第七課無窮級數(shù)2010122(講稿1)

1、第五課 無窮級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念1.無窮級數(shù)：無窮數(shù)列的各項(xiàng)和,簡稱級數(shù).一般項(xiàng).2.,級數(shù)收斂.的和, 且有.如果沒有極限, 則稱級數(shù)發(fā)散.例1 判別無窮級數(shù)的斂散性.解: 由于所以,又因,故級數(shù) 收斂, 且 .提問 ：判斷下列級數(shù)的斂散性1）：， 級數(shù)發(fā)散.2）：級數(shù)發(fā)散.二、幾類特殊級數(shù)（結(jié)論當(dāng)定理使用）（1）調(diào)和級數(shù)發(fā)散. (注意)（2） 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))當(dāng)時(shí)收斂.（3）連續(xù)復(fù)利(時(shí)時(shí)刻刻在計(jì)息 )若以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息，將一筆元的人民幣從現(xiàn)在起存銀行，t年后的價(jià)值（將來值）為若t年后得到元的人民幣，則現(xiàn)在需要存入銀行的金額（現(xiàn)值）為二、無窮級數(shù)的

2、基本性質(zhì)【性質(zhì)1】收斂對任意的非負(fù)整數(shù),有收斂.(若級數(shù)收斂，則其每一個(gè)余項(xiàng)級數(shù)收斂，即級數(shù)中去掉或添加有限多項(xiàng)后不改變級數(shù)的斂散性.)【性質(zhì)2】與具有相同的斂散性(為非零常數(shù)). 例如 ，但 .【性質(zhì)3】若與分別收斂于與, 則收斂，且 .注意：與同時(shí)收斂時(shí)，一定收斂.與有一個(gè)發(fā)散時(shí)，一定發(fā)散.【性質(zhì)4】若收斂且,則將級數(shù)的項(xiàng)任意添加括號后所成的級數(shù)收斂且. 反之不然.（添加括號后所成的級數(shù)的部分和數(shù)列是原級數(shù)部分和數(shù)列的子列，而數(shù)列收斂時(shí)其子列必收斂.）反之不然.例如 收斂,但 卻是發(fā)散的！【推論】若添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，原級數(shù)必發(fā)散.【性質(zhì)5】若收斂, 則. 反之不然.(級數(shù)收斂的必要

3、而非充分條件)例如：級數(shù)發(fā)散.但.又如：級數(shù)發(fā)散，但是.提問：(87.2 是非題) 若級數(shù)與均發(fā)散,則級數(shù)必發(fā)散.答(非).例如和都發(fā)散,但卻是收斂的.提問：判斷下列級數(shù)的斂散性:(1)解,而, 該級數(shù)發(fā)散.(2)提示：是公比為收斂的幾何級數(shù),是公比為收斂的幾何級數(shù)， 所以原數(shù)收斂.且.(3)級數(shù)發(fā)散，因?yàn)?例2(98.6) 設(shè)有兩條拋物線和,記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為,(1)求兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積;(2)求級數(shù)的和.解 由和得,由于圖形關(guān)于軸對稱,則因此 ,所以 .特別注意：由不能得出收斂的結(jié)論.第二節(jié) 正項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)（各項(xiàng)）的，及其審斂法1.【定理1】(基本定理

4、): 正項(xiàng)級數(shù)收斂有界. 且此時(shí)說明：因,于是,可見單調(diào)遞增.（注意：單調(diào)有界數(shù)列收斂）2.【定理2】(比較判別法): 設(shè)與均為正項(xiàng)級數(shù), 且 , ,則(1) 收斂收斂; (2)發(fā)散發(fā)散.結(jié)論：級數(shù)收斂 .（此結(jié)論當(dāng)定理使用）例3判斷下列級數(shù)的斂性散.(1)提示：因?yàn)槭前l(fā)散的.（2）.提示：收斂.(3).提示：為正項(xiàng)級數(shù).又收斂.（4）.提示：原級數(shù)收斂.例4設(shè).（1）求的值.（2）證明當(dāng)（常數(shù)）時(shí)，級數(shù)收斂.（1）解所以（2）證明 因?yàn)?，且時(shí)，收斂，故原級數(shù)收斂.例5 討論級數(shù)的斂散性.解：1）時(shí)由且收斂可得原級數(shù)收斂.2）時(shí)由且發(fā)散可得原級數(shù)發(fā)散.3）時(shí)由且發(fā)散可得原級數(shù)發(fā)散.結(jié)論：當(dāng)通

5、項(xiàng)較容易通過不等式的放縮而找到已知斂散性的級數(shù)的通項(xiàng)時(shí)，可以選擇比較判別法.利用比較判別法需要對調(diào)和級數(shù)、幾何級數(shù)、P級數(shù)的斂散性非常熟悉.3.【定理3】(比較判別法的極限形式): 設(shè)與均為正項(xiàng)級數(shù),若，則(1)當(dāng)時(shí),與有相同的斂散性；(2)當(dāng)時(shí),若收斂,則也收斂；(3)當(dāng)時(shí),若發(fā)散,則也發(fā)散.注意：利用比較的極限形式時(shí)常需用到極限的等價(jià)無窮小概念，時(shí)，例6（1）判別級數(shù)的斂散性.解: ,且 是收斂的級數(shù)（）級數(shù)收斂. . （2）判別級數(shù)的斂散性.（3）討論級數(shù)的斂散性.解：令，則 且發(fā)散正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散.例7判定級數(shù)的斂散性.解 （1）當(dāng)時(shí)，發(fā)散.（2）當(dāng)時(shí)，令，收斂（），所以原級數(shù)收斂.另解：

