建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖

1、1建筑力學(xué)第五章內(nèi)力與內(nèi)力圖第五章內(nèi)力與內(nèi)力圖教師：鄒定祺教師：鄒定祺2內(nèi)容：1、內(nèi)力的求解方法2、內(nèi)力圖的繪制方法重點(diǎn)：1、用簡(jiǎn)易法計(jì)算內(nèi)力用簡(jiǎn)易法計(jì)算內(nèi)力2、利用微分關(guān)系繪制內(nèi)力圖的方法，尤其是尤其是平面彎曲梁的剪力圖和彎矩圖平面彎曲梁的剪力圖和彎矩圖35.1基本概念5.1.1內(nèi)力的概念 由于外力作用而引起的物體由于外力作用而引起的物體內(nèi)部相互作用內(nèi)部相互作用力力的的改變量改變量，稱為附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱內(nèi)力。，稱為附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱內(nèi)力。5.1.2求內(nèi)力的截面法 為了顯示某一截面的內(nèi)力，必須用一假想的截面截開物體，才能顯示出作用在該截面上的內(nèi)力。 截面上的內(nèi)力一般有軸力（FN)、剪力（FQ)和彎矩

2、(M)。 1、切開； 2、代力； 3、平衡。 Fix=0 Fiy=0 mo(Fi)=04F1F2F3F4MnnF1F2nnFQMFN5截面法求內(nèi)力的步驟：1）截開：欲求某一截面上的內(nèi)力時(shí)，就沿著該截面假想地把構(gòu)件分成兩部分，任意留下一部分作為研究對(duì)象，棄去另一部分。2）替代：用作用在截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對(duì)保留部分的作用。3）平衡：根據(jù)保留部分的平衡條件，建立平衡方程，確定未知內(nèi)力。65.2軸向拉壓桿的內(nèi)力與內(nèi)力圖*一般工程中的拉壓桿都是直桿。*拉壓桿橫截面上的內(nèi)力是一個(gè)分布力系，其合力（FN)的作用線與桿軸線重合,稱為軸力。規(guī)定，F(xiàn)N箭頭指向背離截面（拉力）時(shí)為正。反之取負(fù)（使截面受壓）

3、。*軸力圖，正值得軸力畫在橫軸線的上側(cè)，負(fù)值得軸力畫在下側(cè)。 軸向拉壓桿的內(nèi)力稱為軸力.其作用線與桿的軸線重合,用符號(hào) 表示 1、切開； 2、代力； 3、平衡。7FFNFNFFFN8例：9FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F5.3扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力與內(nèi)力圖5.3.1 扭轉(zhuǎn)的概念 在外力作用下，桿件各橫截面均繞桿軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿軸線始終保持直線，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。105.3.2扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力與內(nèi)力圖* 扭矩是作用在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)的力偶。桿件任意兩個(gè)橫截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)得角度，稱為扭轉(zhuǎn)角。11外力偶Me外力偶扭矩Mt*扭矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定：用右手螺旋法則，

4、以右手的四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，當(dāng)姆指的指向與截面外法線方向一致時(shí)，扭矩為正好；反之，為負(fù)號(hào)12外力偶矩工程中一般不直接給出作用于軸上的外力偶矩，只給出傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速及其所傳遞的功率。它們之間的關(guān)系為： 式中： 為作用在軸上的外力偶矩；P為傳動(dòng)軸所傳遞的功率；n為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速。 通常，輸入力偶矩為主動(dòng)力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相同；輸出力偶矩為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向13 r/minkWmNn9549PMe145.4平面彎曲梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖155.4平面彎曲梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖5.4.1彎曲變形的概念 以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形或簡(jiǎn)稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。1.平面彎曲平面彎

5、曲 常見梁的截面形式梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的彎曲梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的彎曲稱為平面彎曲。稱為平面彎曲。1617平面彎曲的特點(diǎn)平面彎曲的特點(diǎn)：*具有縱向?qū)ΨQ面具有縱向?qū)ΨQ面*外力都作用在此面內(nèi)外力都作用在此面內(nèi)*彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線2.梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 （1） 梁身的簡(jiǎn)化：用梁的軸線。 （2） 荷載的簡(jiǎn)化：集中力當(dāng)外力的作用范圍與梁的尺寸相比很小時(shí)，可視為作用在一點(diǎn)上。力偶當(dāng)作用在梁上的兩個(gè)集中力大小相等、反向相反，作用線相鄰很近時(shí)，可視為集中力偶。分布力連續(xù)作用在梁上的全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度內(nèi)的荷載表示為分布荷載。（3）支座的簡(jiǎn)化：

