空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距離

1、空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距離1.要求一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，可以分為三個(gè)步驟：(1) 找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任意一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；(2) 求出該平面的法向量；(3) 求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，這就是該店到平面的距離。例子：點(diǎn)到面的距離（注：AB為點(diǎn)A的斜向量，是面的法向量，點(diǎn)是面內(nèi)任意一點(diǎn)。）2.求立體幾何體積（向量法）體積公式：1、柱體體積公式：2、椎體體積公式：3、球體體積公式：課后練習(xí)題zOADCBxyM例題：在三棱錐BACD中，平面ABD平面ACD，若棱長(zhǎng)AC=CD=AD=AB=1，且BAD=300，求點(diǎn)D到平面ABC的距離。要求平面外一點(diǎn)P到平

2、面的距離，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，則點(diǎn)P到平面的距離即為d=建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A（），B（），C（），D（ ,設(shè)=(x,y,z)為平面的一個(gè)法向量，則 ，可取代入得，即點(diǎn)D到平面ABC的距離是。1. 已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空間不共面的四點(diǎn),求點(diǎn)D到平面ABC的距離. 解：設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量，則由及,得 ,取x=3,得,于是點(diǎn)D到平面ABC的距離為d=.2.已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB和AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離. 解：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系C-xy

3、z，則G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，=(2,4,-2),=(4,2,-2),=(2,0,0).設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，則由及，得,取y=1,得,于是點(diǎn)B到平面EFG的距離為d=.3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中，求點(diǎn)C到平面ABD的距離。解：建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(1,0,1),B(1,1,0),C (0, 1,1). 設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，則由及，得,取x=-1,得=(-1,1, 1),于是點(diǎn)C到平面ABD的距離為d=.4.如圖4，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=

4、2，AB=AD=，求點(diǎn)E到平面ACD的距離. 解：由題設(shè)易知AOBD，OCBD，OA=1，OC=，OA+OC=AC，AOC=90，即OAOC.以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0),E(,0), =(-1,0,-1), =(0, ,-1), =(-,-,0). 設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，則由及，得,取z=,得=(-,1, ),于是點(diǎn)E到平面ACD的距離為d=. 5. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90°，ABBCAA12，M、N分別是A1C1、BC1的

5、中點(diǎn)()求證：BC1平面A1B1C；()求證：MN平面A1ABB1；()求三棱錐MBC1B1的體積()ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1平面A1B1C1，B1BA1B1又B1C1A1B1，A1B1平面BCC1B1，BC1A1B1BB1CB2，BC1B1C，BC1平面A1B1C()連接A1B，由M、N分別為A1C1、BC1的中點(diǎn)，得MNA1B，又A1B平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，MN平面A1ABB1()取C1B1中點(diǎn)H，連結(jié)MHM是A1C1的中點(diǎn)，MHA1B1，又A1B1平面BCC1B1，MH平面BCC1B1，MH是三棱錐MBC1B1的高，三棱錐MBC1B1的體積6. 如圖，在三棱柱中，