第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3、 會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則

2、。教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。§3.1 微分中值定理一、 教學(xué)目的與要求：1 掌握羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的條件和結(jié)論，強(qiáng)調(diào)定理的條件是充分而非必要的；2 會(huì)驗(yàn)證中值定理的正確性，掌握用拉格朗日中值定理證明不等式的方法（關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)）；3 理解三個(gè)中值定理之間的關(guān)系。二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)：中值定理的應(yīng)用三、 主要外語(yǔ)詞匯：Fermat ， Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium value axioms,Lead a reason,shut z

3、one,open zone.四、 輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對(duì)任意xÎU(x0), 有f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0),那么f¢(x0)=0.羅爾定理如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a,b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x, 使得f¢(x)=0. 簡(jiǎn)要證明:(1)如果f(x)是常函數(shù), 則f¢(x)&#

4、186;0, 定理的結(jié)論顯然成立.(2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn), 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)xÎ(a,b).于是,所以f¢(x)=0.羅爾定理的幾何意義:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(a<x<b), 使得等式f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)成立.拉格朗日中值定理的幾何意義:f¢(x)=,定理的證明: 引進(jìn)輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾

5、定理的條件:j(a)=j(b)=0,j(x)在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且j ¢(x)=f¢(x)-.根據(jù)羅爾定理, 可知在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x, 使j¢(x)=0, 即f¢(x)-=0.由此得= f¢(x) ,即f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a).定理證畢.f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個(gè)公式對(duì)于b<a也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:設(shè)x為區(qū)間a,b內(nèi)一點(diǎn),x+Dx為這區(qū)間內(nèi)的另一點(diǎn)(Dx>0或Dx<0), 則在x,x+Dx (

6、Dx>0)或x+Dx,x (Dx<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f¢(x+qDx)Dx (0<q<1).如果記f(x)為y, 則上式又可寫為Dy=f¢(x+qDx)Dx (0<q<1).試與微分dy=f¢(x)Dx比較:dy=f¢(x)Dx是函數(shù)增量Dy的近似表達(dá)式, 而f¢(x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy的精確表達(dá)式.作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用, 我們證明如下定理:定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1,x2(x1&

7、lt;x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f¢(x)(x2- x1) (x1<x< x2).由假定,f¢(x)=0, 所以f(x2)-f(x1)=0, 即f(x2)=f(x1).因?yàn)閤1,x2是I上任意兩點(diǎn), 所以上面的等式表明:f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的, 這就是說(shuō),f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).例2.證明當(dāng)x>0時(shí),.證設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0,x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有f(x)-f(0)=f¢(x)(x-0),0<x<x。由于f(0)=0, 因此上

8、式即為.又由0<x<x, 有.三、柯西中值定理設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程(a£x£b)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點(diǎn)x=x , 使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB, 曲線C上點(diǎn)x=x 處的切線的斜率為,弦AB的斜率為.于是.柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且F¢(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零, 那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使等式.成立.顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a,F¢

9、(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成:f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a) (a<x<b),這樣就變成了拉格朗日中值公式了.§3. 2洛必達(dá)法則一、 教學(xué)目的與要求：1 理解洛必達(dá)法則的使用條件，掌握用洛必達(dá)法則求未定式的極限的方法；2 了解洛必達(dá)法則求極限的注意問(wèn)題。二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)：用洛必達(dá)法則求極限。三、 主要外語(yǔ)詞匯：LHospital ,Undecided type四、 助教學(xué)情況:多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版一型和型未定式的解法：洛必達(dá)法則定義：若當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)和都趨于零(或無(wú)窮大)，則極限

10、可能存在、也可能不存在，通常稱為型和型未定式. 例如 , (型); , (型).定理1：設(shè)(1)當(dāng)時(shí), 函數(shù)和都趨于零;(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),和都存在且;(3)存在(或無(wú)窮大),則定義：這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則證明:定義輔助函數(shù), 在內(nèi)任取一點(diǎn), 在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)和滿足柯西中值定理的條件, 則有, (在與之間)當(dāng)時(shí),有, 所以當(dāng), 有 故. 證畢說(shuō)明: 1.如果仍屬于型, 且和滿足洛必達(dá)法則的條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則, 即; 2.當(dāng)時(shí), 該法則仍然成立, 有; 3.對(duì)（或）時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則; 4. 洛必達(dá)法則