6、固定鉸支座、可動(dòng)鉸支座、固定端支座。181）固定鉸支座19螺栓AFxAAAAAyFAAAFyxFAAAFAxFAy2）可動(dòng)鉸支座20AAFA墊 塊.3）固定端支座21yFAAFxmAFAxFAymAA223.梁的類型1）簡(jiǎn)支梁2）外伸梁3）懸臂梁235.4.2梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩1.剪力和彎矩的概念. m F Fiy=0:. A B FAy-FQ=0. a m FQ=FAy. L M=0:. FAy FBy FAya-M=0. m M M=FAya. A . a m FQ F. FAy M FQ. B. m L-a. FBy24*無(wú)論取哪一部分為研究對(duì)象，同一截面左右兩面上的剪力和

7、彎矩不僅數(shù)值相同，而且符號(hào)也一致。*FQ和M的正負(fù)號(hào)規(guī)定：. FQ FQ. 左 + 右 左 右. mi左 mi右 . 左 M M 右 左 右. mi左 M M mi右 . + -25用截面上法計(jì)算指定截面剪力和彎矩的步驟：1) 計(jì)算支座反力。2）用假想的截面在求內(nèi)力處將梁截成兩部分，取其一（力較少的）部分為研究對(duì)象。3）畫出研究對(duì)象的受力圖，截面上的剪力和彎矩一般都先假設(shè)為正。4）建立平衡方程，求內(nèi)力。見例題【例5-5】如圖(a)所示外伸梁，已知 q=4kN/m,F=6kN,求1-1截面上的剪力和彎矩。【解】（1）求支反力 如圖(b)，設(shè)A、B處支反力為FAy、FBy，由平衡方程式MA=0 F

8、By 6-(q6)3-F7=0得 FBy=19kN ()MB=0 -FAy6+(q6)3-F1=0得 FAy=11kN ()校核 Fix=FAy+FBy-q6-F=11+19-46-6=0表明支反力計(jì)算正確。26A112m6m1mqFBAFAyFBy112m6m1mBFq（2）計(jì)算1-1截面的內(nèi)力。將梁沿1-1截面截開，選左端為研究對(duì)象。截面上的彎矩和剪力按正方向假設(shè)， 如圖（c）。列平衡方程F=0 ：FAy-q2 - FQ1=0得 FQ1=FAy-q2=11- 42=3kNM1-1=0: -FAy2+(q2)1+M1=0得 M1=FAy2-(q2)1 =112-421=14kN.mFQ1、M

9、1都為正號(hào)，表示FQ1、M1的真實(shí)方向與圖(c)中所示的方向相同，即彎矩和剪力都是正的。27M1FQ1FAyA112mM1FQ1qF3m1m11FBy【例5-6】圖(a)所示懸臂梁，q=3kN/m,F=10kN。求1-1截面上的剪力和彎矩?！窘狻繉?duì)懸臂梁可不求支座反力，直接選右段為研究對(duì)象，截面上的剪力彎矩均按正方向假設(shè)，如圖(b)所示。列平衡方程Fiy=0: FQ1-F-q 4=0 FQ1=F+q 4=10+3 4=22kNM1-1=0: -F 4 - q42 M1=0 M1=-F 4 - q42=-104 -342= -64kN.mFQ1為正號(hào)，表示FQ1的真實(shí)方向與圖(b)中所示相同；M

