分析建模更容易，也偶爾得到使用。更容易，也偶爾得到使用。KRLQOPMNJIXYZTetrahedron meshBrick mesh三維實體單元三維實體單元:概述概述其它可供選擇的單元類型其它可供選擇的單元類型建立三維實體模型需要作出下列選擇：建立三維實體模型需要作出下列選擇： 使用四面體單元劃分網(wǎng)格使用四面體單元劃分網(wǎng)格4 采用簡便方法建立實體模型采用簡便方法建立實體模型。4 選用二次單元或者選用二次單元或者 p單元。單元。或或 者者 使用塊單元劃分單元網(wǎng)格使用塊單元劃分單元網(wǎng)格4選用塊單元網(wǎng)格建立實體模型選用塊單元網(wǎng)格建立實體模型。通常需要

34、花費更多通常需要花費更多時間和精力。時間和精力。 劃分子區(qū)域劃分子區(qū)域 連接處理連接處理 延伸延伸4 采用任何塊單元。采用任何塊單元。概述概述 專用單元專用單元 包括包括接觸接觸單元單元 - 用于構用于構件間存在接觸面的結(jié)構建模件間存在接觸面的結(jié)構建模，如渦如渦輪盤和葉片，螺栓頭部和法蘭，電輪盤和葉片，螺栓頭部和法蘭，電觸頭，以及觸頭，以及O-圈等等。圈等等。 做好接觸分析要求有這方面的知識做好接觸分析要求有這方面的知識和經(jīng)驗和經(jīng)驗。JIGAPM or M/2CXYZFSLIDEK1K2M or M/2專用單元專用單元:概述概述CutoutsCracksentrant cornersVicin

35、ity of concentrated (point)loads, and sharp contact areas網(wǎng)格的加密網(wǎng)格的加密2.單元劃分單元劃分概述概述Load transfer(bonded joints,welds, anchors,reinforcing bars, etc.)Abrupt thickness changesMaterial interfaces概述概述GoodBadElements with good and bad aspect ratios.單元形態(tài)應盡可能接近相應的正多邊形或正多面體單元形態(tài)應盡可能接近相應的正多邊形或正多面體 概述概述llustrati

36、on of the rule that elements should not cross material interfaces.同一單元由同一種材料構成同一單元由同一種材料構成概述概述單元結(jié)點應與相鄰單元結(jié)點相連接，不能置于相鄰單元邊界上單元結(jié)點應與相鄰單元結(jié)點相連接，不能置于相鄰單元邊界上 網(wǎng)格劃分應盡可能有規(guī)律，以利于計算機自動生成網(wǎng)格。網(wǎng)格劃分應盡可能有規(guī)律，以利于計算機自動生成網(wǎng)格。概述概述 eNuv1.選擇位移模式選擇位移模式 位移法：選擇節(jié)點位移作為基本未位移法：選擇節(jié)點位移作為基本未 知量稱為位移法；知量稱為位移法； 力力 法：選擇節(jié)點力作為基本未法：選擇節(jié)點力作為基本未 知

37、量時稱為力法；知量時稱為力法； 混合法：取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本混合法：取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。未知量時稱為混合法。 位移法易于實現(xiàn)計算自動化，所以，在有限單位移法易于實現(xiàn)計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應用范圍最廣元法中位移法應用范圍最廣。u單元分析單元分析概述概述v2.分析單元的力學性質(zhì)分析單元的力學性質(zhì) 根據(jù)根據(jù) 單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步。此移的關系式，這是單元分析中的關鍵

38、一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛 度度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。概述概述分析單元的力學特征分析單元的力學特征 單元應變矩陣單元應變矩陣BB單元應力矩陣單元應力矩陣S單元剛度矩陣單元剛度矩陣K eB eS單元剛度方程單元剛度方程 tdxdyBDBKTAe eeeFK概述概述v3.計算等效節(jié)點力計算等效節(jié)點力 物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元 傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)

39、體傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去，力是從單元的公共邊傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點上去，體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來代也就是用等效的節(jié)點力來代 替所有作用在單元替所有作用在單元上得力。上得力。概述概述u整體分析整體分析利用結(jié)構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按利用結(jié)構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構重新連接起來，形成整體的有限元方原來的結(jié)構重新連接起來，形成整體的有限元方程程 RK1.1.單元組集

