第三章行波法與積分變換法

1、第三章 行波法與積分變換法 在第二章中，討論了分離變量法，它是求解有限區(qū)域內(nèi)定解問題的一個常用方法，只要求解的區(qū)域很規(guī)則（其邊界在某種坐標系中的方程能用若干個只含有一個坐標變量的方程表示），對三種典型的方程均可運用。本章介紹另外兩個求解定解問題的方法，一是行波法，一是積分變化法。行波法只能用于求解無界域內(nèi)波動方程的定解問題，積分變換法不受方程類型的限制，主要用于無界域，但對有界域也能應用。§3.1 一維波動方程的達朗貝爾（DAlembert）要求一個常微分方程的特解，慣用的方法是先求出它的通解，然后利用初始條件確定通解中的任意常數(shù)得到特解。對于偏微分方程能否采用類似的方法呢？一般來說

2、是不行的，原因之一是在偏微分方程中很難定義通解的概念，原因之二是即使對某些方程能夠定義并求出它的通解，但此通解中包含有任意函數(shù)，要由定解條件確定出這些任意函數(shù)是會遇到很大困難的。但事情不是絕對得，在少數(shù)情況下不僅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函數(shù)的解），而且可以由通解求出特解。本節(jié)就一維波動方程來建立它的通解公式，然后由它得到初值問題解的表達式。對于一維波動方程 （3.1）作如下代換： （3.2）利用復合函數(shù)微分法則，得 （3.3）同理有 （3.4）將（3.3）及（3.4）代入（3.1）得 （3.5）將（3.5）式對積分得，（是的任意可微函數(shù)）在對此式對積分得 （3.6）其中，都是任意

3、二次連續(xù)可微函數(shù)。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含兩個任意函數(shù)的解）。在各個具體問題中，我們并不滿足于求通解，還要確定函數(shù)，的具體形式。為此，必須考慮定解條件，下面我們來討論無限長先的自由橫振動。設弦的初始狀態(tài)為已知，即已知定解條件 （3.7）將（3.6）中的函數(shù)代入（3.7）中，得在（3.9）兩端對x積分一次，得 （3.10）由（3.8）與（3.10）解出，得把這里確定出來的，代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在條件（3.7）下的解為 （3.11）（3.11）式稱為無限長弦自由振動的達朗貝爾（DAlembert）公式。 現(xiàn)在我們來說明達朗貝爾公式的物理意義。由于達朗貝爾公式是由

4、（3.6）得來的，所以我們只需說明（3.6）式的物理意義。 首先，考慮的物理意義。我們來說明這樣的函數(shù)是代表一個沿軸正方向轉(zhuǎn)播的行波，為了講清楚這一點，我們不妨考慮一個特例。假定的圖形如圖3.1（a）所示，在時，；在時，其圖形如圖3.1（b）所示；在時，其圖形如圖3.1（c）所示；在時，其圖形如圖3.1（d）所示。這些圖形說明，隨著時間的推移，的圖形以速度向軸的正方向移動。所以，表示一個以速度向軸的正方向傳播的行波，稱為右行波。同樣道理，就表示一個以速度向軸的負方向傳播的行波，稱為左行波。達朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動點總是以行波的形式分別向兩個方向傳播出去，其傳播速度正好是弦振動方程中的常

5、數(shù)。基于上述原因，所以本節(jié)所用的方法就稱為行波法。從達朗貝爾公式（3.11）還可以看出，解在點的數(shù)值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始條件，而與其他點的初始條件無關(guān)。區(qū)間稱為點的依賴區(qū)間。它是由過點的兩條斜率分別為的直線在軸所截得的區(qū)間（圖3.2（a）。對初始軸上的一個區(qū)間，過點作斜率為的直線，過點作斜率為的直線，它們和區(qū)間一起構(gòu)成一個三角形區(qū)域（圖3.2（b），此三角形區(qū)域中任一點的依賴區(qū)間都落在區(qū)間的內(nèi)部，因此解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件決定，而與此區(qū)間外的初始條件無關(guān)，這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定區(qū)域，在上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中決定初值問題的解。若過點分別作直線，則經(jīng)

6、過時間后受到區(qū)間上初始擾動影響的區(qū)域為，在此區(qū)域之外的波動不受上初值擾動的影響，稱平面上由上述不等式確定的區(qū)域為的影響區(qū)域（如圖3.2（c）。 從上面的討論中我們可以看到，在平面上斜率為的兩族直線，對一維波動方程（3.1）的研究起著重要的作用，我們稱這兩族直線為一維波動方程（3.1）的特征線。因為在特征線，右行波的振幅取常數(shù)值，在特征線，右行波的振幅取常數(shù)值，且這兩個數(shù)值隨特征線的移動（即常數(shù)的改變）而改變，所以，波動實際上是沿特征線傳播的。變換（3.2）常稱為特征變換，行波法又稱為特征線法。注 容易看出，一維波動方程（3.1）的兩族直線，正好是常微分方程的積分曲線，這個常微分方程稱為（3.1

