線性二次型最優(yōu)控制應(yīng)用舉例與仿真

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 線性二次型最優(yōu)控制一、最優(yōu)控制概述最優(yōu)控制，又稱無(wú)窮維最優(yōu)化或動(dòng)態(tài)最優(yōu)化，是現(xiàn)代控制理論的最基本，最核心的部分。它所研究的中心問(wèn)題是：如何根據(jù)受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，去選擇控制規(guī)律，才能使得系統(tǒng)按照一定的技術(shù)要求進(jìn)行運(yùn)轉(zhuǎn)，并使得描述系統(tǒng)性能或品質(zhì)的某個(gè)“指標(biāo)”在一定的意義下達(dá)到最優(yōu)值。最優(yōu)控制問(wèn)題有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：受控對(duì)象為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；初始與終端條件（時(shí)間和狀態(tài)）；性能指標(biāo)以及容許控制。 一個(gè)典型的最優(yōu)控制問(wèn)題描述如下：被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件給定，同時(shí)給定目標(biāo)函數(shù)。然后尋找一個(gè)可行的控制方法使系統(tǒng)從輸出狀態(tài)過(guò)渡到目標(biāo)狀態(tài)，并達(dá)到最優(yōu)的性能指標(biāo)。系統(tǒng)最優(yōu)性能指標(biāo)和品質(zhì)在特

2、定條件下的最優(yōu)值是以泛函極值的形式來(lái)表示。因此求解最優(yōu)控制問(wèn)題歸結(jié)為求具有約束條件的泛函極值問(wèn)題，屬于變分學(xué)范疇。變分法、最大值原理（最小值原理）和動(dòng)態(tài)規(guī)劃是最優(yōu)控制理論的基本內(nèi)容和常用方法。龐特里亞金極大值原理、貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃以及卡爾曼線性二次型最優(yōu)控制是在約束條件下獲得最優(yōu)解的三個(gè)強(qiáng)有力的工具，應(yīng)用于大部分最優(yōu)控制問(wèn)題。尤其是線性二次型最優(yōu)控制，因?yàn)槠湓跀?shù)學(xué)上和工程上實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，故其有很大的工程實(shí)用價(jià)值。二、線性二次型最優(yōu)控制2.1 線性二次型問(wèn)題概述線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題，也叫LQ問(wèn)題。它是指線性系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題。線性二次型問(wèn)題所得到的最優(yōu)控制規(guī)律是狀態(tài)變量的反饋形式，

3、便于計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn)。它能兼顧系統(tǒng)性能指標(biāo)的多方面因素。例如快速性、能量消耗、終端準(zhǔn)確性、靈敏度和穩(wěn)定性等。線性二次型最優(yōu)控制目標(biāo)是使性能指標(biāo)J取得極小值, 其實(shí)質(zhì)是用不大的控制來(lái)保持比較小的誤差,從而達(dá)到所用能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。2.2 線性二次型問(wèn)題的提法 給定線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下： （2.1） 是維狀態(tài)變量，是維控制變量，是維輸出變量，是時(shí)變矩陣，是時(shí)變矩陣。假設(shè)，不受約束。若表示預(yù)期輸出變量，它是維向量，則有 稱為誤差向量?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，選擇最優(yōu)控制使下列二次型性能指標(biāo)（2.2）為最小，這就是線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。（其中是半正定對(duì)稱常數(shù)矩陣，是半正定對(duì)稱時(shí)變矩陣，是

4、正定對(duì)稱時(shí)變矩陣，終端時(shí)間是固定的，終端狀態(tài)自由。2.3 二次型性能指標(biāo)及其涵義 （1）終端代價(jià)（限制終端誤差）：（2）過(guò)程代價(jià)（限制控制過(guò)程誤差）：（3）控制代價(jià)（限制控制U(t)的幅值及平滑性）：三、基于MATLAB的線性二次型最優(yōu)控制舉例無(wú)限時(shí)間跟蹤問(wèn)題的最優(yōu)控制及MATLAB仿真1）內(nèi)容描述 性能指標(biāo)為：2）結(jié)果及分析：（1）結(jié)果： 依題意可得矩陣，首先檢查一下系統(tǒng)的可觀性和可控性。運(yùn)行程序可得：n = 2system is controlledsystem is no observable系統(tǒng)可控但是不可觀。知道了系統(tǒng)可控之后我們就可以放心的作下一步工作了，即解Riccati方程。運(yùn)

5、行A=0 1;0 0;B=0;1;C=1 0;D=0;Q=1 0;0 1R=1;K,P,E=lqr(A,B,Q,R) 得到K =1.0 1.7321把矩陣Q改為同樣的可以得到K = 10.0000 4.5826仿真圖形如下圖3.1圖3.2結(jié)果分析：A圖3.1表示的是保持R不變，改變Q值。上圖的Q值較小，其響應(yīng)時(shí)間更慢。所以可以看出權(quán)值越大對(duì)系統(tǒng)的控制作用就越強(qiáng)。B. 圖3.2表示的是保持Q值不變，改變R值。上圖的R值較大?？梢缘贸鼋Y(jié)論：R較大時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)比較慢，而且超調(diào)量大，這是因?yàn)镽對(duì)控制律U的作用是限制作用，當(dāng)它越大時(shí)，輸出受限制也就多，輸出響應(yīng)就比較慢。小結(jié)本文介紹了線性二次型最優(yōu)控制的

6、基本原理，并給定了一個(gè)具體的控制系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對(duì)其最優(yōu)控制進(jìn)行了求解，并對(duì)所求解的系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)所得到的線性二次型最優(yōu)控制效果比較好，達(dá)到了設(shè)計(jì)的目的。 A=0 1;0 0;B=0;1; C=1 0;D=0; Q=1 0;0 1;R=1; K=1.0000 1.7321; sys=ss(A-B*K,eye(2),eye(2),eye(2); t=0:0.01:8; x=initial(sys,1;0,t); x1=1 0 *x' x2=0 1 *x' subplot(2,1,1);plot(t,x1) grid xlabel('t(sec)');ylabel('x1'