40、單元組集概述概述2.求解未知節(jié)點位移求解未知節(jié)點位移 引入邊界條件引入邊界條件可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法?？梢愿鶕?jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。解線性方程組求出位移，然后求出單元應力。解線性方程組求出位移，然后求出單元應力。概述概述要求和特點要求和特點z有限元的基本原理和方法有限元的基本原理和方法z發(fā)展有限元方法發(fā)展有限元方法z程序?qū)嵺`程序?qū)嵺`y理解掌握有限元的基本思想和方法理解掌握有限元的基本思想和方法y實際調(diào)試和處理教學程序?qū)嶋H調(diào)試和處理教學程序y能正確使用通用程序能正確使用通用程序y構造新的單元構造新的單元y解決新的問題解決新的問題y引入新的數(shù)值方法引入新的數(shù)值

41、方法概述概述Part of a two-dimensional FE mesh has been set up as indicated in Figure E1.2.Region ABCD is still unmeshed. Draw a transition mesh within that region that correctly merges with the regular grids shown, uses 4-node quadrilateral elements (quadrilaterals with corner nodes only), and avoids tria

42、ngles. Note: There are several (equally acceptable) solutions.EXERCISE 1概述概述概述概述 采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。 本章無特別指明，均表示為平面應力平面應力問題問題的公式。面力位移函數(shù)應變應力結(jié)點位移列陣結(jié)點力列陣 。Tyxff)(f。Tyxvyxu),(, ),(d。Txyyx)(。Txyyx)(。Tjjiivuvu)(。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量基本物理量：。Tyxff)(f體力物理方程 其中D為彈性矩陣，對于平面應力問題是)(b,D)(2100010112cE。DFEM中應用

43、的方程：中應用的方程：)()(ayvxuyvxuT。幾何方程 結(jié)點虛位移， 對應的虛應變。 在FEM中，用結(jié)點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。,)( )(ATTdxdytF*圖6-1yxoij*,iiyvF*,iixuFjjyvF ,*,jjxuF虛功方程其中 以下來導出FEMFEM。 1. 結(jié)構離散化結(jié)構離散化將連續(xù)體變換為離散 化結(jié)構； FEMFEM的概念的概念，可以簡述為：用結(jié)力方法求解用結(jié)力方法求解彈力問題彈力問題。即 1. 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構。 2.再應用結(jié)力方法進行求解。(a) 桁 架(b) 深 梁 （ 連 續(xù) 體 ） 結(jié)力研究的對象是離散化結(jié)構。如桁架，各單元（桿

44、件）之間除結(jié)點鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（a）。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。圖 6-2 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構（圖（c）：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點處用絞連結(jié)起來，構成所謂離散化結(jié)構離散化結(jié)構。(c) 深 梁 （ 離 散 化 結(jié) 構 ） 與 相比，兩者都是離散化結(jié)構；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。圖（c）圖（a）2.應用結(jié)構力學方法應用結(jié)構力學方法( (位移法位移法) )進行求解進行求解: : 分析

45、步驟如下：分析步驟如下： 仿照桁架的結(jié)力位移法，來求解圖（c）的平面離散化結(jié)構。其中應注意，三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應按彈力方法進行分析。 （2) 應用插值公式, 由單元結(jié)點位 移 ，求單元的位移函數(shù)（1）取各結(jié)點位移 為基 本未知量。然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用 來表示。), 2 , 1()(ivuTiii), 2 , 1(iiTmiie)(。Tyxvyxu),(),(d這個插值公式稱為單元的位移模式，表示為。ed ）（a（5）應用虛功方程，由單元的應力 ，求出 單元的結(jié)點力單元的結(jié)點力，表示為（3）應用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，求出單元的應變單元的應變，表示為。eS。eB

46、）（b）（c。emjiekFFFF(）（d（4）應用物理方程，由單元的應變 ，求 出 單元的應力單元的應力，表示為 結(jié)點對單元的作用力，作用 于單元，稱為結(jié)點力，以正標向為正。 單元對結(jié)點 的作用力，與 數(shù) 值相同,方向相反， 作用于結(jié)點。TiyixFF(iFTiyixFF(iFiFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點上，化為結(jié)點荷結(jié)點荷 載載，表示為 .(eLmLjLieLFFFF）（e各單元移置到i 結(jié)點上的結(jié)點荷載 其中 表示對圍繞i 結(jié)點的單元求和；iF)( fLiF(7) 對每一

47、結(jié)點建立平衡方程對每一結(jié)點建立平衡方程。,iF,FLi), 2 , 1(,ieLieiFFe)( f各單元對i 結(jié)點的結(jié)點力作用于結(jié)點i上的力有： 為已知值, 是用結(jié)點位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程 ，得出各結(jié)點位移值，并從而求出各單元的應變和應力。 整體分析： 建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點 的位移。2.應用結(jié)構力學方法求解離散化結(jié)構, 對單元進行分析：求出 （1）單元的位移模式， （2）單元的應變和應力列陣， （3）單元的結(jié)點力列陣， （4）單元的結(jié)點荷載列陣。1. 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構。歸納起來，F(xiàn)EMFEM分析的主要內(nèi)容分析的主要內(nèi)容： 思考題 1. 桁架的單元為桿件，而平面體的單