11、是充分條件; 5. 如果數(shù)列極限也屬于未定式的極限問(wèn)題，需先將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限，然后使用洛必達(dá)法則，從而求出數(shù)列極限.例1 求, (型)解 原式=例2 求, (型)解 原式=例3 求 , (型)解 原式=1例4 求 , (型).解 原式=1例5 求 , (型)解 原式= =注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6 求解 原式=二型未定式的求法關(guān)鍵: 將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型型和型.1型未定式的求法步驟：或例7 求型解 原式=步驟：例8求 型解 原式=步驟： 例9 求型解 原式=例10 求型解 原式=例11 求型解 由于而所以 原式=

12、注意：洛必達(dá)法則的使用條件例12求解 原式=極限不存在 （洛必達(dá)法條件不滿足的情況）正確解法為 原式=例13求解 設(shè)，則 因?yàn)?從而 原式=§3. 3 泰勒公式一、 教學(xué)目的與要求：1 掌握Taylor公式及其余項(xiàng)的兩種形式;2 熟記常用函數(shù)的n階Maclaurin公式.3了解用Taylor公式證明不等式,求極限. 二、 重點(diǎn)、難點(diǎn):求函數(shù)的Taylor公式三、 主要外語(yǔ)詞匯: Taylor, Maclaurin,四、 輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)

13、. 由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù), 只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算, 便能求出它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù).在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道, 當(dāng)|x|很小時(shí), 有如下的近似等式:ex»1+x,ln(1+x) »x.這些都是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)的例子. 但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無(wú)窮小; 其次是用它來(lái)作近似計(jì)算時(shí), 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候, 就必須用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù), 同時(shí)給出誤差公式.設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)

14、階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式pn(x)=a0+a 1(x-x0)+ a 2(x-x0)2+×××+ an(x-x0)n來(lái)近似表達(dá)f(x), 要求pn(x)與f(x)之差是比(x-x0)n高階的無(wú)窮小, 并給出誤差| f (x)-pn (x)|的具體表達(dá)式.我們自然希望pn(x)與f(x)在x0的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就有pn(x)=a0+a 1(x-x0)+ a 2(x-x0)2+×××+ an(x-x0)n,pn¢(x)= a 1+2 a 2(x-x0)+

15、15;××+nan(x-x0)n-1 ,pn¢¢(x)=2 a 2 + 3×2a 3(x-x0)+×××+n (n-1)an(x-x0)n-2,pn¢¢¢(x)= 3!a 3+4×3×2a 4(x-x0) +×××+n (n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,××××××,pn (n)(x)=n! an.于是pn(x0)=a 0,pn¢(x0)= a 1,pn&#

16、162;¢(x0)= 2! a 2,pn¢¢¢(x)= 3!a 3,×××,pn (n)(x)=n! an.按要求有f(x0)=pn(x0) =a0,f¢(x0)= pn¢(x0)= a1,f¢¢(x0)= pn¢¢(x0)= 2! a2,f¢¢¢(x0)= pn¢¢¢(x0)= 3!a 3,××××××f(n)(x0)= pn (n)(x0)=n

17、! an.從而有a0=f(x0),a1=f¢(x0),×××,.(k=0,1,2,×××,n).于是就有 pn(x)= f(x0)+ f¢(x0) (x-x0)(x-x0) 2 +×××(x-x0)n.泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)的階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時(shí),f(x)可以表示為(x-x0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和:其中(x 介于x0與x之間).這里 多項(xiàng)式.稱為函數(shù)f(x)按(x-x0)的冪展開(kāi)的n次近似多項(xiàng)式,

18、 公式+×××,稱為f(x)按(x-x0)的冪展開(kāi)的n階泰勒公式, 而Rn(x)的表達(dá)式其中(x介于x與x0之間).稱為拉格朗日型余項(xiàng).當(dāng)n=0時(shí), 泰勒公式變成拉格朗日中值公式:f(x)=f(x0)+f¢(x)(x-x0) (x在x0與x之間).因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.如果對(duì)于某個(gè)固定的n, 當(dāng)x在區(qū)間(a,b)內(nèi)變動(dòng)時(shí),|f(n+1)(x)|總不超過(guò)一個(gè)常數(shù)M, 則有估計(jì)式:,及.可見(jiàn), 妝x®x0時(shí), 誤差|Rn(x)|是比(x-x0)n高階的無(wú)窮小, 即Rn (x)=o(x-x0)n.在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),n