6、令 ,收斂（），所以原級數(shù) 收斂.（3）當(dāng)時(shí)，令，收斂（），所以原級數(shù)收斂.另解：令 ,收斂（），所以 原級數(shù)收斂.綜上所述時(shí)發(fā)散，時(shí)收斂.【結(jié)論】：當(dāng)時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)能與常用的等價(jià)無窮小掛鉤，此時(shí)考慮用比較判別法的極限形式進(jìn)行判定.但必須給出通項(xiàng)比值的極限（與無窮大比較）以及已知級數(shù)的斂散性.4【定理4】(比值判別法,達(dá)朗貝爾判別法): 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),若,則 (1)時(shí), 級數(shù)收斂；(2) 或時(shí), 級數(shù)發(fā)散；(3)時(shí), 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例8（1）(88.3) 討論級數(shù)的斂散性.解由 知原級數(shù)收斂.（2）討論級數(shù)的斂散性.解 令，發(fā)散.(3)判斷級數(shù) 的斂散性.解 令，由比值判別法知故級數(shù)

7、 收斂.(4)解 該級數(shù)的一般項(xiàng)，且 所以 ,故 原級數(shù)收斂.【結(jié)論】：對于不便用比較與比較的極限形式完成斂散性判別的級數(shù)，應(yīng)考慮比值判別法，它的特點(diǎn)是用自身的相鄰兩項(xiàng)的后一項(xiàng)與前相鄰一項(xiàng)比值極限判定.但注意極限與1比較大小.但必須注意：比值判別法對級數(shù)失效.5【定理5】(根式（柯西）判別法): 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), 若，則(1)時(shí), 級數(shù)收斂；(2)或時(shí),級數(shù)發(fā)散；(3)時(shí), 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.【結(jié)論】：對通項(xiàng)的指數(shù)為與n次冪相關(guān)的級數(shù)可以考慮用根植判別法.例9判別下列級數(shù)的斂散性（1）解 令，因?yàn)?，所?級數(shù) 收斂.（2）解 令，因?yàn)?，所?級數(shù) 收斂.（3）.解由于, 所以級數(shù)發(fā)散.例1

8、0設(shè)，并且級數(shù)與都收斂，證明 級數(shù) 收斂.證明 設(shè)則即級數(shù)與都是正項(xiàng)級數(shù).級數(shù)與都收斂，級數(shù)收斂，從而由正項(xiàng)級數(shù)比較判別法知級數(shù)也收斂；故 收斂.第三節(jié)任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂一、交錯(cuò)級數(shù)形如 或的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù).其中, （）.【定理1】(萊布尼茨定理): 設(shè)為交錯(cuò)級數(shù), 若滿足(1) ,（）； (2) , 則收斂, 且級數(shù)和,其余項(xiàng)的絕對值.二、絕對收斂與條件收斂【定理2】 若收斂 ，則 收斂. （ 反之不然.）【定義】(1)若 收斂；則 級數(shù)收斂且絕對收斂.(2)級數(shù)收斂，但發(fā)散, 則收斂且條件收斂.例如: 級數(shù)絕對收斂, 而級數(shù)條件收斂.2【定理3】:如果任意項(xiàng)級數(shù)滿足條件 或

9、,則 (1) 若,級數(shù)收斂，且絕對收斂. (2) 若,級數(shù)發(fā)散.例11判斷下列級數(shù)的斂散性（1）提示：原級數(shù)收斂且絕對收斂.(2)提示：原級數(shù)收斂且絕對收斂.（3）提示：，收斂原級數(shù)絕對收斂.（更為簡單的方法是什么？）(4)：正項(xiàng)級數(shù)收斂收斂.例12 (88.3) 設(shè)級數(shù) 與 均收斂,求證（1）絕對收斂.（2）收斂.（3）收斂.證（1）因?yàn)?而級數(shù)與均收斂,所以 收斂,由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知收斂,故 收斂且絕對收斂.（2）因?yàn)榧墧?shù) 與 均收斂,又由（1）知收斂，又由 得收斂.（3）由于 ，級數(shù) 與 均收斂 收斂.再由正項(xiàng)級數(shù)的比較法得 級數(shù) 收斂 .提問（1）(94.3) 設(shè)常數(shù),而級數(shù)收斂

10、,則級數(shù) （ ）(A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂 (D)收斂性與有關(guān)分析：因?yàn)?而由題設(shè)知收斂,又 也收斂, 則原級數(shù)收斂且絕對收斂.答(C).（2）(03.4) 設(shè)則下列命題正確的是（）(A)若條件收斂,則與都收斂(B)若絕對收斂,則與都收斂(C)若條件收斂,則與的斂散性都不定.(D)若絕對收斂,則與的斂散性都不定.說明：若絕對收斂,則，都收斂,所以，都收斂.答案(B)（3）(96.3) 下述各選項(xiàng)正確的是（ ）(A)若與都收斂,則收斂.(B)若收斂,則與都收斂.(C)若正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散,則.(D)若級數(shù)收斂,且,則級數(shù)也收斂.答由于,并由題設(shè)知與都收斂,則收斂,從而收斂.答案 (A).（4）(91.3) 設(shè),則下列級數(shù)中肯定收斂的是(A) (B) (C) (D)答(D).由知,而收斂,則收斂,所以收斂,故選(D)（5） (06.4) 若級數(shù)收斂,則級數(shù)( ) (A)收斂(B)收斂(C)收斂 (D)收斂答(D).因?yàn)橛墒諗靠芍諗?所以收斂.（6）(04.4) 設(shè)有下列命題: 1) 若收斂,則收斂；2) 若收斂,則收斂；3) 若,則發(fā)散；4) 若收斂,則,都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1)(2)(B) (2)(3)(C) (