10、1為負(fù)號(hào)，表示M1的真實(shí)方向與圖中所示方向相反。28AB112m4mFq11M1FQ1FB4mq292.簡(jiǎn)易法計(jì)算內(nèi)力簡(jiǎn)易法計(jì)算內(nèi)力* *計(jì)算剪力時(shí)，根據(jù)脫離體建立投影方程計(jì)算剪力時(shí)，根據(jù)脫離體建立投影方程F Fiyiy=0,=0, 經(jīng)過(guò)移項(xiàng)后可得經(jīng)過(guò)移項(xiàng)后可得 F FQ Q=F=Fiyiy左左 或或 F FQ Q=-F=-Fiyiy右右 。* *計(jì)算彎矩時(shí)，根據(jù)脫離體建立對(duì)截面形心計(jì)算彎矩時(shí)，根據(jù)脫離體建立對(duì)截面形心o o的力的力矩平衡方程矩平衡方程M=0M=0，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)后可得，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)后可得 M Mo o= M= Mo o(F(Fi i左左) ) 或或 M MO O= M= Mo o(F(

11、Fi i右右) )當(dāng)力矩使脫離體產(chǎn)生下凸變形時(shí)，其值取正號(hào)當(dāng)力矩使脫離體產(chǎn)生下凸變形時(shí)，其值取正號(hào), ,反之，取負(fù)號(hào)。反之，取負(fù)號(hào)。 *剪力和彎矩都按正方向假設(shè)。剪力和彎矩都按正方向假設(shè)。【例5-7】圖(a)所示外伸梁，q=3kN,用簡(jiǎn)易內(nèi)力計(jì)算法求兩1-1、2-2截面的剪力和彎矩。【解】 （1）求支反力MA=0:FBy 6 (q8)4=0 FBy=16kN ()MB=0: -FAy 6+ (q 8 )2=0 FAy=8kN ()校核 Fiy=FAy+FBy - q 8 =16+8 -38=0說(shuō)明支反力計(jì)算正確。（2）計(jì)算1-1、2-2截面內(nèi)力，30A1122B3m6m2mqq11A22B3m

12、6m2mFAyFBy2m取1-1截面左端部分為研究對(duì)象計(jì)算1-1截面上的剪力和彎矩。按照順時(shí)鐘轉(zhuǎn)剪力為正，下凸彎矩為正的原則，可求得: FQ1=F左=FAy - q3=8-33=-1kN (逆轉(zhuǎn)） M1=FAy3 - q31.5=83 -331.5 =10.5kN.m （向下凸）同理，取2-2左面部分為研究對(duì)象計(jì)算2-2截面上的剪力和彎矩： FQ2=FAy - q6=8 - 36=-10kN （逆轉(zhuǎn)）M2=FAy6 - q63=86 - 363=-6kN.m (上凸)計(jì)算結(jié)果相同。31AFAy=8kNq3m6m2mBFBy=16kN1122如果取截面右邊為研究對(duì)象，結(jié)果一樣：取1-1截面右端部

13、分為研究對(duì)象FQ1=-F右=-(FBy-q5)=-(16-3 5)=-kN (逆轉(zhuǎn)）M1=FBy3 - q52.5=163 -352.5= 10.5kN.m(向下凸)取2-2左面部分為研究對(duì)象FQ2=-(FBy - q2)=-(16 - 32)=-10kN （逆轉(zhuǎn)）M2=FBy0 - q21=0 - 321=-6kN.m (上凸)32AFAy=8kNq3m6m2mBFBy=16kN1122335.4.3 用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖1.內(nèi)力方程 FQ=FQ(x) , M=M(x)2.剪力圖和彎矩圖正負(fù)號(hào)：. FQ. + -. x x. - +. M見例題【例5-8】畫出簡(jiǎn)支梁受集中荷載時(shí)的剪

14、力和彎矩圖。【解】（1）求支座反力MA=0: FBy l - Fa=0 FBy=Fa/l kN () MB=0: -FAy l +Fb=0 FAy=Fb/ l kN ()(2)列剪力和彎矩方程：AC段：FQ(x1)=FAy=Fb/l (0 x1a) M(x1)=FAyx1=Fbx/l (0 x1 a)34ABFabl(a)ABFAyFByablx1x2(b)CCFCB段：FQ(x2)=FAy-F=Fb/l F=-Fa/l (ax2l) M(x2)=FAyx2 F(x2- a)=Fbx2/l F(x2-a) =Fa(l-x2)/l (a x2 l) （3）畫剪力圖和彎矩圖FQ圖：FQ(x1)和F

