立體幾何大題—利用等體積解題

1、 立體幾何大題中有關(guān)體積的求法1、求空間距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn) 2、求點(diǎn)到平面的距離通常有四種方法 (1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng) (2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離 (3)體積法 (4)向量法例題分析：例1、如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點(diǎn) 求 (1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離 例2、如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.BACDOGH例3、已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC與底面ABCD所

2、成的角為45°,AB=a,求 (1)截面EAC的面積；(2)異面直線A1B1與AC之間的距離；(3)三棱錐B1EAC的體積 參考答案：例1、如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點(diǎn) 求 (1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離 解 (1)在矩形ABCD中，作AEBD，E為垂足連結(jié)QE，QA平面ABCD，由三垂線定理得QEBEQE的長(zhǎng)為Q到BD的距離在矩形ABCD中，AB=a,AD=b, AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距離為 (2)解法一 平面BQD經(jīng)過線段PA的中點(diǎn)，P到平面BQD的距離等于A到平面BQD的

3、距離在AQE中，作AHQE，H為垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH為A到平面BQD的距離 在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距離為解法二 設(shè)點(diǎn)A到平面QBD的距離為h，由VABQD=VQABD,得SBQD·h=SABD·AQh= 例2 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.BACDOGH思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過程：解析一 平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離,，平面,又平面平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面

4、的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二 平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則 , 即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.例3、已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a,求 (1)截面EAC的面積；(2)異面直線A1B1與AC之間的距離；(3)三棱錐B1EAC的體積 解 (1)連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45°又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線又EOBD1，O為BD中點(diǎn)，D1B=2EO=