7、）的特征方程。對于更一般的二階線性偏微分方程 （3.12）來所，它的特征方程為 （3.13）這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程（3.12）特征曲線。二階線性偏微分方程的特征線僅與該方程中的二階導數(shù)項的系數(shù)有關(guān)，而與其低階項的系數(shù)是無關(guān)的。需要注意的是，并不是任意一個二階線性偏微分方程（3.12）都有兩族實的特征線。例如，若在某一區(qū)域內(nèi)，這過此區(qū)域內(nèi)每一點都不存在實的特征線；若在某區(qū)域內(nèi)，這過此區(qū)域內(nèi)每一點僅有一條實的特征線；只有在的區(qū)域內(nèi)，過其中每一點才有兩條相異實的特征線。若在某區(qū)域內(nèi)，則在此區(qū)域內(nèi)稱（3.12）為橢圓型方程；若在某區(qū)域內(nèi)，則在此區(qū)域內(nèi)稱（3.12）為拋物型方程；若在某區(qū)

8、域內(nèi)，則在此區(qū)域內(nèi)稱（3.12）為雙曲型方程，波動方程屬于雙曲型。不論（3.12）為哪一種類型的方程，都可通過適當?shù)淖宰兞恐g的代換將它化簡成所謂的標準形式。關(guān)于如何將二階線性偏微分方程化成標準形式，讀者可以參考其他書籍。下面舉一個例子，說明如何通過將方程化簡來求解它的定解問題。例 求下列柯西問題：解 先確定所給方程的特征線。為此，寫出它的特征方程它的兩族積分曲線為作特征變換 （3.16）容易驗證，經(jīng)過變換原方程化成它的通解為其中是兩個任意二次連續(xù)可微的函數(shù)。原方程（3.14）的通解為 （3.17）把這個函數(shù)代入條件（3.15）得從（3.19）得 （3.20）從（3.18）與（3.20）可得即

9、代入（3.17）得到所求得解為 （3.21）§3.2 三維波動方程的泊松公式上節(jié)我們討論了一維波動方程的初值問題，獲得了達朗貝爾公式。只研究一維波動方程還不能滿足工程技術(shù)上的要求，例如在研究交變電流時就要討論三維波動方程，本節(jié)我們就來考慮在三維無限空間中的波動問題，即求解下列定解問題：這個定解問題仍可用行波法來解，不過由于坐標變量有三個，不能直接利用§3.1中所得的通解公式。下面先考慮一個特例。三維波動方程的球?qū)ΨQ解 如果將波函數(shù)用空間球坐標來表示，所謂球?qū)ΨQ就是指與都無關(guān)。在球坐標系中，波動方程（3.22）為當不依賴于時，這個方程可以簡化為或但所以最后得到方程這是關(guān)于的一

10、維波動方程，其通解為或這就是三維波動方程的關(guān)于原點為球?qū)ΨQ的解，其中是兩個任意二次連續(xù)可微的函數(shù)，這個函數(shù)可以用指定的初始條件來確定。3.2.2 三維波動方程的泊松公式現(xiàn)在我們來考慮一般的情況，即要求問題（3.223.24）的解。從上面的球?qū)ΨQ情況的討論使我們產(chǎn)生這樣一個想法：既然在球?qū)ΨQ的情況，函數(shù)滿足一維波動方程，可以求出通解，那么在不是球?qū)ΨQ的情況能否設法把方程也化成可以求通解的形式？在球?qū)ΨQ時波函數(shù)僅是的函數(shù)，在非球?qū)ΨQ情況下，不可能滿足一維波動方程。但是，如果我們不去考慮波函數(shù)本身，而是考慮在以為球心，以為半徑的球面上的平均值，則這個平均值當暫時固定之后就只與有關(guān)了。這就啟發(fā)我們引入

11、一個函數(shù)，它是函數(shù)在以點為中心，以為半徑的球面上的平均值，即其中是球面上點的坐標，是以原點為中心的單位球面，是單位球面上的面積元素，是上的面積元素，顯然有。在球面坐標中，。從（3.25）及的連續(xù)性可知，當時，即，此處表示函數(shù)在點及時刻的值。下面來推導所滿足的微分方程。對方程（3.22）的兩端在所圍成的球體內(nèi)積分（為了區(qū)別內(nèi)的流動點的坐標與球心點的坐標，我們以表示內(nèi)流動點的坐標），并應用Gauss公式得其中是的外法向矢量。（3.26）式左端的積分也采用球面坐標表示并交換微分運算和積分運算的次序，得代回（3.26）中得在此式兩端對微分一次，并利用變上限定積分對上限球?qū)?shù)的規(guī)則，得或但故得這是一個關(guān)

