第十章(第一部分)曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分（第一部分）曲線積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一型曲線積分）一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1定義.2物理意義表示線密度為的弧段的質(zhì)量.二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：.2可加性：若，則.3的弧長(zhǎng)：.4單調(diào)性：設(shè)在上，. 則.5與積分曲線的方向無(wú)關(guān)性：三、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法方法：化為定積分計(jì)算（注：下限<上限）（1）若；則.（2）若；則.（3）若；則.（4）若；則.注被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡(jiǎn)！四、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分典型例題例1求，其中.分析 此題若用選取參數(shù)方程計(jì)算，將會(huì)很麻煩。注意到積分曲線是，而由輪換對(duì)稱性可知：，由奇偶對(duì)稱性知：. 故本題有如下簡(jiǎn)單的

2、解法。解 .五、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用 求曲線的弧長(zhǎng).2物理應(yīng)用 質(zhì)量.質(zhì)心 ，.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，.引力 .、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二型曲線積分）一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1定義.2物理意義.變力沿所作的功.二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：.2可加性：若（方向不變），則.3方向性：設(shè)是的反向曲線弧，則.三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法1直接計(jì)算法（化為定積分計(jì)算）.（注：下限起點(diǎn)，上限終點(diǎn)）（1）設(shè)；從變到；則.（2）設(shè)；從變到；則.（3） 設(shè)；從變到；則.（4）設(shè)；從變到；則.2格林（Green）公式計(jì)算法.（注意使用條件?。ㄟ@里為區(qū)域的正向邊界曲線）3利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件計(jì)算法

3、.與路徑無(wú)關(guān)，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線.，單連域，單連域.Newton lebniz公式的推廣。4斯托克斯（Stokes）公式計(jì)算法.（這里是有向曲面的正向邊界曲線）注被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡(jiǎn)！四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 .其中、為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角.五、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分典型例題例1計(jì)算曲線積分，其中為曲線沿增大的方向。分析由于，故曲線積分與路徑有關(guān)。又因積分曲線不是封閉的，計(jì)算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算；二是采用添補(bǔ)特殊路徑，然后應(yīng)用Green公式計(jì)算。本題采用第一種方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，這里應(yīng)首先將積分曲線的方程改寫為，再代入被積函數(shù)中計(jì)算。解 由于，

4、所以.例2計(jì)算曲線積分其中為圓周（按逆時(shí)針方向繞行）.分析由于本題積分曲線為圓周，故可首先寫出的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計(jì)算；此時(shí)應(yīng)注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡(jiǎn)，去掉奇點(diǎn)，使其滿足格林公式的條件。解法1：化為定積分計(jì)算。由于的參數(shù)方程為：，從變到. 則.解法2：利用格林公式計(jì)算。設(shè)由所圍區(qū)域?yàn)?，則；于是.例3設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。(1) 證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；(2) 求函數(shù)的表達(dá)式；(3) 設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正

5、向閉曲線，求(1) 證 在右半平面內(nèi)，任取兩點(diǎn)，以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)作任意光滑曲線，再以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)作圍繞原點(diǎn)的光滑曲線，由題設(shè)知所以，即(2)解 因?yàn)閷?duì)右半平面內(nèi)任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有，所以 從而有所以，有 ，比較兩邊的同次冪系數(shù)得，將代入第二式得. (3) 解 設(shè)為正向閉曲線所圍區(qū)域，由(1)，利用Green公式和對(duì)稱性，.六、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的物理應(yīng)用求變力沿曲線所作的功：. (第二部分)曲面積分、對(duì)面積的曲面積分（第一型曲面積分）一、對(duì)面積的曲面積分的定義1定義.2物理意義表示面密度為的曲面的質(zhì)量.二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：2可加性：.3的面積：.4單調(diào)性：若在上，則.三

