第22章作業(yè)分析2008

1、第二十二章量子力學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)分析2008/12/26/22.1電子顯微鏡中電子從靜止通過(guò)電勢(shì)差為的電場(chǎng)得到加速，電子的德布羅意波長(zhǎng)0.04mm，問(wèn)是多少？解： 根據(jù)，有 這樣的電壓不高，電子速度不會(huì)很大，可以用非相對(duì)論公式。22.2在電子顯微鏡中，以電子束代替光束，以電聚焦場(chǎng)和磁聚焦場(chǎng)代替折射透鏡。顯微鏡在最佳情況下，能分辨的最小距離(顯微鏡的分辨本領(lǐng))大致等于顯微鏡所用的電子波長(zhǎng)。一般的電子顯微鏡可采用電勢(shì)差為50kV的電場(chǎng)加速電子，試計(jì)算這種顯微鏡能夠分辨的最小距離。解： 由例題22.1可以看到，當(dāng)加速電壓小于105V時(shí)，計(jì)算電子波長(zhǎng)時(shí)相對(duì)論效應(yīng)是可以忽略不計(jì)的，可以直接應(yīng)用（22-3）式故

2、這種電子顯微鏡可以分辯的最小距離約為。22.3 動(dòng)能為104eV的電子，其德布羅意波長(zhǎng)是多少？如果電子通過(guò)直徑0.1mm的圓孔，電子表現(xiàn)出粒子性還是波動(dòng)性？解：動(dòng)能的電子，相當(dāng)于電子經(jīng)過(guò)的電場(chǎng)加速后的情況，其德布羅意波長(zhǎng)為： 由于電子的波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于圓孔直徑（0.1mm），電子通過(guò)圓孔時(shí)將表現(xiàn)出粒子性。22.4為了探測(cè)質(zhì)子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，曾在斯坦福直線加速器中用能量為22GeV的電子做探測(cè)粒子轟擊質(zhì)子。這樣的電子的德布羅意波長(zhǎng)是多少？已知質(zhì)子的線度為1015m，這樣的電子能用來(lái)探測(cè)質(zhì)子內(nèi)部的情況嗎？解： 電子動(dòng)能已達(dá)到22 GeV，必須考慮相對(duì)論效應(yīng)，根據(jù)相對(duì)論動(dòng)量與動(dòng)能的關(guān)系，電子的德布羅意波長(zhǎng)為這

3、樣的電子可以用來(lái)探測(cè)質(zhì)子內(nèi)部的情況。22.5試證：在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，其波長(zhǎng)與它在這磁場(chǎng)中軌跡的曲率半徑成反比。 證：設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電粒子電量為q，質(zhì)量為m，在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，電子運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供 則 電子的動(dòng)量 電子的德布羅意波長(zhǎng) 即電子的德布羅意波長(zhǎng)與曲率半徑R成正比。22.6室溫(300K)下的中子稱(chēng)熱中子，求熱中子的德布羅意波長(zhǎng)。解： 室溫下的中心處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，其平均速率 中子的德布羅意波長(zhǎng)為 22.7 具有能量15eV的光子被氫原子中處于第一波爾軌道的電子吸收而形成一光電子，此光電子遠(yuǎn)離質(zhì)子時(shí)的速度為多少？其德布羅意波長(zhǎng)為多少？解：光子被氫原子

4、中的電子吸收，電子脫離氫原子核（質(zhì)子），這實(shí)際上是一個(gè)光電效應(yīng)過(guò)程，電子的結(jié)合能就是其電離能，根據(jù)光電效應(yīng)方程，光電子的動(dòng)能 上式中，因?yàn)樵撾娮邮菤湓拥幕鶓B(tài)電子。脫離原子核后的電子其動(dòng)能是很小的，故不必考慮相對(duì)論效應(yīng)，電子的速度： 電子的德布羅意波長(zhǎng)為： 22.8 證明氫原子圓形玻爾軌道周長(zhǎng)是電子德布羅意波長(zhǎng)的整數(shù)倍。這是一種物質(zhì)波駐波。證：根據(jù)玻爾角動(dòng)量量子化假設(shè)，以及德布羅意關(guān)系式，則圓形玻爾軌道的周長(zhǎng) 22.9 鈾核的線度為7.21015m，求其中一個(gè)質(zhì)子的動(dòng)量和速度的不確定量。(不確定關(guān)系式為)。質(zhì)子在鈾核中運(yùn)動(dòng)，可以取鈾核的線度為質(zhì)子位置的不確定量，根據(jù)不確定關(guān)系，質(zhì)子動(dòng)量的不確定