19、階泰勒公式也可寫成+×××.當(dāng)x0=0時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 就是,或,其中.由此得近似公式:.誤差估計(jì)式變?yōu)?.例1寫出函數(shù)f(x)=ex的n 階麥克勞林公式.解: 因?yàn)閒(x)=f¢(x)=f¢¢(x)=×××=f( n)(x)=ex,所以 f(0)=f¢(0)=f¢¢(0)=×××=f( n)(0)=1,于是(0<q<1),并有.這時(shí)所產(chǎn)性的誤差為|Rn(x)|=|xn+1|<| x |n+1.當(dāng)x=1時(shí), 可得e

20、的近似式:.其誤差為 |Rn|<.例2求f(x)=sin x的n階麥克勞林公式. 解: 因?yàn)閒¢(x)=cos x,f¢¢(x)=-sinx ,f¢¢¢(x)=-cos x,×××, f (0)=0,f¢(0)=1,f¢¢(0)=0 ,f¢¢¢(0)=-1,f( 4)(0)=0,×××,于是. 當(dāng)m=1、2、3時(shí), 有近似公式 sin x»x,.§3.4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性一、 教學(xué)目

21、的與要求：1 掌握函數(shù)的單調(diào)性判別法，會(huì)求單調(diào)區(qū)間；2 理解曲線凹凸的概念，會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)；3 會(huì)利用單調(diào)性和曲線的凹凸性證明不等式。二、 重點(diǎn)（難點(diǎn)）：?jiǎn)握{(diào)性和曲線的凹凸性的判定和應(yīng)用三、 主要外語(yǔ)詞匯：Monotone，Cave and convex，Turn to order四、 輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線. 這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）, 即y

22、62;=f¢(x)³0(y¢=f¢(x)£0). 由此可見(jiàn), 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系. 反過(guò)來(lái), 能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢？定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a,b)內(nèi)f¢(x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加; (2)如果在(a,b)內(nèi)f¢(x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)減少.證明 只證(1). 在a,b上任取兩點(diǎn)x1,x2(x1<x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到f(x2)-

23、f(x1)=f¢(x)(x2-x1) (x1<x<x2). 由于在上式中,x2-x1>0, 因此, 如果在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f¢(x)保持正號(hào), 即f¢(x)>0, 那么也有f¢(x)>0. 于是f(x2)-f(x1)=f¢(x)(x2-x1)>0,即 f(x1)<f(x2),這函數(shù)y=f(x) 在a,b上單調(diào)增加. 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例1 判定函數(shù)y=x-sin x 在0, 2p上的單調(diào)性. 解 因?yàn)樵?0,2p)內(nèi)y¢=1-cos x>0,所以由判定法可知函數(shù)

24、y=x-cos x 在0, 2p上的單調(diào)增加.例2 討論函數(shù)y=ex-x-1的單調(diào)性. （沒(méi)指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y¢=ex-1.函數(shù)y=ex-x-1的定義域?yàn)?-¥,+¥). 因?yàn)樵?-¥,0)內(nèi)y¢<0, 所以函數(shù)y=ex-x-1在(-¥,0 上單調(diào)減少;因?yàn)樵?0,+¥)內(nèi)y¢>0, 所以函數(shù)y=ex-x-1在0,+¥)上單調(diào)增加.例3.討論函數(shù)的單調(diào)性.解: 函數(shù)的定義域?yàn)?-¥,+¥). 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x¹0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).當(dāng)

25、x=0時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因?yàn)閤<0時(shí),y¢<0, 所以函數(shù)在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因?yàn)閤>0時(shí),y¢>0, 所以函數(shù)在0, +¥)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f¢(x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f¢(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-¥,+&#

26、165;).函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f¢(x)=6x2-18x+12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè):x1=1、x2=2.列表分析:(-¥,11,22,+¥)f¢(x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥,1和2,+¥)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1,2上單調(diào)減少.例5. 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)?(-¥,+¥).函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:y¢=3x2. 除當(dāng)x=0時(shí),y¢=0外, 在其余各點(diǎn)處均有y¢>0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-¥,0及0,+

27、65;)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域:(-¥,+¥)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f¢(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.例6.證明: 當(dāng)x>1時(shí),.證明:令, 則. 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),f¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f(1).由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即,也就是(x>1).二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸

