簡單的三角恒等變換

1、4-5簡單的三角恒等變換基礎(chǔ)鞏固強化1.(文)已知等腰三角形頂角的余弦值等于，則這個三角形底角的正弦值為()A. BC. D答案C解析設(shè)該等腰三角形的頂角為，底角為，則有2，0<<，2cos21cos，sinsin()cos，故選C.(理)(2011·天津薊縣模擬)函數(shù)f(x)cos2xsinxcosx在區(qū)間，上的最大值為()A. B.C1 D.答案D解析f(x)sin2xsinx，2x，sin1，f(x)的最大值為.2(文)已知tan2，則sin2cos2的值是()A. B.C. D.答案B解析sin2cos2.(理)(2012·東北三省四市聯(lián)考)若點P(co

2、s，sin)在直線y2x上，則sin22cos2()A BC2 D.答案C解析點P在直線y2x上，sin2cos，sin22cos22sincos2(2cos21)4cos24cos222.3(2012·大綱全國文)若函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù)，則()A. B.C. D.答案C解析本題考查了三角函數(shù)奇偶性，誘導(dǎo)公式由ysin是偶函數(shù)知k，即3k，又0,2，適合本題也可用偶函數(shù)定義求解4(2012·北京海淀期中練習(xí))已知關(guān)于x的方程x2xcosA·cosB2sin20的兩根之和等于兩根之積的一半，則ABC一定是()A直角三角形 B等邊三角形C等腰三角形 D

3、鈍角三角形答案C解析由題意得，cosAcosB·2sin2cosA·cosB2cosA·cosB1cos(AB)2cosA·cosB1cosA·cosBsinA·sinBcosA·cosBsinA·sinB1cos(AB)1AB0AB，所以ABC一定是等腰三角形，故選C.5(文)(2011·陜西寶雞質(zhì)檢)設(shè)，均為銳角，且cos()sin()，則tan的值為()A2 B.C1 D.答案C解析由已知得coscossinsinsincoscossin，所以cos(cossin)sin(cossin)，因為為銳角

4、，所以sincos0，所以sincos，即tan1，故選C.(理)已知cos()，sin，且，則sin()A. B.C D答案A解析，0<<，又cos()，sin()；<<0，且sin，cos.從而sinsin()sin()coscos()sin.6(文)設(shè)<<3，且|cos|，那么sin的值為()A. BC D.答案C解析<<3，cos<0，cos.<<，sin<0，又cos12sin2，sin2，sin.(理)已知tan3，則cos()A. BC. D答案B解析coscos2sin2，故選B.7(文)在ABC中，aco

5、s2ccos2b，則()Aa，b，c依次成等差數(shù)列Bb，a，c依次成等差數(shù)列Ca，c，b依次成等差數(shù)列Da，b，c既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列答案A解析acos2ccos2b，a·c·b，(ac)(acosCccosA)3b，acosCccosAb，ac2b，a、b、c依次成等差數(shù)列(理)(2012·河南六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)Asin(x)，(A>0，>0,0<<)，其導(dǎo)函數(shù)f (x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)4sin(x)Bf(x)2sin(x)Cf(x)2sin(x)Df(x)4sin(x)答案A解析f

6、 (x)Acos(x)，由圖象知，2×()，又A2，A4，f (x)2cos(x)，由f (x)的圖象過點(，0)得，cos()0，0<<，f(x)4sin(x)，故選A.8已知sin，cos，其中，(0，)，則_.答案解析，(0，)，sin，cos，cos，sin，cos()coscossinsin××0，(0，)，.9已知：sincos，<<2，則cos_.答案解析cos.10在ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，則tantantan·tan的值是_答案解析A、B、C成等差數(shù)列，2BAC，又ABC，B，AC，tantantan&#

