第四章微分中值定理與導數(shù)的應用

1、教學內容（含時間安排）板書或旁注第四章 微分中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié) 中值定理（2課時）要求：理解羅爾中值定理與拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。重點：理解中值定理及簡單的應用。難點：中值定理證明的應用。一、羅爾(Rolle)定理羅爾定理 如果函數(shù)滿足條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內可導； （3）則在開區(qū)間內至少有一點，使得函數(shù)在該點的導數(shù)等于零，即幾何解釋設曲線的方程為，羅爾定理的條件的幾何表示，是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處具有不垂直于軸的切線，且兩個端點的縱坐標相等，結論是曲線弧上至少有一點C，使該點處曲線的切線是水平的從圖中看到，在曲線的最高點或最低點處，切線是水平的

2、，這就啟發(fā)了我們證明這個定理的思路，應在函數(shù)取最值點處找 例1驗證羅爾定理對函數(shù)在上的正確性證明 因為函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，可導且 函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理條件，所以在區(qū)間內存在使得，于是 故確實在區(qū)間內至少存在一點使得，結論成立二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）幾何分析拉格朗日中值定理 設函數(shù)滿足條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內可導則在區(qū)間內至少存在一點，使得等式成立推論1 如果函數(shù)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，那么函數(shù)在區(qū)間I上是一個常數(shù)（它的逆命題也成立）例2試證證明 構造函數(shù)，因為函數(shù)在上可導，且由推論得 ，當時， 從而推論2如果函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)、可導，且，則在I上有（如何證明

3、？）例3證明不等式證明 設函數(shù)，因為函數(shù)在上滿足拉氏定理條件，則有，由于，因此上式成為，又由于，有 ，從而 （）說明 利用拉格朗日中值公式證明不等式關鍵是選擇函數(shù)及對應的區(qū)間，步驟如下，（1）選擇適當函數(shù)及相應區(qū)間，使其滿足定理的條件，有；（2）在區(qū)間上找出導函數(shù)最大（小）值，即有，于是得到不等式 三、柯西中值定理（廣義微分中值定理）柯西中值定理 如果函數(shù)及滿足條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內可導，且，則在區(qū)間內至少有一點，使等式成立說明 （1）公式中的是同一值，即（）；（2）當時，正是拉氏中值公式；三個定理聯(lián)系，羅爾定理拉氏定理柯西定理作業(yè) 習題4.1第二節(jié) 洛必達法則（2課時）

4、要求：知道洛必達法則成立的條件，能熟練的用洛必達法則求求各種不定式的極限。重點：利用羅比塔法則求未定式的極限。難點：利用羅比塔法則求冪指函數(shù)的極限。一、不定式依照極限運算法則求某些函數(shù)的極限時，常會遇到幾種奇怪的現(xiàn)象 ，,，這些都稱為不定式或未定式，究竟這種極限是否存在？如何計算這些極限呢？下面介紹的洛必達法則就是求基本不定式“”極限的一個簡單方法它的理論依據(jù)是柯西中值定理二、基本不定式1“”型不定式定理1 若函數(shù)滿足下列條件（1）； （2）在點的某空心鄰域內、存在，且； （3）存在（或為無窮大）；則 (利用柯西中值定理 ，將函數(shù)與其導數(shù)聯(lián)系起來)注意（1）使用洛必達法則時，要注意條件，首先必

5、是型的不定式，再極限存在或無窮大，若極限不存在或非無窮大，則不可以使用洛必達法則；（2）如果極限仍為型不定式，且滿足定理條件，可繼續(xù)使用洛必達法則例1求極限解注意 上式中的極限已不是不定式，不能對它再使用洛必達法則例2求極限 解（或=）例3求極限解=例4求極限解 = =注意（3）應用洛必達法則求極限，常與以前講過的方法結合起來使用會更方便；（4）應用洛必達法則求極限過程中，極限存在且不為零的因子可分離出來，以便化簡后面求解過程定理2 若函數(shù)滿足下列條件 （1）； （2）當時，都存在，且； （3）存在（或為無窮大）；則 = （證明時令，則時，應用定理1即可證）例5求極限解=12型不定式定理3 若

6、函數(shù)滿足下列條件（1）， ； （2）當時，都存在，且； （3）存在（或為無窮大）；則 = 說明 定理3對時仍成立求兩個基本極限例6求基本極限 （）解=0例7求基本極限（為自然數(shù)，）解= =0利用上面的結果易知，當時，函數(shù)的速度一個比一個大練習：1；2；3；例8求極限解 這是一個型不定式，但如果使用洛必達法則，會得到=（不存在）的結果而實際上=1例9求解這將會陷入無休止的循環(huán)中去，所以該題不能使用洛必達法則，可以如下做法，=注意（5）雖然有些極限是或型，但不能用洛必達法則，為什么？三、其它五種不定式其它五種不定式為“，”（1）若為型不定式，則或；例10求極限 （）解這種是將下放，注意一般對數(shù)函數(shù)