5、量解：質(zhì)子速度的不確定量 22.10試證：在確定一個(gè)運(yùn)動(dòng)粒子位置時(shí)其不確定量若等于其德布羅意波長(zhǎng)，則同時(shí)確定該粒子的速度的不確定量約等于此粒子的速度(不確定關(guān)系式)。解：根據(jù)題意，粒子位置的不確定量等于其波長(zhǎng)，有 由不確定關(guān)系式，有 取等號(hào)，則 22.11電視機(jī)顯象管中電子的加速電壓為9kV，電子槍槍口直徑取0.50mm，槍口離熒光屏距離為0.30m，求熒光屏上一個(gè)電子形成的亮斑直徑。這樣大小的亮斑影響電視圖象的清晰度嗎？解： 電子在電子槍中經(jīng)電場(chǎng)加速，獲得動(dòng)能，其縱向速度（取為y方向，且不需考慮相對(duì)論效應(yīng)） 電子出槍口時(shí)，由于波動(dòng)性，在垂直槍管方向上將有一橫向速度，可以用不確定關(guān)系估算（不確

6、定關(guān)系）,可以取槍口直徑,這樣的橫向速度，并不影響電子的運(yùn)動(dòng)。電子脫離電子槍口后，不論是縱向還是橫向都作勻速直線運(yùn)動(dòng)，電子從槍口到熒光屏所需的時(shí)間為 故屏上的亮斑直徑 這樣大小的亮斑不影響電視圖像的清晰度。22.12 測(cè)出密度為1.2gcm3的球形病毒的直徑為5.0nm，試用不確定關(guān)系估算病毒的最小速率。解：病毒位置的不確定量可以取病毒的線度作為估算，即，病毒的質(zhì)量 式中 根據(jù)不確定關(guān)系式: 病毒的速度一定大于速度的不確定量，即，故最小速度22.13波長(zhǎng)的光沿x軸正向傳播，若光的波長(zhǎng)的不確定量，則利用不確定關(guān)系式，可得光子的x坐標(biāo)的不確定量至少為多少？解： 光譜線的自然寬度可以作為波長(zhǎng)的不確定

7、量，與動(dòng)量的不確定量的關(guān)系為 這樣，由不確定關(guān)系，可以得位置的不確定量與波長(zhǎng)的不確定量的關(guān)系： 即 位置的最小不確定量應(yīng)對(duì)上式取等號(hào): 22.14如果一個(gè)電子處于原子某能態(tài)的時(shí)間為10-8s，該原子的這個(gè)能態(tài)的最小不確定量是多少？(不確定關(guān)系式。)解：設(shè)電子從上述能態(tài)躍遷到基態(tài)，對(duì)應(yīng)的能量為3.39eV，試確定所輻射光子的波長(zhǎng)及這波長(zhǎng)的最小不確定量 根據(jù)不確定關(guān)系式，該能態(tài)的最小不確定量電子從該能態(tài)躍遷到基態(tài)，對(duì)應(yīng)的能量，輻射光子的頻率為，波長(zhǎng),即對(duì)兩邊求不確定量（微分）: 可得: = 22.15 一個(gè)寬度為a的一維無(wú)限深方勢(shì)阱，試用不確定性關(guān)系估算其中質(zhì)量為m的粒子的零點(diǎn)能。(不確定關(guān)系式解

8、：取勢(shì)阱寬度a為粒子位置的不確定量，粒子的動(dòng)量最小應(yīng)等于其不確定量，即，由不確定關(guān)系式 勢(shì)阱中勢(shì)能為零，粒子的能量 最低能量即零點(diǎn)能為22.16 在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中，當(dāng)粒子處于n=3時(shí)，求發(fā)現(xiàn)粒子概率最大的位置及發(fā)現(xiàn)粒子概率最小的位置。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子波函數(shù) ，當(dāng)粒子處于n=3的量子態(tài)時(shí)，波函數(shù) 概率密度函數(shù)發(fā)現(xiàn)粒子概率最大的點(diǎn)可令得到，即 ； ； ； ，x已超越阱外，不可取。發(fā)現(xiàn)粒子概率最小的點(diǎn)可令得到，即 ；，x已超越阱外，不可取。22.17 已知粒子波函數(shù)，試求發(fā)現(xiàn)該粒子的概率密度函數(shù)。解：概率密度函數(shù)，將波函數(shù)代入， 22.18一維運(yùn)動(dòng)的粒子，處于如下波函數(shù)所描述的狀態(tài)： 式中。試求(1) 波函數(shù)的歸