28、性的概念:x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x 1,x 2, 恒有, 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有,那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義¢設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的.凹凸性的判定:定理 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么(1)若在(a,b

29、)內(nèi)f¢¢(x)>0, 則f(x)在a,b上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f¢¢(x)<0, 則f(x)在a,b上的圖形是凸的.簡(jiǎn)要證明 只證(1). 設(shè)x1,x2Îa,b, 且x1<x2, 記.由拉格朗日中值公式, 得,兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得,即, 所以f(x)在a,b上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn).確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f¢¢(x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的

30、點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn);注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略.例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性.解:,.因?yàn)樵诤瘮?shù)y=ln x的定義域(0,+¥)內(nèi),y¢¢<0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解:y¢=3x 2,y¢¢=6x.由y¢¢=0, 得x=0.因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),y¢¢<0, 所以曲線在(-¥,0內(nèi)為凸的;因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),y¢¢>0,

31、 所以曲線在0,+¥)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解:y=6x 2+6x-12, .令y¢¢=0, 得.因?yàn)楫?dāng)時(shí),y¢¢<0;當(dāng)時(shí),y¢¢>0, 所以點(diǎn)(,)是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 4-4x3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解:(1)函數(shù)y=3x 4-4x3+1的定義域?yàn)?-¥,+¥);(2),;(3)解方程y¢¢=0, 得,; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +&#

32、165;) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間(-¥,0和2/3,+¥)上曲線是凹的, 在區(qū)間0,2/3上曲線是凸的. 點(diǎn)(0,1)和(2/3,11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問(wèn)曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y¢=4x 3,y¢¢=12x 2.當(dāng)x¹0時(shí),y¢¢>0, 在區(qū)間(-¥,+¥)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無(wú)拐點(diǎn). 例6.求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥,+&#

33、165;); (2) ,; (3)無(wú)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x<0當(dāng),y¢¢>0; 當(dāng)x>0時(shí),y¢¢<0. 因此, 點(diǎn)(0,0)曲線的拐點(diǎn).§3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、 教學(xué)目的與要求：1 理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值的求法；2 了解駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值等概念.了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件.知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系；3 掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中最大值和最小值的方法，以幾何問(wèn)題為主.二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：極值的求法二、 主要外語(yǔ)詞匯：The pole be w

34、orth，Halt to order,Be worth biggest,The worth smallest,The giggest value,Minimum value四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）五、 參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版 一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義:定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義,x0Î(a, b).如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0),則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值;如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x

35、0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0),則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,那只是就x0附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō),f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值;如果就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō),f(x0)不一定是最大值.關(guān)于極小值也類似.極值與水平切線的關(guān)系:在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.定理1 (必要條件)設(shè)

36、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么這函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零,即f¢(x0)=0.證為確定起見(jiàn),假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明).根據(jù)極大值的定義,在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi),對(duì)于任何點(diǎn)x,f(x) <f(x0)均成立.于是當(dāng)x<x0時(shí),因此f¢(x0);當(dāng)x>x0時(shí),因此;從而得到f¢(x0) = 0 .簡(jiǎn)要證明:假定f(x0)是極大值.根據(jù)極大值的定義,在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f(x)<f(x0).于是,同時(shí),從而得到f¢(x0) = 0 .駐點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f¢(x) = 0

37、的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).定理就是說(shuō):可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn).但的過(guò)來(lái),函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況.定理(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f¢(x)>0,在x0的某一右鄰域內(nèi)f¢(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f¢(x)<0,在x0的某一右鄰域內(nèi)f¢(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f&#

38、162;(x)不改變符號(hào),那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值.定理¢ (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù),在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f¢(x)>0,在(x0, b)內(nèi)f¢(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f¢(x)<0,在(x0, b)內(nèi)f¢(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f¢(x)的符號(hào)相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值.定理2

39、¢¢(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d,x0)È(x0,x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0-d,x0)內(nèi)f¢(x)>0,在(x0,x0+d)內(nèi)f¢(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d,x0)內(nèi)f¢(x)<0,在(x0,x0+d)內(nèi)f¢(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d,x0)及(x0,x0+d)內(nèi) f¢(x)的符號(hào)相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值.定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說(shuō)