48、元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。試考慮后者在用結(jié)構力學方法求解時，將會遇到什么困難？ 2. 在平面問題中，是否也可以考慮其它的單元形狀，如四邊形單元？ FEM是取結(jié)點位移 為基本未知數(shù)的。但其中每一個單元仍是連續(xù)體，所以按彈力公式求應變、應力時，必須首先解決：如何由單元的結(jié)點位移 來求出單元的位移函數(shù) 應用插值公式，可由 求出位移d。這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式位移模式。Tmjie(i。Tyxvyxu),(),(deuvxyoijmiijjmmvvuuvu位移假設位移假設： 設各點的位移，即位移場為設各點的位移，即位移場為yaxaavyaxaau6

49、54321其中其中621,aaa為待定系數(shù)，由為待定系數(shù)，由節(jié)點坐標和節(jié)點位移節(jié)點坐標和節(jié)點位移確定。確定。u位移模式位移模式單元內(nèi)各點位移的變化規(guī)律單元內(nèi)各點位移的變化規(guī)律(a)65432110000001aaaaaayxyxvu將位移寫成矩陣形式將位移寫成矩陣形式：在節(jié)點上滿足：在節(jié)點上滿足：mmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaavyaxaauyaxaavyaxaauyaxaavyaxaau654321654321654321aHds寫成矩陣形式寫成矩陣形式：654321100000011000000110000001aaaaaayxyxyxyxyxyxvuvuvummmmjjjj

50、iiiimmjjiiaAbe解線性代數(shù)方程組，得解線性代數(shù)方程組，得1ebAaaHds得161666212ebsAHd166212eNd(b)N 稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。eNdmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,(c) A為三角形 的面積（圖示坐標系中， 按逆時針編號）， 其中),(,2)(mjiAycxbaNiiii,mmjjiyxyxa ,11miiyyb.11miixxc ),(mjiijmmji,。mmjjiiyxyxyxA1112 . .0),(),(; 1),(mmijjiiiiyxNyxNyxN形函

51、數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì). .1),(),(),(yxNyxNyxNmjiijm1iu若若0; 1mmjjiivuvuvu),(),(yxNyxui則則j idsNAdxdyNijiAi21,3jimjjmmii 三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了二次以上的項，因而其誤差量級是 且其中只包含了 的一次項，所以在單元中 的分布如圖（a）所示， 的分布如圖 所示。 );(2xo yx,iNvu和)()(cb 、(a)(b)(c)圖 6-5ivmvjviumuju1 FEM中以后的一系列工作，都是以位移模為基礎的。所以當單元趨于很小時，即 時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了 保證保證FEMFEM收斂

52、性收斂性, ,位移模式應滿足下列位移模式應滿足下列條件：條件： 0,yx（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。 （2）位移模式必須能反映單元的常量應變。 因為當單元 時，單元中的位移和應 變都趨近于基本量剛體位移和常量 位移。0。xxyvyyxu22,22353564353521,00 xvvyuu可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成（3）位移模式應盡可能反映位移的連續(xù)性。 即應盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù) 性。 在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)； 在兩單元邊界ij 上， 之間均為線 性變化，也為連續(xù)。 對式（a）求應變，得,5362xyyxji 和可見常量應變也已

53、反映。單元邊界上單元邊界上, ,形函數(shù)的值只與該邊界的兩個結(jié)點形函數(shù)的值只與該邊界的兩個結(jié)點的坐標有關的坐標有關, ,與另一結(jié)點坐標無關與另一結(jié)點坐標無關. .ijiijixxxxyyyyiimmyxxcby)(以以i、j邊為例：邊為例：i、j邊的直線方程為邊的直線方程為0),(yxNmijjjxxxxyxN),(ijjixxxxyxN1),(由此性質(zhì)可知：單元間的位移是協(xié)調(diào)的。由此性質(zhì)可知：單元間的位移是協(xié)調(diào)的。在在i、j邊上邊上ijmmmjjiiuNuNuNyxu),(為了保證FEM的收斂性，（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。 思考題1. 應用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，

