第三章微分中值定理及應(yīng)用MicrosoftWord文檔

1、微分學中值定理一 費馬引理設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導，若是在內(nèi)的最大值或最小值，則。二 羅爾定理若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導；（3）；則至少存在一點，使得【例1】證明方程在內(nèi)至少有一個實根?！纠?】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微，對于，函數(shù)，且，證明：在內(nèi)有且僅有一個，使。三拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導；則至少存在一點，使得?！纠?設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且不恒為常數(shù)，求證：在內(nèi)存在一點，使【例】 設(shè)函數(shù)定義在上，在內(nèi)存在且單調(diào)下降，又。證明：對于，恒有拉格朗日中值定理推論 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)導數(shù)恒為零，則在區(qū)間上恒

2、為常數(shù)?！纠孔C明：當時，證明 設(shè)，則對，當時，所以當時，為常數(shù)。又，所以當時，三柯西中值定理若函數(shù)和滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導；則至少存在一點，使得。【例】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明：，使【例】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明：，使得。四 泰勒公式1（拉格朗日型余項）泰勒公式如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導數(shù)，則對任一，有（*）其中 ，介于與之間。注： 1）（*）稱為函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式。2）稱為函數(shù)按的冪展開的次近似多項式。3）稱為拉格朗日型余項。4）當時，（*）稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階麥克勞林公式。5）麥克勞林公式

3、中的可表示為。泰勒公式中的可表示為。2（皮亞諾型余項）泰勒公式在具有階導數(shù)，則，對任一，有-（*）注： 1）（*）稱為函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式。2）稱為皮亞諾型余項。3）當時，（*）稱為按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林公式。4）拉格朗日型余項泰勒公式與皮亞諾型余項的泰勒公式區(qū)別：拉格朗日型余項泰勒公式可估計誤差，皮亞諾型余項的泰勒公式不能估計誤差。常用函數(shù)麥克勞林展開式（展開成階泰勒公式）（展開成階泰勒公式），【例1】設(shè)，且，證明【例2】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導數(shù)，且，證明：，使【例3】求導數(shù)應(yīng)用一 未定式求極限未定式分類1）或（基本型） 2）， 3），未定式

4、求極限方法1基本型 洛必達法則 在自變量同一變化過程中，若函數(shù)滿足（1）是或型（2）當時，在某內(nèi)可導，且；當時，存在某，可導，且（3）存在或則存在，且。注 1） 必須是或未定式才可以使用洛比達法則；因而在每一次使用洛比達法則前一定要檢查是否是或未定式。 2） 存在或，才有成立。3） 是或型，但不滿足洛比達法則的條件（3），即不存在且，此種情況下不能得出不存在。例 2 ， 化為或型。3 ， 化指數(shù)函數(shù)求極限法或取對數(shù)求極限法注 冪指函數(shù)，若，則典型例題【例1】求下列極限（1） （2）（3） （4）【例2】設(shè)在上可導，且，求的值。二 函數(shù)的單調(diào)性1 函數(shù)單調(diào)性定義2 判定函數(shù)單調(diào)性定理 設(shè)在區(qū)間上

5、連續(xù)，在內(nèi)可導，（1）若內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）若內(nèi)，則在上單調(diào)減少。注：若在上連續(xù)，在內(nèi)有有限個駐點或不可導點，而在其他點處導數(shù)保持同一符號，則在上保持同一單調(diào)性。3 可能的單調(diào)區(qū)間分界點：駐點或不可導點。4 連續(xù)函數(shù)討論單調(diào)性方法1） 求出全體可能的單調(diào)區(qū)間分界點：駐點和不可導點2） 1）求出的點將給定的定義域分成個小區(qū)間，在每一個分得的小區(qū)間內(nèi)討論導數(shù)符號。若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點的小區(qū)間上單調(diào)增加；若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點的小區(qū)間上單調(diào)減少。【例】已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。5 利用單調(diào)性證明不等式【例】 證明 證明 設(shè)，對于，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)減少。即對于，有成立

