第八章典型習題解答與提示

1、第八章 無窮級數(shù)典型習題解答與提示習題8-11（1）；（2）。2提示，級數(shù)的和為。3（1）提示，級數(shù)發(fā)散；（2）提示，級數(shù)是公比的等比級數(shù)，級數(shù)是公比的等比級數(shù)，原級數(shù)收斂；（3）因， 則 故，故級數(shù)收斂；（4）因，故， 故由級數(shù)收斂的必要條件知，級數(shù)發(fā)散。4（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯。習 題 8-21（1）級數(shù)發(fā)散；（2）級數(shù)收斂；（3）因，又因為級數(shù)是收斂的級數(shù)，故由比較審斂法知，已知級數(shù)收斂；（4）因，又級數(shù)是收斂的等比級數(shù)，故由比較審斂法知，級數(shù)收斂。2（1）級數(shù)發(fā)散；（2）級數(shù)收斂；（3）因，則，即由比值審斂法知，級數(shù)收斂；（4）因，則，故由比值審斂法知，級數(shù)發(fā)散。3（1

2、）因，故，且，故審斂，即已知級數(shù)絕對收斂；（2）故。又，級數(shù)是收斂的級數(shù)，故由比較審斂法知，級數(shù)絕對收斂；（3）因，故，且級數(shù)發(fā)散，故由比較收斂法知，級數(shù)不絕對收斂，但是，易知該級數(shù)滿足萊布尼茲的條件，故該級數(shù)是條件收斂的交錯級數(shù)；（4）因，故，則，故由比值審斂法，級數(shù)絕對收斂。習 題 8-31（1）收斂區(qū)間為；（2）收斂區(qū)間為；（3）收斂區(qū)間為；（4），收斂區(qū)間為；（5）因，故， 則，收斂區(qū)間為；（6）因，故， 即，收斂區(qū)間為；（7）因，故， 即，收斂區(qū)間為，即，也即；（8）令，則原級數(shù)可化為，因，則，關于的冪級數(shù)的收斂半徑，即在內收斂；故原級數(shù)在內，即內收斂。即所求收斂區(qū)間為。2（1）提示

3、令，兩邊從積分，再求導即可，；（2）方法一因，令， 兩邊從兩次積分，得， 上式兩邊兩次求導，得 即所求和函數(shù)為； 方法二因，兩邊求導，得。即，兩邊再次求導，得即；（3）令，兩邊求導，得兩邊從積分，得即因，故；（4）令，兩邊求導，得兩邊再次求導，得則上式從積分，得，上式兩邊再次從積分，得。3令，兩邊求導，得，上式兩邊從積分，得由上級數(shù)的和函數(shù)知當時，有，則，即。* 習 題 8-41（1）；（2）；（3）提示，；（4）因，又， 則；（5）因，又，則；（6）因，又，則。2（1）提示，；（2）；（3）。3因可看作是在處的函數(shù)值。又。則。顯然上式右端是一個收斂的交錯級數(shù)，若取級數(shù)的前三項作為的近似值，則

4、誤差為，精確到了，達到了精確到要求，即。4略。* 習題8-51（1）提示：由歐拉-傅里葉公式計算，則的傅里葉級數(shù)為，由收斂定理知；（2）因，由歐拉-傅里葉公式知，則的傅里葉級數(shù)為且，由收斂定理知；（3）因，則由歐拉-傅里葉公式知，則所求傅里葉級數(shù)為由收斂定理知；（4）因，則由公式知：，即所求傅里葉級數(shù)為且由收斂定理知。2（1）因，是偶函數(shù)，則由公式知， 即可得如下余弦級數(shù)。（2）因為奇函數(shù)，則，即有正弦級數(shù)且，由收斂定理知。* 習 題 8-61因周期為4，由公式知，,則所求傅里葉級數(shù)為且，由收斂定理知。2因周期為2，則由公式知，為偶函數(shù)， 故由收斂定理有。3因，周期數(shù)為4，即，則由公式知，則的

5、傅里葉級數(shù)為，且，。復習題八17略。8（1）因，又是發(fā)散的正項級數(shù)， 故由比較審斂法知，原級數(shù)發(fā)散；（2）因，又是收斂的級數(shù)， 故由比較審斂法知，原級數(shù)收斂；（3）因，則， 故時，級數(shù)發(fā)散；時，級數(shù)收斂；（4）因，又級數(shù)是收斂的級數(shù)， 故由比較審斂法知，原級數(shù)收斂；（5）因，則，故由收斂的必要條件知，級數(shù)發(fā)散；（6）因，則， 顯然級數(shù)發(fā)散，即原級數(shù)不絕對收斂， 但是，單調遞減且趨于0，故由萊布尼茲審斂法知，原級數(shù)條件收斂。9（1）原級數(shù)可化為，令，則級數(shù)又可化為， 于是，故關于的冪級數(shù)的收斂半徑，即當時，級數(shù)收斂，從而原級數(shù)在時收斂，于是其收斂區(qū)間，當時，級數(shù)為，是收斂的交錯級數(shù)；當時，級數(shù)為，是發(fā)散的調和級數(shù)，于是原級數(shù)的收斂域為；（2）原級數(shù)即為，于是有，故收斂半徑，收斂區(qū)間為，又容易知道時，級數(shù)皆發(fā)散，于是收斂域為；（3）因，又當令時，級數(shù)，極限，故級數(shù)的收斂區(qū)間為，于是，故原級數(shù)的收斂區(qū)間是，經檢驗知，已知級數(shù)的收斂域為。10（1）因，又，； （2）因，又因，則 （3）因，又，則； （4）因，則；11（1）因，且以為周期，則由公式知：， 即所求傅里葉級數(shù)為；（2）因，且以2為周期，則由公式知，注明：，,故