54、為什么必須從低次項開始選??？2. 試考慮：將結(jié)構力學解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內(nèi)部的分析工作都有可能進行了。 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,), (2/ )(mjiAycxbaNiiii。其中，單元中的位移函數(shù)單元中的位移函數(shù)已用位移模式表示為 應用幾何方程，求出單元的應變列陣 ：。eBmmjjiimmjjiimjimjiTvuvuvubcbcbccccbbbAyuxvyvxu00000021)(）（a)(),(bmjiBBBB)(),(0021cmjibccbAiiii。iB)(,deeSDBDS稱為應力轉(zhuǎn)換矩

55、陣應力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應用物理方程，求出單元的應力列陣：B 稱為應變矩陣應變矩陣，用分塊矩陣表示， 對于線性位移模式，求導后得到的應變和應力，均成為常量，因此，稱為常應變（應力）單元。應變和應力的誤差量級是 其精度比位移低一階，且相鄰單元的應力是跳躍式的。 )(),(emjiSSSS)(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 思考題 1.如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項，略去 高階小量，試考慮位移、應變和應力的誤差量級。 3x 現(xiàn)在來考慮其中一個單元：oyxjmii圖 6-7ixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixF)(

56、在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化連續(xù)體變換為離散化結(jié)構的模型結(jié)構的模型。mji,（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián) 系，只在結(jié)點 互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜 力等效原則移置到結(jié)點上去，化為等 效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。假想將單元與結(jié)點i 切開，則 ),(,)(mjiFFTiyixiF),(,)(mjiFFTiyixiF其數(shù)值與 相同，而方向相反。iF以沿正坐標向為正。對單元而言，這是作 用于單元上的外力。 單元作用于結(jié)點的力單元作用于結(jié)點的力，為 結(jié)點作用于單元上的力結(jié)點作用于單元上的力，稱為結(jié)點力結(jié)點力，;)(TmjieFFFF ijm。Txyyx)(按

57、虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于外力的虛功等于 應力的虛功應力的虛功。而其內(nèi)部有應力作用， 考察已與結(jié)點切開后的單元 ，則此單元上作用有外力結(jié)點力 ，應用虛功方程，求單元的結(jié)點力： 假設發(fā)生一組結(jié)點虛位移 則單元內(nèi)任一點（x,y）的虛位移為單元內(nèi)任一點（x,y）的虛應變?yōu)榇胩摴Ψ匠蹋涸趩卧?，外力（結(jié)點力 ）在虛位移（結(jié)點虛位移 ）上的虛功，等于應力 在虛應變 上的虛功，即 ,)(e*,)(e*Nd ,)(e*B eF)()(*e)(*）（a。ATTedxdytF*e*)()(式(b)是由應力求結(jié)點力的一般公式。因為 是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的 均應滿足， 得出,)()()(

58、TTeTeTBB*e)(*yx, )()(。ATeTedxdytBFT*e*。ATdxdytBFee)(*e)(*其中 與 無關，故式(a) 成為代入 (b)(,)(cdxdyteAe*TekDBBF)(,ddxdytADBBkT。元素)66( 式（c）是由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式，k k 稱為單元的勁度矩陣其中再將應力公式代入上式，得對于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有,tADBBkT）（e代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。（1） 是66的方陣， 中每一個元素都表示發(fā)生單元結(jié)點位移時所引起的結(jié)點力。（2）由反力互等定理， 所以 是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。k,sr

59、rsTkk kk單元勁度矩陣單元勁度矩陣k k的性質(zhì)的性質(zhì)：（3）當單元作剛體平移時，如 ui=uj=um=1，三角形內(nèi)不產(chǎn)生應力和應變，結(jié)點力也為0。（4）由（3）可導出行列式| |=0。（5） 的元素與 單元的形狀和方位等 有關，但與單元的大小和剛體的平動及 作 度轉(zhuǎn)動無關。 因此, 中每一行（或列）的元素之和為零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也為0）。,tEknkk例：如圖所示為一平面應力狀態(tài)的直角三角形單元，例：如圖所示為一平面應力狀態(tài)的直角三角形單元，試求（試求（a）形狀函數(shù)矩陣）形狀函數(shù)矩陣;（b）應變矩陣）應變矩陣B;（c）應力矩陣應力矩陣S（d）單元剛度矩陣）單

60、元剛度矩陣 。yxjbam(0,0)i(a,0)（0,b)61kbyaxByaxbyaxbyaxN10000100解解（a）（b）應變矩陣）應變矩陣B,0ia,0ja;abam,0ib,0jb;bbm,0ic,0jc;acmmmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021b-a-0ab0a-0a0000b-000bab1a1-b1-0b1a10b1-0b10000a1-000a1（C）應力矩陣）應力矩陣S式中式中2-1000101-1ED2S=DBa1-b1-0b1a10b1-0b10000a1-000a12-1000101-1E22a-1-2b-1-02b-12a-10b