6、?！纠孔C明：當時，【例】設(shè)，證明 6 利用單調(diào)性+零點定理判定方程根的個數(shù)【例】討論方程（其中）有幾個實根？解 設(shè)，則，令得駐點討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間又；（因為）當，即時，方程無實根當，即時，方程有唯一實根當，即時，方程有兩個實根。三 連續(xù)曲線的凹凸性1 連續(xù)曲線凹凸定義（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若對區(qū)間上任意兩點，恒有稱函數(shù)在區(qū)間上是上凹函數(shù)（或下凸函數(shù)）。（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若對區(qū)間上任意兩點，恒有稱函數(shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù)（或下凹函數(shù)）。2 判定連續(xù)曲線凹凸性定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)二階可導，（1）若內(nèi)，則曲線在上是凹的。（2）若內(nèi)，則曲線在上是凸的。3拐點定義 連續(xù)曲線弧上的凹弧

7、與凸弧的分界點叫拐點。注 拐點是平面上的點，所以拐點的坐標為。4二階可導函數(shù)拐點必要條件：設(shè)存在，且是拐點，則。5 連續(xù)曲線可能的拐點橫坐標：使的或使不存在的6 求連續(xù)曲線弧拐點方法或不存在，且在及內(nèi)函數(shù)值異號，則是拐點。7連續(xù)曲線討論凹凸性方法1） 求出全體可能的凹凸區(qū)間的分界點：的和不存在的。2） 1）中所求出的點將給定的定義域分成個小區(qū)間，在每一個分得的小區(qū)間內(nèi)討論二階導符號。若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點的小區(qū)間上曲線是凹的若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點的小區(qū)間上曲線是凸的?！纠坑懻摵瘮?shù)的凹凸性。8利用函數(shù)凹凸性證明不等式【例】證明不等式 四 函數(shù)的極值1極值定義注 1）極值是鄰域性

8、概念；2）若是極大值，意味著，在內(nèi)是最大函數(shù)值，其它函數(shù)值都比??；若是極小值，意味著，在內(nèi)是最小函數(shù)值，其它函數(shù)值都比大。2可導函數(shù)取極值的必要條件 在可導，且取極值，則必有3可能的取極值點（駐點，有定義的不可導點）4判定極值點的方法1）極值定義2）取極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在內(nèi)可導。若，（或），（或），則函數(shù)在處取得極大值（或極小值）。若，的符號不變，則函數(shù)在處不存在極值。3）取極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處有二階連續(xù)導數(shù)，且,當，是極小值；當，是極大值；【例】設(shè)，則在處（A）的導數(shù)存在且 （B）的導數(shù)不存在 （C）取得極小值 （D）取得極大值 【 】 【例】設(shè)函數(shù)滿足方程，求

9、函數(shù)的極小值與極大值。解 首先求，令得駐點，無有定義的不可導點。又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為。五 求函數(shù)的最值1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)求最值方法1） 求出函數(shù)所有可能的取最值的點：閉區(qū)間的端點，區(qū)間內(nèi)部的駐點及不可導點2） 求出3） 比較2）中函數(shù)值的大小，其中最大的值為所求函數(shù)的最大值，最小的值為所求函數(shù)的最小值。注意： 所求的駐點和不可導點一定是給定區(qū)間內(nèi)部的點。若不是，舍去?！纠壳蠛瘮?shù)在上的最大值與最小值。解 令，得駐點（舍），且不可導點為計算比出最大值與最小值。2開區(qū)間內(nèi)可導函數(shù)求最值設(shè)在開區(qū)間內(nèi)可導，是在內(nèi)唯一駐點，若是極小值，則是在內(nèi)的最小值；若是極大值，則是在內(nèi)的最大值。 【例】要設(shè)計一個容積為常量的圓柱形水池，已知底的單位面積造價是側(cè)面的一半，問如何設(shè)計，才能使水池的造價最低。3利用最值證明不等式【例】設(shè)函數(shù)在上可導，且，又。證明：，其中六 漸近線1水平漸近線若，則是函數(shù)的左側(cè)水平漸近線，則是函數(shù)的右側(cè)水平漸近線，則是函數(shù)的水平漸近線2鉛直漸近線，或，或，則是函數(shù)的鉛直漸近線函數(shù)在間斷點及定義區(qū)間的有限端點處才有可能有鉛直漸近線。3斜漸近線設(shè)函數(shù)，直線，若，叫函數(shù)的右斜漸近線。若，叫函數(shù)的左斜漸近線。若，則叫函數(shù)的斜漸近線。求斜漸近線方法（1）左斜