15、Q(x2)均為常數(shù)，故，剪力圖在AC段和CB段都是平行于x軸的直線。如圖(c).M圖：M(x1)和M(x2)都是一次函數(shù)，故，AC段和CB段的彎矩圖都是斜直線。AC段：x1=0時(shí) MA=0 , x1=a時(shí) MC=Fab/lCB段：x2=a時(shí) MC=Fab/l , x2=l時(shí) MB=0.如圖(d)。35Fb lFa lFQ圖(kN)(c)Fab lM圖(kN.m)(d) 由圖(d)可知，在集中力作用處的截面上的彎矩值最大，其值為 Mmax=Fab/l 若集中力作用在梁的中點(diǎn)，如圖(e)則：FQmax=F/2 Mmax=FL/4其剪力圖和彎矩圖分別如圖(f)和(g).36Fl/2l/2lABCF/

16、2F/2FL/4FQ圖(kN)M圖(kN.m)(e)(f)(g)375.4.4用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖1.荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系. y q(x). q(x) FQ(x). . M(x) C M(x)+dM(x). . A B X. X dx dx FQ(x)+Dfq(x).由 Fiy=0: FQ(x)+q(x)dx-FQ(x)+dFQ(x)=0得 （5-8）剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)位置處的荷載集度。剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)位置處的荷載集度。 ( )( )QdFxq xdx由 Mc=0: 高階小量可以略去 -M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx2/2+M(x)+d

17、M(x)=0得 (5-9)彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。再對(duì)x求導(dǎo)得 （5-10）二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可用來(lái)判定曲線的凹凸向，二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可用來(lái)判定曲線的凹凸向， 若若q(x)0,彎矩為上凸曲線，彎矩為上凸曲線， 即彎矩圖的凹凸方向與即彎矩圖的凹凸方向與q(x)指向一致指向一致382、常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關(guān)系常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關(guān)系1）剪力圖與荷載的關(guān)系剪力圖與荷載的關(guān)系(1)在均布荷載作用的區(qū)段，當(dāng)在均布荷載作用的區(qū)段，當(dāng)x坐標(biāo)自左向右取時(shí)，坐標(biāo)自左向右取時(shí)， 若若q(x)方向向下，則方向向下，則FQ圖為下斜直線；圖為

18、下斜直線； 若若q(x)方向向上，方向向上，F(xiàn)Q圖為上斜直線。圖為上斜直線。(2)無(wú)荷載作用區(qū)段，即無(wú)荷載作用區(qū)段，即q(x)=0， FQ圖為平行圖為平行x軸的直線。軸的直線。(3)在集中力作用處，在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變方向與外力圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數(shù)值等于該集中力的大小。一致，且突變的數(shù)值等于該集中力的大小。(4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQ圖是連圖是連續(xù)無(wú)變化。續(xù)無(wú)變化。392）彎矩圖與荷載的關(guān)系彎矩圖與荷載的關(guān)系40(1)在均布荷載作用的區(qū)段，在均布荷載作用的區(qū)段，M圖為拋物線。圖為拋物線。(2)當(dāng)當(dāng)q(x)朝下時(shí)

19、，朝下時(shí)，22( )( )0d M xq xdx當(dāng)當(dāng)q(x)朝上時(shí)，朝上時(shí)，22( )( )0d M xq xdxM圖為向下凹。圖為向下凹。M圖為向上凸。圖為向上凸。(3) 在集中力作用處，在集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力向下，則向下，則M圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。(4) 在集中力偶作用處，在集中力偶作用處，M圖產(chǎn)生突變，順時(shí)針圖產(chǎn)生突變，順時(shí)針方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之，方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。3)彎矩圖與剪力圖的

20、關(guān)系彎矩圖與剪力圖的關(guān)系41(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。力。(2) 當(dāng)當(dāng)FQ圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段的圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段的M圖為二次拋物圖為二次拋物線。當(dāng)線。當(dāng)FQ圖為平行于圖為平行于x軸的直線時(shí)，軸的直線時(shí)，M圖為斜直線。圖為斜直線。(3) 剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、負(fù)號(hào)的截面，彎矩也具有極值。有不同正、負(fù)號(hào)的截面，彎矩也具有極值。一般，內(nèi)力圖總的變化趨勢(shì)（從左向右）