40、:當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí),如果f¢(x)的符號(hào)由負(fù)變正,那么f(x)在x0處取得極大值;如果f¢(x)的符號(hào)由正變負(fù),那么f(x)在x0處取得極小值;如果f¢(x)的符號(hào)并不改變,那么f(x)在x0處沒(méi)有極值 (注:定理的敘述與教材有所不同) .確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f¢(x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察f¢(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況,以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn),如果是極值點(diǎn),還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極

41、值.例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-¥,+¥)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且;(2)令f¢(x)=0, 得駐點(diǎn)x=1;x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn);(3)列表判斷x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)f¢(x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0(4)極大值為f(-1)=0, 極小值為.定理3 (第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f ¢(x0)=0,f¢¢(x0)¹0,那么 (1)當(dāng)f¢¢(x0)<0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;

42、(1)當(dāng)f¢¢(x0)>0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;證明在情形(1),由于f¢¢(x0)<0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有.根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性,當(dāng)x在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí),.但f¢(x0)=0,所以上式即.從而知道,對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的x來(lái)說(shuō),f¢(x)與x-x0符號(hào)相反.因此,當(dāng)x-x0<0即x<x0時(shí),f¢(x)>0;當(dāng)x-x0>0即x>x0時(shí),f¢(x)<0.根據(jù)定理2,f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值.類似地可以證明情形(2).簡(jiǎn)要證明:在情形(1),

43、由于f¢¢(x0)<0, f¢(x0)=0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有.根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性,在x0的某一去心鄰域內(nèi)有.從而在該鄰域內(nèi), 當(dāng)x<x0時(shí),f¢(x)>0;當(dāng)x>x0時(shí),f¢(x)<0.根據(jù)定理2,f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值.定理3 表明,如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f¢¢(x0) ¹0,那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn),并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f¢¢(x0)的符來(lái)判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f¢¢(x0)=0,定理3就不能應(yīng)用

44、.討論:函數(shù)f(x)=-x4,g(x)=x3在點(diǎn)x=0是否有極值？提示:f¢(x)=4x3,f¢(0)=0;f¢¢(x)=12x2,f¢¢(0)=0.但當(dāng)x<0時(shí)f¢(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)f¢(x)>0, 所以f(0) 為極小值.g¢(x)=3x2,g¢(0)=0;g¢¢(x)=6x,g¢¢(0)=0. 但g(0)不是極值例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值.解 (1)f¢(x)=6x(x2-1)2. (2)令f

45、¢(x)=0,求得駐點(diǎn)x1=-1,x2=0,x3=1. (3)f¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f¢¢(0)=6>0,所以f (x)在x=0處取得極小值,極小值為f(0)=0. (5)因f¢¢(-1)=f¢¢(1)=0,用定理3無(wú)法判別.因?yàn)樵?1的左右鄰域內(nèi)f¢(x)<0,所以f(x)在-1處沒(méi)有極值;同理,f(x)在1處也沒(méi)有極值. 二、最大值最小值問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,常常會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題:在一定條件下,怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、

46、“成本最低”、“效率最高”等問(wèn)題,這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題.極值與最值的關(guān)系:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則函數(shù)的最大值和最小值一定存在.函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得,如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得,則必在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)取得,在這種情況下,最大值一定是函數(shù)的極大值.因此,函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者.同理,函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者.最大值和最小值的求法:設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的

47、極值點(diǎn))為x1,x2,×××,xn,則比較 f(a),f(x 1),×××,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是函數(shù)f(x)在a,b上的最大值,最小的便是函數(shù)f(x)在a,b上的最小值.例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3,4上的最大值與最小值. 解 ,在(-3,4)內(nèi),f(x)的駐點(diǎn)為; 不可導(dǎo)點(diǎn)為x=1和x=2.由于f(-3)=20,f(1)=0,f(2)=0,f(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在-3,4上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在-3,4上的最小值0.例4工廠鐵路線上AB段的距離為10

48、0km.工廠C距A處為20km, AC垂直于AB.為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路.已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5.為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解設(shè)AD=x (km),則DB=100-x ,.設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y,那么 y=5k×CD+3k×DB (k是某個(gè)正數(shù)),即+3k(100-x) (0£x£100).現(xiàn)在,問(wèn)題就歸結(jié)為:x在0, 100內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小.先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù):.解方程y¢=0,得x=15(km).由于y|x=0=400k,