7、、反三角函數(shù)不下放（2）若為型不定式，則一般把合并成一個分式，這分式就是或型不定式；例11求極限解=（3）若是，三種不定式，則 =為型不定式例12求極限（型）解= =1例13求極限（型）解= =1例14求極限（型）解=特別強調 洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法，但最好能與其它求極限的方法結合使用，如能化簡時應盡量化簡，能用等價無窮小代換或重要極限應盡可能應用，這樣可使運算簡捷例15求極限解= =注意（7）對于數(shù)列極限，若用洛必達法則必須化為相應函數(shù)后，再用該法則求極限例16作業(yè) 習題4.2第三節(jié) 函數(shù)的極值及其求法（2課時）要求：熟練掌握用導數(shù)研究函數(shù)的極值。重點：用導數(shù)求函數(shù)的極值。難

8、點：解決實際問題的極值。一、極值的概念定義 設函數(shù)在區(qū)間內有定義，是內的一個點如果存在著點的一個去心鄰域，對該鄰域內的任何，均有成立，就稱是函數(shù)的一個極大值；如果存在著點的一個去心鄰域，對該領域內的任何，均有均成立，就稱是函數(shù)的一個極小值說明 （1）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點如 函數(shù)，由上節(jié)知道，極大值，極小值，極值點為； （2）極大值、極小值是局部性的，極大值不一定比極小值大；（3）從圖中可看到，在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的二、函數(shù)取得極值的必要和充分條件定理1（必要條件）設函數(shù)在點處可導，且在點處取得極值，那么函數(shù)在點處的導數(shù)為零，即 說明 （1）導數(shù)

9、為零的點（即方程的實根）稱為函數(shù)的駐點由定理1可知，可導函數(shù)的極值點就是駐點；反之，駐點不一定是極值點如函數(shù)在怎樣？（2）定理1雖沒有提供判別極值的方法，但卻把求可導函數(shù)的極值點的路徑給出，即從中找，找出的這些點后，還需加以判別是否為極值點，是極大值還是極小值下面定理2和定理3是關于極值的兩個判別法定理2（第一充分條件）設函數(shù)在點的某個鄰域內可導，且（1）如果當取左側鄰近的值時，導數(shù)恒為正；當取右側鄰近的值時，導數(shù)恒為負，那么函數(shù)在點處取得極大值；（2）如果當取左側鄰近的值時，導數(shù)恒為負；當取右側鄰近的值時，導數(shù)恒為正，那么函數(shù)在點處取得極小值； （3）如果當取左右兩側鄰近的值時，導數(shù)恒為正或

10、恒為負，那么函數(shù)在點處沒有極值例1求函數(shù)的極值解 （1）函數(shù)的定義域是，導數(shù)為 ， （2）令，得，（3）列表如下符號極大值10極小值應用定理2判別極值的步驟如下，（1）求出函數(shù)的定義域，及導數(shù)；（2）求出函數(shù)的全部駐點（即求出方程在所討論的區(qū)間內的全部實根）；（3）用這些點將函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間，考查在各點兩側導數(shù)的符號，根據(jù)定理2判別該點是否有極值點，是極大值點還是極小值點；（4）求出各極值點的函數(shù)值，就得的全部極值例2求函數(shù)的極值解 （1）函數(shù)的定義域為，導數(shù)為 ， （2）令，得， （3）列表如下（）()不存在0極大值0極小值注意：完整地說，若點是函數(shù)的極值點，那么點不是駐點就是導數(shù)

11、不存在的點如果函數(shù)存在二階導數(shù)，那末函數(shù)的極值可以用二階導數(shù)符號判別定理3（第二充分條件）. 設函數(shù)在點處具有二階導數(shù)，且，那么（1）當時，函數(shù)在點處取得極大值； （2）當時，函數(shù)在點處取得極小值；注意 （1）當，不能用此判別點是否為極值點； （2）用該判別法判別時，不要遺漏的點，須用定理2判別例3求函數(shù)的極值解 函數(shù)的定義域為，導數(shù)為 ，,令得，駐點，因為,所以函數(shù)在點處有極小值，由因為，定理3失效，所以用定理2判別這兩點不是極值點最后檢查函數(shù)無導數(shù)不存在的點作業(yè) 習題4.3第四節(jié) 函數(shù)的最值（1課時）要求：明確函數(shù)極值與最值區(qū)別，會求簡單實際問題的最大值與最小值。重點：解決實際問題的最值。

