積分微積分等重要公式

1、有關(guān)高等數(shù)學(xué)計(jì)算過程中所涉及到的數(shù)學(xué)公式（集錦）一、 （系數(shù)不為0的情況）二、重要公式（1）（2）（3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）三、下列常用等價(jià)無窮小關(guān)系（）四、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則五、基本導(dǎo)數(shù)公式六、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1） （2）（3） （4）七、基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式（1） （2） (3)(4)(5)(6) (7)八、微分公式與微分運(yùn)算法則九、微分運(yùn)算法則十、基本積分公式十一、下列常用湊微分公式積分型換元公式十二、補(bǔ)充下面幾個(gè)積分公式十三、分部積分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十四、第二換元積分法中的三角換元公式

2、(1) (2) (3)【特殊角的三角函數(shù)值】（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4）不存在 （5）（1）不存在 （2） （3）（4）（5）不存在十五、三角函數(shù)公式1.兩角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化積公式5.積化和差公式6.萬能公式7.平方關(guān)系8.倒數(shù)關(guān)系9.商數(shù)關(guān)系十六、幾種常見的微分方程1.可分離變量的微分方程： ， 2.齊次微分方程：3.一階線性非齊次微分方程： 解為：旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程-利用正交變換作旋轉(zhuǎn)眾所周知，坐標(biāo)面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 （1）（見同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)（5版上冊(cè)），313頁

3、）。如果以上曲線的方程能寫成顯函數(shù)（），則該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為或 （2）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)曲線上的每一點(diǎn)，這個(gè)方程給出圓心在，半徑為的一個(gè)垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。如果曲線的方程是顯函數(shù)（），我們也可以用參數(shù)方程來表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)面： （，） （3）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。如果曲線的方程能寫成參數(shù)方程（），則旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程為： （，） （4）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。推而

4、廣之，如果該曲線是空間曲線，其參數(shù)方程為 （），則此曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程為： （，） （5）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。（見同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)（5版上冊(cè)），322頁）。例1坐標(biāo)面上的圓 （）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面為一圓環(huán)面。為了得到圓環(huán)面的參數(shù)方程，先將圓用參數(shù)方程表示為（），再用方程（4）得到圓環(huán)面的參數(shù)方程： （，）如圖1（?。?。圖1 圓環(huán)面繪制圖1的Mathematica程序：a=1;b=3;xxt_:=0;yyt_:=b+a Cost;zzt_:=a Sint;rt_:=A

5、bsyyt;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,0 ,2 Pi,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,0,2 Pi,theta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3

6、;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-5,5,-5,5,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->5,4,3例2 空間直線 （）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面為一單葉雙曲面。用方程（5）得到單葉雙曲面的參數(shù)方程： （，

7、）（見同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)（5版上冊(cè)），322頁）。如圖2圖2 單葉雙曲面繪制圖2的Mathematica程序：xxt_:=1;yyt_:=t;zzt_:=2t;rt_:=Sqrtxxt2+yyt2;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,-1.2 ,1.2,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,-1,1,th

8、eta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->Fals

9、e,Axes->False,ViewPoint->5,4,3從圖2看出，用參數(shù)方程（5）繪制的曲面上的母線并不是原來那條直線（圖中紅色的直線）繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)留下的直線族。為了繪出以圓曲線在旋轉(zhuǎn)時(shí)的曲線族為母線的曲面，我們必須利用旋轉(zhuǎn)曲面的另一種參數(shù)方程。這要用到直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換。平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后的點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 （6）如圖3。（見同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)（5版），32頁）圖3 平面直角坐標(biāo)面上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)同理，空間直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)角度（從軸正向看去為逆時(shí)針方向）后的點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 （7）因此利用正交變換（7），空間曲線 （）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方

10、程又可以寫成：（，） （8）例1 中的圓環(huán)面的參數(shù)方程可以改寫成：（，）例2 中的單葉雙曲面的參數(shù)方程可以改寫成：（，）我們用這個(gè)參數(shù)方程來作圖（圖4）：圖4 單葉雙曲面圖4清楚地顯示了那條紅色的直線在繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)留下的直線族。繪制圖4的Mathematica程序：rt_:=1,t,2t;Atheta_:=Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta,0,0,0,1;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAth

11、eta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-3,3,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumi

12、an,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3同理，我們可以很方便地得到空間曲線繞軸或軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程。結(jié)論：設(shè)有空間曲線 （），則利用繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的變換，該曲線分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程分別是：（1）繞軸旋轉(zhuǎn)：（，） （8）（2）繞軸旋轉(zhuǎn)：（，） （9）（3）繞軸旋轉(zhuǎn)：（，） （10）例3 求空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程，并作圖。解 根據(jù)方程（9），旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程是：（，）如圖5。圖5 繞軸旋轉(zhuǎn)的曲面繪制圖

13、5的Mathematica程序：rt_:=t,t2,t3/3;Atheta_:=Costheta,0,-Sintheta,0,1,0,Sintheta,0,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.1,1.1,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-

14、1,1,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.5,1.5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-0.5,1.5,-1,1,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3例4 求空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)

15、而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程，并作圖。解 根據(jù)方程（10），旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程是：（，）如圖6：圖6 繞軸旋轉(zhuǎn)的曲面繪制圖6的Mathematica程序：rt_:=t,t2,(1+t3)/3;Atheta_:=1,0,0,0,Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-1