立體幾何中與球有關(guān)的內(nèi)切 與 外接問題的研究

1、立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切” 與“ 外接”問題的研究縱觀近幾年高考對于組合體的考查，重點放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題上.要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答.從實際教學(xué)來看，這部分知識是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討.1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1 球

2、與正方體發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為其體對角線為.當(dāng)球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，

3、則球經(jīng)過的空間部分的體積為( )A.B.4C.D.1.3 球與正棱柱例3 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1 球與正四面體解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便.例4 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面

4、體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側(cè)棱,則正2.3 球與正棱錐 球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半

5、徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4D.接球的球心,則.例7 矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.3 球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例8 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，