12、于的一維波動方程，它的通解為 （3.27）其中是兩個二次連續(xù)可微的任意函數(shù)。下面的任務是要從（3.27）及（3.23），（3.24）來確定原柯西問題的解。由（3.27）得到但其中、分別是與在球面上的平均值。所以，可得 （3.28） （3.29）由此可得代回到（3.27）得 （3.30）此外，還可利用將拓廣到的范圍內(nèi)，并且比較上面兩式可知令，并利用洛必達法則得到或簡記成 （3.31）（3.31）式稱為三維波動方程的泊松公式。不難驗證，當是三次連續(xù)可微的函數(shù)，是二次連續(xù)可微的函數(shù)時，由（3.31）所確定的函數(shù)確實是原定解問題的解。下面舉一個例子，說明泊松公式（3.31）的用法。例 設已知，求方程（

13、3.22）相應柯西問題的解。解 將給定的初始條件與代入（3.31），得到所要求的解為3.2.3泊松公式的物理意義下面我們來說明解（3.31）的物理意義。從（3.31）式可以看出，為求出定解問題（3.223.24）的解在處的值，只需要以為球心、以為半徑作出球面，然后將初始擾動代入（3.31）式進行積分。因為積分只在球面上進行，所以只有與相距為的點上的初始擾動能夠影響的值?；蛘撸瑩Q一種說法，就是處的初始擾動，在時刻只影響到以為球心，以為半徑作的球面上各點，這是因為以上任一點為球心，以為半徑所作的球面都必定經(jīng)過點。這就表明擾動是以速度傳播的。為了明確起見，設初始擾動只限于區(qū)域，任取一點，它與的最小距

14、離為，最大距離為（圖3.3），由泊松公式（3.31）可知，當，即時，這表明擾動的“前鋒”還未到達；當，即時，這表明擾動已經(jīng)到達；當，即時，這表明擾動的“陣尾”已經(jīng)過去并恢復了原來的狀態(tài)。因此，當初始擾動限制在某局部范圍內(nèi)時，擾動有清晰的“前鋒”與“陣尾”，這種現(xiàn)在在物理學上稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。由于在點的初始擾動是向各個方向傳播的，在時間它的影響是在以為中心，為半徑的一個球面上，因此解（3.31）稱為球面波。從（3.31）我們也可以得到二維波動方程初值問題的解。事實上，如果與無關(guān)，這，這時三維波動方程的初值問題就變成二維波動方程的初值問題：（3.32）要想從泊松公式（3.31）得到問題（

15、3.32）解的表達式，就應將（3.31）中兩個沿球面的積分轉(zhuǎn)化成沿圓域：內(nèi)的積分，下面以為例說明這個轉(zhuǎn)化方法。先將這個積分拆成兩部分： （3.33）其中，分別表示球面上半球面與下半球面。由于被積函數(shù)不依賴于變量，所以（3.33）右端兩個積分是相等的，即把右端的積分化成二重積分可得同理有將這兩個等式代入（3.31），即得問題（3.32）的解為 （3.34）從（3.34）可以看出，要計算這個解在處的值，只要以為中心、以為半徑作圓域，然后將初始擾動代入（3.34）進行積分。為清楚起見，設初始擾動仍限于區(qū)域，任取一點，它與的最小距離為，最大距離為，當時，；當時，；當時，由于圓域包含了區(qū)域，所以仍不為零

16、，這種現(xiàn)象稱為有后效，即在二維情形，局部范圍內(nèi)的初始擾動，具有長期得連續(xù)的后效特性，擾動有清晰的“前鋒”，而無“陣尾”，這一點與球面波不同。平面上以點為中心的圓周的方程在空間坐標系內(nèi)表示母線平行于軸的圓柱面，所以在過點平行于軸的無限長直線上的初始擾動，在時間后的影響是在以該直線為軸，為半徑的圓柱面內(nèi)，因此解（3.34）稱為柱面波。§3.3 積分變換法舉例我們知道，F(xiàn)ourier變換Laplace變換可以用來解常微分方程。通過積分變換可將未知函數(shù)的常微分方程化成象函數(shù)的代數(shù)方程，達到了消去對自變量求導數(shù)運算的目的?；谶@一事實，我們自然會想到積分變換法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程