21、，與荷載的一般，內(nèi)力圖總的變化趨勢(shì)（從左向右），與荷載的指向（箭頭）一致。指向（箭頭）一致。42一段梁上一段梁上的外力情的外力情況況剪力圖的特征剪力圖的特征彎矩圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在最大彎矩所在截面的可能位截面的可能位置置不同荷載下剪力圖與彎矩圖的特征不同荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q0向下的均布向下的均布荷載荷載無(wú)荷載無(wú)荷載集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下傾斜的向下傾斜的直線直線或或下凸的二次下凸的二次拋物線拋物線在在Q=0的截面的截面水平直線水平直線+一般斜直線一般斜直線或或在在C處有突變處有突變P在在C處有尖角處有尖角或或在剪力突變?cè)诩袅ν蛔兊慕孛娴慕孛嬖谠贑處無(wú)變化處無(wú)

22、變化C在在C處有突變處有突變m在緊靠在緊靠C的某的某一側(cè)截面一側(cè)截面433.利用上述規(guī)律，可更簡(jiǎn)便的繪制剪力圖和利用上述規(guī)律，可更簡(jiǎn)便的繪制剪力圖和彎矩圖，步驟如下：彎矩圖，步驟如下：1 1）計(jì)算支座反力。）計(jì)算支座反力。2 2）確定幾個(gè)控制截面：桿件兩端、分布荷載）確定幾個(gè)控制截面：桿件兩端、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)、支座處（對(duì)剪力圖，則為的起點(diǎn)和終點(diǎn)、支座處（對(duì)剪力圖，則為支座左右兩邊相鄰截面）、集中荷載作用支座左右兩邊相鄰截面）、集中荷載作用點(diǎn)（對(duì)剪力圖，則為集中荷載作用點(diǎn)左右點(diǎn)（對(duì)剪力圖，則為集中荷載作用點(diǎn)左右兩邊相鄰截面）、集中力偶作用點(diǎn)（對(duì)彎兩邊相鄰截面）、集中力偶作用點(diǎn)（對(duì)彎矩圖，則

23、為集中力偶作用點(diǎn)左右兩邊相鄰矩圖，則為集中力偶作用點(diǎn)左右兩邊相鄰截面）。截面）。443）利用簡(jiǎn)易計(jì)算法，分別計(jì)算各個(gè)控制截面利用簡(jiǎn)易計(jì)算法，分別計(jì)算各個(gè)控制截面的剪力值的剪力值F FQ Q和彎矩值和彎矩值M M，并分別標(biāo)在相應(yīng)的，并分別標(biāo)在相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖上。剪力圖和彎矩圖上。4 4）按照前面所述剪力圖和彎矩圖的變化規(guī)律）按照前面所述剪力圖和彎矩圖的變化規(guī)律, ,將剪力圖和彎矩圖上各控制點(diǎn)用相應(yīng)的線段連將剪力圖和彎矩圖上各控制點(diǎn)用相應(yīng)的線段連線。線。例題45【例5-9】畫出均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻浚?）求支座反力MB=0: -FAy l +q l l/2=0 FAy=q

24、 l/2 （ ）MA=0: FBy l - q l l/2=0 FBy=q l/2 （ ）（2）定控制點(diǎn)：A右、B左。（3）FQA右=+q l/2 , FQB左=-q l/2 如圖(c)，連斜線。 MA=0, MB=0, 連向下凹的拋物線，如圖(d)。ABqlqABFAyFBylql/2ql/2ql 2/8FQ圖M圖(a)(b)(c)(d)ABAB【例5-10】簡(jiǎn)支梁受一集中力偶，畫剪力、彎矩圖?！窘狻浚?）求支座反力可得 FAy=Me/l () , FBy =-Me/l () （2）定控制點(diǎn)：A右、B左、C左、C右。（3）FQA右=Me/l ，F(xiàn)QB左= Me/l AB上無(wú)均布荷載，也無(wú)集中荷載，F(xiàn)Q圖為水平線，如(c)圖。MC左=Mea/l ，MC右=-Mb/l ，MA=MB=0 , AC和CB段M圖均為向下斜的斜線，如圖(d)。46ABMeabllABMeFAyFByabMe/lMea/lMb/lA