49、y|x=15=380k,其中以y|x=15=380k為最小,因此當(dāng)AD=x=15km時(shí),總運(yùn)費(fèi)為最省.例2¢工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點(diǎn)到火車站B的距離為100km.欲修一條從工廠到鐵路的公路CD.已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解設(shè)AD=x (km),B與C間的運(yùn)費(fèi)為y, 則 y=5k×CD+3k×DB (0£x£100),其中k是某一正數(shù).由=0,得x=15.由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,其中以y|x=15=380k為最小,因此當(dāng)AD=x=15

50、km時(shí),總運(yùn)費(fèi)為最省.注意:f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限,開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,并且這個(gè)駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),那么,當(dāng)f(x0)是極大值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值;當(dāng)f(x0)是極小值時(shí),f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y應(yīng)當(dāng)指出,實(shí)際問(wèn)題中,往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值,而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得.這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,那么不必討論f(x0)是否是極值,就可以斷定f(x0)是最

51、大值或最小值.例6把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁.問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大?d hb解b與h有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2,因而(0<b<d).這樣,W就是自變量b的函數(shù),b的變化范圍是(0,d).現(xiàn)在,問(wèn)題化為:b等于多少時(shí)目標(biāo)函數(shù)W取最大值？為此,求W對(duì)b的導(dǎo)數(shù):.解方程W¢=0得駐點(diǎn).由于梁的最大抗彎截面模量一定存在,而且在(0,d)內(nèi)部取得;現(xiàn)在,函數(shù)在(0,d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),W的值最大.這時(shí),即.解:把W表示成b的函數(shù):(0<b<d).由, 得駐點(diǎn).由于梁的最大抗彎截面模量一定存在

52、,而且在(0,d)內(nèi)部取得;現(xiàn)在函數(shù)W在(0,d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),抗彎截面模量W最大,這時(shí).§3.6函數(shù)圖形的描繪一、 教學(xué)目的與要求：1會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線.2會(huì)利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形。二、 重點(diǎn)（難點(diǎn)）：利用導(dǎo)數(shù)分區(qū)間討論函數(shù)的圖形的性質(zhì)。三、 主要外語(yǔ)詞匯：sketch，Description，Asymptote四、 輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）六、 參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版描繪函數(shù)圖形的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù);(2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(3)列表

53、分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性;(4)確定曲線的漸近性;(5)確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它點(diǎn);(6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形.例1. 畫出函數(shù)y=x 3-x 2-x+1的圖形. 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥,+¥), (2) f¢(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),f¢¢(x)=6x-2=2(3x-1). f¢(x)=0的根為x=-1/3,1;f¢¢(x)=0的根為x= 1/3. (3)列表分析:x(-¥,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,

54、1)1(1,+¥)f¢(x)+0-0+f¢¢(x)-0+f(x)Ç極大Ç拐點(diǎn)È極小È(4)當(dāng)x®+¥時(shí),y®+¥當(dāng)x®-¥時(shí),y®-¥. (5)計(jì)算特殊點(diǎn):f(-1/3)=32/27,f(1/3)=16/27,f(1)=0,f(0)=1;f(-1)=0,f(3/2)=5/8. (6)描點(diǎn)聯(lián)線畫出圖形:例2.作函數(shù)的圖形. 解:(1) 函數(shù)為偶函數(shù), 定義域?yàn)?-¥, +¥), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.(2),. 令f &#

55、162;(x)=0, 得x=0; 令f¢¢(x)=0, 得x=-1和x=1.(3)列表:x(-¥, -1)-1(-1, 0)0(0, 1)1(1, +¥)f ¢(x)0f ¢¢(x)00y=f(x)È拐點(diǎn)Ç極大值Ç拐點(diǎn)È(4)曲線有水平漸近線y=0.(5)先作出區(qū)間(0, +¥)內(nèi)的圖形, 然后利用對(duì)稱性作出區(qū)間(-¥, 0)內(nèi)的圖形.例3. 作函數(shù)的圖形. 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥,-3)È(-3,+¥). (2),.令f¢(x)=0得x=3, 令f¢¢(x)=0得x=6.(3)列表分析:x(-¥,-3)(-3, 3)3(3, 6)6(6,+¥)f¢(x)-+0-f¢¢(x)-0+f(x)ÇÇ4極大Ç11/3拐點(diǎn)È (4) x =-3是曲線的鉛直漸近線,y = 1是曲線的水平漸近線.(5)計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值:f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9)=-8,f(-15)=-11/4.(6)作圖.§3.7 曲 率教學(xué)目的與要求：1 掌握弧微分公式