17、兩端對某個變量取變換就能消去未知函數(shù)對該自變量求偏導數(shù)的運算，得到象函數(shù)的較為簡單的微分方程。如果原來的偏微分方程中只包含有兩個自變量，通過一次變換就能得到象函數(shù)的常微分方程。下面通過立體來說明用積分變換法解定解問題的一般步驟。例1 無界桿上的熱傳導問題設有一根無限長的桿，桿上具有強度為的熱源，桿的初始溫度為，試求時桿上溫度的分布規(guī)律。解 這個問題可歸結(jié)為求解下列定解問題其中。由于方程（3.35）是非齊次的，且求解的區(qū)域又是無界的，因此用分離變量法來解將導致比較復雜的運算?，F(xiàn)在我們用Fourier變換來解。用記號，分別表示函數(shù)，關(guān)于變量的Fourier變換，即對方程（3.35）的兩端取關(guān)于的F

18、ourier變換，根據(jù)Fourier變換的微分性質(zhì)，得到 （3.37）這是一個含參量的常微分方程。為了導出方程（3.37）的定解條件，對條件（3.36）式的兩端也取Fourier變換，并且以表示的Fourier變換，得 （3.38）方程（3.37）是一階線性常微分方程，它滿足邊界條件（3.38）的解為 （3.39）為了求出原定解問題（3.35），（3.36）的解，還需要對取Fourier逆變換。由Fourier變換表可查得再根據(jù)Fourier變換的卷積性質(zhì)得 （3.40）這樣就得到原定解問題的解。通過這個例子可以看出，用積分變換法解定解問題的過程大體為：一、根據(jù)自變量的變化范圍以及定解條件的具

19、體情況，選取適當?shù)姆e分變換。然后對方程的兩端取變換，把一個含有兩個自變量的偏微分方程化為含一個產(chǎn)量的常微分方程。二、對定解條件取相應的變換，導出新方程的定解條件。三、解所得的常微分方程，求得原定解問題解的變換式（即象函數(shù)）。四、對所得的變換式取逆變換，得到原定解問題的。當然，在用Fourier變換（或Laplace變換）解定解問題時，是假定所求的解及定解條件中的已知函數(shù)都是能夠取Fourier（或Laplace）變換的，即假定它們的Fourier（或Laplace）變換都存在。一個未知函數(shù)當未求出以前是很難判斷它是否存在Fourier（或Laplace）變換的，所以，在未作綜合工作之前，用積分

20、變換法所求的解都只是形式解。例2 一條半無限長的桿，端點溫度變化情況為已知，桿的初始溫度為，求桿上溫度的分布規(guī)律。解 這個問題可歸結(jié)為求解下列定解問題：這個問題顯然不能用Fourier變換來解了，因為的變化范圍都是。下面我們用Laplace變換來解。從的變化范圍來看，對與都能取Laplace變換，但由于方程（3.41）中包含有，而在處未給出的值，故不能對取Laplace變換。而對來說，由于方程（3.41）中只出現(xiàn)關(guān)于的一階偏導數(shù)，只要我們知道當時的值就夠了，這個值已由（3.42）給出，故我們采用關(guān)于的Laplace變換。用，分別表示函數(shù)，關(guān)于的Laplace變換，即首先，對方程（3.41）的兩

21、端取Laplace變換，并利用條件（3.42）則得新方程 （3.44）再利用條件（3.43）取同樣變換，得 （3.45）方程（3.44）是關(guān)于得線性二階常系數(shù)的常微分方程，它的通解為 （3.46）由于當時，應該有界，所以也應該有界，故，再有條件（3.45）得，從而得為了求得原定解問題的解，需要對求Laplace逆變換，由Laplace變換表查得再根據(jù)Laplace變換的微分性質(zhì)得最后由Laplace變換的卷積性質(zhì)得 （3.47）通過上面兩個例子我們對用積分變換法解定解問題的步驟已有所了解，掌握這些步驟并不困難，對初學者來說，使用這個方法的主要困難在于：（1）如何選取恰當?shù)姆e分變換。對這個問題應從兩方面來考慮，首先要注意自變量的變化范圍，F(xiàn)ourier變換要求作變換的自變量在內(nèi)變化，Laplace變換要求作變換的自變量在內(nèi)變化。其次要注意定解條件的形式，根據(jù)Laplace變換的微分性質(zhì)可以看出，要對某變量取Laplace變換，必須在定解條件中給出該自變量等于零時的函數(shù)值及有關(guān)導數(shù)值。（2）定解條件中哪些需要取變換，那些不需要取變換。這個問題很容易解決，凡是對方程取變換時沒有用到的條件都要對它取變換，使它轉(zhuǎn)化為新方程的定解條件。（3）如何順利地求出逆變換。解決這個問題主要依靠積分變換表，以及運用積分變換的有關(guān)性質(zhì)，有時還要用到計算反演積分的留數(shù)定理。注 從例1中解的表達式（3.4