12、難點：求實際問題最值中建立模型。問題提出 在一定條件下，怎樣使產品最多、用料最省、成本最低、效率最高等問題，這類問題在數(shù)學上有時可歸納為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題一求最值的一般方法把函數(shù)的駐點及導數(shù)不存在的點連同端點的函數(shù)值求出來，即、進行比較，最大者為最大值，最小者為最小值例1求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值解 由§5知當時，；時不存在，所以經(jīng)過比較得到最大值為，最小值為例2設函數(shù)，問等于多少時，的值最小，并求最小值 解 由導數(shù)，得因為，所以為函數(shù)的極小值點，即有極小值又因為函數(shù)在開區(qū)間內只有一個極小值，故為最小值二最優(yōu)化問題建立模型：建立拉格朗日函數(shù)及相應的區(qū)間；利

13、用求最值的方法求出函數(shù)的最值例3鐵路線上AB段的距離為，工廠距離A處為，AC垂直于AB，為了運輸需要，要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路，已知鐵路每公里貨運的費用與公路上每公里的運費之比為，為使貨物從供應站B運到工廠C的運費最省，問D點應選在何處？ 解 1）建立模型總費用與D的選擇有關，設，總費用與有關，因為 ，由于鐵路運費與公路運費之比為，因此不妨設鐵路運費為，公路運費為（為某整數(shù)），則從點到點需總運費=（），2）現(xiàn)在問題歸結為在閉區(qū)間上取何值時目標函數(shù)的值最小，因為，令，解方程得又由于，經(jīng)過比較可得，為最小值，因此當時，總費用最省說明在實際問題中，根據(jù)實際問題性質可以判定可導函數(shù)確有

14、最值，而且一定在區(qū)間內部取得，若只有一個根，那么不必討論是否為極值，就可判定為最值作業(yè) 習題4.4第五節(jié) 曲線的凹凸性與拐點（1課時）要求：會用導數(shù)研究函數(shù)圖形的凹凸性和拐點。會求函數(shù)圖形的水平與垂直漸近線，會利用導數(shù)作函數(shù)的圖形。重點：曲線的凹凸性與拐點，函數(shù)的作圖。難點：復雜函數(shù)的作圖。問題提出 前面已經(jīng)研究了函數(shù)的單調性與極值，這對于描繪函數(shù)的圖形有很大的作用，但僅僅知道這些還不能比較準確地描繪函數(shù)的圖形，例如見圖中有兩條曲線弧，雖然它們都是單調遞增的，但圖形卻有顯著的不同曲線是向上凸的曲線， 曲線是向下凸的曲線，它們的凹凸性不同，下面來研究曲線凹凸性及判別法一、凹凸性的概念及判別法定義

15、 設函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，（1）如果對區(qū)間I上任意兩點，恒有 成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的圖形是凹的（或凹弧）；（2）如果對區(qū)間I上任意兩點，恒有成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的圖形是凸的（或凸?。┤?正弦函數(shù)在區(qū)間上為凸的，在區(qū)間上為凹的，問題：如何判別函數(shù)的凹凸性？如果用定義判別太繁瑣，由圖形判別，一般用描點法不能準確的畫出函數(shù)的圖形，所以用函數(shù)二階導數(shù)的符號判別，由圖中容易看出：當導數(shù)單調增加時，曲線是凹的；當導數(shù)單調減少時，曲線是凸的，那么這種情況是否具有一般性？下面給出判別定理定理 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內具有一階和二階導數(shù)， （1）若當時，二階導數(shù)，則函數(shù)在上的圖形是凹的； （2）若當時，二

16、階導數(shù)，則函數(shù)在上的圖形是凸的；例1判別曲線的凹凸性解 因為，,所以，當時，在區(qū)間內的圖形為凹的；當時，在區(qū)間內的圖形為凸的；在本例中，點是曲線凹與凸的分界點拐點二、曲線的拐點連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點討論曲線凹與凸及拐點，相當于討論導函數(shù)的單調性及極值因此，如果函數(shù)在區(qū)間內具有二階導數(shù)，我們就可以按下列步驟來判定曲線的拐點：（1）求出二階導數(shù)；（2）令，解出這個方程在區(qū)間內的實根；（3）對每一個點，檢查二階導數(shù)在點左、右兩側符號（，若在兩側符號相反時，點是拐點；若在兩側符號相同時，點不是拐點例2求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點解 因為， ， 令，得，當時，不存在列表如下，（）（）不存在凹凸性與拐點凸