數列求和常用方法-文檔資料

1、1掌握一些簡單數列的求和方法數列求和數列求和2 常用的公式有：常用的公式有：(1)(1)等差數列等差數列 a an n 的前的前n n項和項和 S Sn n= = = = . .(2)(2)等比數列等比數列 a an n 的前的前n n項和項和 S Sn n= = = = ( (q q1)1)(3)1(3)12 2+2+22 2+3+32 2+n n2 2= = . .(4)1(4)13 3+2+23 3+3+33 3+n n3 3= = .na1+ d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)2141()2nn aa1公式法：直接應用等差數列，

2、等比數列的前n項和公式，以及正整數的平方和公式、立方和公式等進行求和常用求和方法常用求和方法3課堂互動講練課堂互動講練考點突破考點突破公式法公式法如果所給數列是等差數列、等比數列或者經過適如果所給數列是等差數列、等比數列或者經過適當的變形所給數列可化為等差數列、等比數列，當的變形所給數列可化為等差數列、等比數列，從而可利用等差、等比數列的求和公式來求解從而可利用等差、等比數列的求和公式來求解4 (2010年高考陜西卷年高考陜西卷)已知已知an是公差不為零是公差不為零的等差數列，的等差數列，a11，且，且a1，a3，a9成等比數列成等比數列(1)求數列求數列an的通項；的通項；(2)求數列求數列

3、2an的前的前n項和項和Sn.【思路點撥思路點撥】利用利用a1，a3，a9成等比數列，可求成等比數列，可求公差公差d，從而得出，從而得出an.5【解】【解】 (1)由題設知公差由題設知公差 d0， 由由 a11， a1， a3， a9成等比數列， 得成等比數列， 得12d118d12d， 解得解得 d1 或或 d0(舍去舍去) 故故an的通項的通項 an1(n1)1n. (2)由由(1)知知 2an2n，由等比數列前，由等比數列前 n 項和公式，項和公式， 得得 Sn222232n2 12n 122n12. 6分組法分組法有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，有一類數列，既不是等差數列，

4、也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.789倒序相加法倒序相加法是推導等差數列的前是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到原數列相加，就可以得到n個個 .10111()(1)2222nnfnf n 解解：22 1(22 1) 2nn 1211 2222nnn (6)(5)(1)( 4)( 5)Tfffff 2212,2T

5、 ( 5)( 4)(0)(5)(6)Tfffff 即即. .3 2T 2.2 探究探究三三：倒序相加法求和倒序相加法求和 11( ),()(1)22( 5)( 4)(0)(5)(6).例例 . .若若函函數數計計算算的的值值，并并求求xf xfnf nTfffff 例例311裂項相消法裂項相消法這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的和的目的. 通項分解通項分解（裂項）（裂項）

6、如：如：1(1111)n nnn1)(11(1)kn nnnkk1)1( nknknkn12 已知等差數列已知等差數列an滿足：滿足：a37，a5a726，an的前的前n項和為項和為Sn.(1)求求an及及Sn；【思路點撥思路點撥】由由a3，a5a7的值可求的值可求a1，d，利，利用公式可得用公式可得an，Sn.對于對于bn，利用裂項變換，便可，利用裂項變換，便可求得求得Tn.131415錯位相減法錯位相減法對于形如對于形如anbn的數列的前的數列的前n項和項和Sn的求法的求法(其中其中an是等差數列，是等差數列，bn是等比數列是等比數列)，可采用錯位，可采用錯位相減法具體解法是：相減法具體解

7、法是：Sn乘以某一個合適的常數乘以某一個合適的常數(一般情況下乘以數列一般情況下乘以數列bn的公比的公比q)后，與后，與Sn錯位錯位相減，使其轉化為等比數列問題來解相減，使其轉化為等比數列問題來解16 (2010年高考課標全國卷改編年高考課標全國卷改編)設等比設等比數列數列an滿足滿足a12，a4128.(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(2)令令bnnan，求數列，求數列bn的前的前n項和項和Sn.【思路點撥思路點撥】利用公式求得利用公式求得an，再利用錯位相，再利用錯位相減法求減法求Sn.17【解】【解】 (1)因因 a12，a4128，q4， an24n122n1. (2)由

8、由 bnnann22n1知知 Sn12223325n22n1， 從而從而 22Sn123225327n22n1. 得得(122)Sn2232522n1n22n1， 即即 Sn19(3n1)22n12 186.6.并項法并項法將數列的每兩項將數列的每兩項( (或多次或多次) )并到一起后，再并到一起后，再求和，這種方法常適用于擺動數列的求和求和，這種方法常適用于擺動數列的求和. .例六：Sn=12-22+32- 42 +(-1)n-1n219當當n是偶數時，是偶數時，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .當當n是奇數時，是奇數時，Sn=1+(32-

9、22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)= .故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n n201注意對以下求和方式的理解注意對以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的時候有局限性，只有與首、末倒序相加法用的時候有局限性，只有與首、末兩項等距離的兩項之和是個常數時才可以用兩項等距離的兩項之和是個常數時才可以用(2)裂項相消法用得較多，一般是把通項公式分解裂項相消法用得較多，一般是把通項公式分解為兩個式子的差，再相加抵消在抵消時，有的為兩個式子的差，再相加抵消在抵消時，有的是依次抵消，有的是間隔抵消，特別是間隔抵消是依次抵消，有的是間隔抵消，特別是間隔抵消時要注意規(guī)律性時要注意規(guī)律性(3)錯位相減法是構造了一個新的等比數列，再用錯位相減法是構造了一個新的等比數列，再用公式法求和公式法求和方法感悟方法感悟212常見求和類型及方法常見求和類型及方法(1)anknb，利用等差數列前，利用等差數列前n項和公式直接求項和公式直接求解；解；(2)anaqn1，利用等比數列前，利用等比數列前n項和公式直接求項和公式直接求解解(但要注意對但要注意對q要分要分q1與與q1兩種情況進行討論兩種情況進行討論)；(3)anbncn，數列，數列bn，cn是等比數列或等差數是等比數列或等差數列，采用分組轉化法求列，采用分組轉化法