7、183;tantantantan.能力拓展提升11.的值為()A.B.C2D4答案C解析原式2.12(文)(2011·天津薊縣模擬)函數(shù)f(x)cos2xsinxcosx在區(qū)間，上的最大值為()A. B.C1 D.答案D解析f(x)sin2xsin，x，2x，sin1，f(x)的最大值為.(理)在ABC中，若sinAsinBcos2，則ABC是()A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D既非等腰又非直角的三角形答案B解析sinAsinBcos2，cos(AB)cos(AB)(1cosC)，cos(AB)cos(C)1cosC，cos(AB)1，<AB<，AB0，ABC為等腰

8、三角形13已知sincos，且<<，則cos2的值是_答案解析由消去cos得，sin2sin0，<<，sin>0，sin，cos212sin2.14(2012·河北保定模擬)設(shè)為ABC的內(nèi)角，且tan，則sin2的值為_答案解析tan，sin2.15(文)已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0，上的最大值和最小值(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解析(1)由f(x)2sinxcosx2cos2x1，得f(x)(2sinxcosx)(2cos2x1)sin2xcos2x2sin.所以函數(shù)

9、f(x)的最小正周期為.因為f(x)2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)1，f2，f1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又因為f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，從而cos.所以cos2x0coscoscossinsin.(理)已知向量m，nsin，cos.(1)若m·n，求cos的值；(2)記f(x)m·n，在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足(ac)cosBbcosC，求函數(shù)f(A)的取值范圍解析(1)m·ncossincos2sincos，即sin，所以cos1

10、2sin2.(2)f(x)m·nsin，則f(A)sin，因為(ac)cosBbcosC，則(sinAsinC)cosBsinBcosC，即sinAcosBsinA，則B，A，則f(A).16(文)(2012·湖南文，18)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，>0,0<<)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解析(1)由題設(shè)圖象知，周期T2()，所以2.因為點(，0)在函數(shù)圖象上，所以Asin(2×)0，即sin()0.又因為0<<，所以<<.從而，即.又點(

11、0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asin1，得A2.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin(2x)(2)g(x)2sin2(x)2sin2(x)2sin2x2sin(2x)2sin2x2(sin2xcos2x)sin2xcos2x2sin(2x)由2k2x2k，得kxk，kZ.所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k，kZ.點評本題考查了正弦型函數(shù)解析式求法，周期、單調(diào)區(qū)間求法、兩角和與差的正弦公式等基礎(chǔ)知識由圖象求 (理)(2012·烏魯木齊地區(qū)二診)已知函數(shù)f(x)sinx(1sinx)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在，上的最大值和最小值解析(1)f(x)s

12、inxsin2xcos2xsinx1，f(x)的最小正周期為2.(2)f(x)在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，又f()<f()，x時，f(x)有最小值f()sin()1；x時，f(x)有最大值f()sin12.1已知cos2cos2a，那么sin()· sin()等于()A B. CaDa答案C解析sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin)sin2cos2cos2sin2(1cos2)·cos2cos2(1cos2)cos2cos2a.故選C.2若0<<<，則下列不等式中不正確的是()Asinsin< Bsin

13、<sinC·sin<·sin D. ·sin<·sin答案D解析由已知得sin<，sin<，0<sin<sin，因此sinsin<，即選項A正確·sin<·sin，即選項C正確構(gòu)造函數(shù)f(x)xsinx(其中x>0)，則f (x)1cosx0，因此函數(shù)f(x)xsinx在(0，)上是增函數(shù)，當(dāng)0<<<時，有f()<f()，即sin<sin，sin<sin，選項B正確對于選項D，當(dāng)，時，·sin>··sin，選項D不正確點評作為選擇題可用特殊值找出錯誤選項D即可3若，則等于()A2cos B2cosC2sin D2sin答案C解析，.(sincos)(sincos)2sin.4.2的化簡結(jié)果是()A4cos42sin4 B2sin4C2sin44cos4 D2sin4答案D解析<4<，sin4<cos4<0.22|cos4|2|sin4cos4|2cos42(cos4sin4)2sin4.故選D.5已知acosb