6、、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法方法：化為二重積分計(jì)算（關(guān)鍵：確定二重積分的積分變量）（1）若，. 則.（2）若，. 則.（3）若，. 則.四、對(duì)面積的曲面積分典型例題例1計(jì)算曲面積分，其中為在與之間的部分。分析因?yàn)椋?，即，從中能確定，或。解令： ；：. 則（如圖）.（1）求和在平面上的投影區(qū)域：因和在平面上的投影區(qū)域相同，設(shè)為，則：，.（2）求微元：在和上，；（3）轉(zhuǎn)化為二重積分：.例2計(jì)算曲面積分，其中為球面.分析 由于積分曲面為球面，它關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面具有輪換對(duì)稱性，所以，而. 故本題利用輪換對(duì)稱性和奇偶對(duì)稱性計(jì)算比較簡(jiǎn)單。解 因 ，由奇偶對(duì)稱性可知，上述未寫出項(xiàng)的積分值均為，而由輪換對(duì)稱性易

7、知，故.注 從以上幾個(gè)例子可以看出，計(jì)算對(duì)面積的曲面積分應(yīng)注意掌握以下幾個(gè)要點(diǎn)：（1）由于積分范圍是曲面，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲面的方程,計(jì)算中要善于利用曲面的方程來(lái)化簡(jiǎn)被積函數(shù)；（2）計(jì)算對(duì)面積的曲面積分時(shí)，應(yīng)注意觀察積分曲面的對(duì)稱性（包括輪換對(duì)稱性）和被積函數(shù)的奇偶性，可以利用此類特殊性來(lái)簡(jiǎn)化積分的計(jì)算；（3）將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算，關(guān)鍵在于二重積分積分變量的選擇，這是由積分曲面的方程的特點(diǎn)所決定的，從以上的例子即可看出。五、對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用 求曲面的面積：.2物理應(yīng)用質(zhì)量.質(zhì)心，.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，.、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二型曲面積分）一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念1定義.

8、2物理意義表示流體密度速度場(chǎng)為，單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面一側(cè)的流量。二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)1可加性 ；2反號(hào)性 ).三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法1直接投影法（化為二重積分）（1）設(shè) ，. 則.上側(cè)取“+”，下側(cè)取“”.（2）設(shè)，. 則.前側(cè)取“+”，后側(cè)取“”. （3）設(shè)，. 則.右側(cè)取“+”，左側(cè)取“”.2高斯（Gauss）公式計(jì)算法.或 .這里是的外側(cè)邊界，為曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦.3轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分計(jì)算法其中為曲面在點(diǎn)處的法向量的方向余弦.4. 斯托克斯公式：或 .其中，為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，在（連同邊界）上具有一

9、階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分典型例題例3計(jì)算曲面積分，其中為下半球面的上側(cè)。分析由于，定義在曲面上，所以被積函數(shù)滿足曲面方程. 故應(yīng)首先考慮用曲面方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)，即，然后再計(jì)算。解 先以代入被積表達(dá)式中，得.（法一）直接計(jì)算將（或分片后）投影到相應(yīng)坐標(biāo)面上化為二重積分逐塊計(jì)算。其中為平面上的半圓. 利用極坐標(biāo)，得因此，.（法二）高斯公式補(bǔ)有向曲面取下側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面，且方向?yàn)閮?nèi)側(cè)。由所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)椋海ㄈ鐖D所示）. 應(yīng)用高斯公式，得.又因 ，因此. 例4 計(jì)算，其中是平面與柱面的交線，從軸正向看去，為逆時(shí)針方向。分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來(lái)看，若采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積

10、分計(jì)算比較困難?，F(xiàn)利用Stokes公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。但要注意將曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分時(shí)，曲面的側(cè)與曲線的方向符合右手規(guī)則，從而正確決定二重積分的正負(fù)號(hào)。解 設(shè)為平面上所圍成部分的上側(cè)，為在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，則；由Stokes公式，得.五、其它結(jié)論1. 與無(wú)關(guān)，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲面， 二維單連通域。2. 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件與路徑無(wú)關(guān)，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線， 一維單連通域， 一維單連通域.注：二維單連通區(qū)域：內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域完全屬于. 如環(huán)面。 一維單連通區(qū)域：內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于的曲面，如同心球面之間的區(qū)域。3. 散度與旋度 設(shè)，均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（1）散度.（2）旋度.例5設(shè)存在一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且存在。并設(shè)為任意一張可定向的逐片光滑曲面片，它的邊界為，的定向與的定向按右手法則，設(shè)的值