CG教案7-2曲線曲面

1、 曲線曲面的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)源于曲線曲面的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)源于20世紀(jì)世紀(jì)60年代的飛機(jī)和汽車工業(yè)。年代的飛機(jī)和汽車工業(yè)。1963年美國(guó)波音公司的年美國(guó)波音公司的Ferguson提出用于飛機(jī)設(shè)計(jì)的提出用于飛機(jī)設(shè)計(jì)的參數(shù)三次方程參數(shù)三次方程；1962年法國(guó)雷諾汽車公司的年法國(guó)雷諾汽車公司的Bzier提出以逼近為基礎(chǔ)的曲線曲面設(shè)計(jì)系提出以逼近為基礎(chǔ)的曲線曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)統(tǒng)UNISURF，此前，此前de Casteljau大約于大約于1959年在法國(guó)另一家汽車公司雪鐵年在法國(guó)另一家汽車公司雪鐵龍的龍的CAD系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計(jì)，但因?yàn)楸Ｃ艿脑蚨鴽](méi)有公布；系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計(jì)，但因?yàn)楸Ｃ艿脑蚨鴽](méi)有公布；196

2、4年年Coons提出了一類提出了一類布爾和布爾和形式的曲面；形式的曲面；1972年，年，deBoor和和Cox分別給出分別給出B樣條樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法；的標(biāo)準(zhǔn)算法；1975年以后，年以后，Riesenfeld等人研究了非均勻等人研究了非均勻B樣條曲線曲面，美國(guó)錫拉樣條曲線曲面，美國(guó)錫拉丘茲大學(xué)的丘茲大學(xué)的 Versprille研究了有理研究了有理B樣條曲線曲面，樣條曲線曲面，20世紀(jì)世紀(jì)80年末、年末、90年年代初，代初，Piegl和和Tiller等人對(duì)有理等人對(duì)有理B樣條曲線曲面進(jìn)行了深入的研究，并形樣條曲線曲面進(jìn)行了深入的研究，并形成成非均勻有理非均勻有理B樣條樣條(Non-Uniform R

3、ational B-Spline，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱NURBS)；1991年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織(ISO)正式頒布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)正式頒布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)STEP，NURBS是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種自由型曲線曲面自由型曲線曲面。平面曲線的直角坐標(biāo)表示形式為：平面曲線的直角坐標(biāo)表示形式為： )(xfy 0),(yxF或其參數(shù)方程則為：其參數(shù)方程則為：)()(tyytxx)(trr 平面上一點(diǎn)的位置可用自原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量表示：平面上一點(diǎn)的位置可用自原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量表示： 上式稱為上式稱為曲線的矢量方程曲線的矢量方程，其坐標(biāo)分量表示式是，其坐標(biāo)分量表示式

4、是曲線的參數(shù)方程。曲線的參數(shù)方程。r(t2)r(t1)OYXZ圖7-1 空間曲線 三維空間曲線可理解為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，位置矢三維空間曲線可理解為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，位置矢量量r 隨時(shí)間隨時(shí)間t 變化的關(guān)系就是一條空間曲線。變化的關(guān)系就是一條空間曲線。 )(),(),()(tztytxtrrr矢量方程為：矢量方程為：)()()(tzztyytxx三維空間曲線的三維空間曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程為：為：用用s表示曲線的表示曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)，以弧長(zhǎng)為參，以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線方程稱為數(shù)的曲線方程稱為自然參數(shù)方程自然參數(shù)方程。以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線，其以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線，其切矢切矢為單為單位矢量，記為位矢量，記為t(s

5、)。切矢切矢t(s)t(s)對(duì)弧長(zhǎng)對(duì)弧長(zhǎng) s s求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢dt(s)/dsdt(s)/ds與切矢相垂直，稱為與切矢相垂直，稱為曲率曲率矢量矢量，如圖，如圖7-27-2，其單位矢量稱為，其單位矢量稱為曲線的曲線的單位主法矢單位主法矢，記為，記為n(s)n(s)，其，其模長(zhǎng)稱為曲線的模長(zhǎng)稱為曲線的曲率曲率，記為，記為k(s)k(s)。曲率的倒數(shù)稱為曲線的曲率的倒數(shù)稱為曲線的曲率半徑曲率半徑，記為記為(s)(s)。 與與t t和和n n相互垂直的單位矢量稱為相互垂直的單位矢量稱為副法矢副法矢，記為，記為b(s)b(s)。由由t和和n張成的平面稱為張成的平面稱為密切平面密切平面；由；

6、由n和和b張成的平面稱為張成的平面稱為法法平面平面；由；由t和和b張成的平面稱為張成的平面稱為從切面從切面。 法平面密切平面從切面tnbP圖7-2 曲線特性分析 n曲率曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢量t(s)對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率。n撓率撓率 的絕對(duì)值等于副法線方向b(s)b(s)(或密切平面)對(duì)于弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率.曲率和撓率曲率和撓率)(ssTD+)(sTTDO 曲率和撓率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1BqDqD一般曲面可表示為：一般曲面可表示為： 0),(),(zyxFyxfz或或),(),(),(vuzzvuyyvuxx其其參數(shù)表達(dá)式參數(shù)表達(dá)式為：為： ),(),(),(),(vuzv

7、uyvuxvurrr曲面的曲面的矢量方程矢量方程為：為： 參數(shù)參數(shù)u、v的變化區(qū)間常取為單位正方形，即的變化區(qū)間常取為單位正方形，即u,v0,1。x，y，z都是都是u和和v二元可微函數(shù)。當(dāng)二元可微函數(shù)。當(dāng)(u，v)在區(qū)間在區(qū)間0，1之間變化時(shí)，之間變化時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y，z)就在空間形成一張曲面。就在空間形成一張曲面。 u映射映射),(vur空間域空間域 參數(shù)域參數(shù)域vvvurvvurvurvruvurvuurvururvvuuDD+DD+DD),(),(lim),(),(),(lim),(00r 對(duì)對(duì) u和和v的一階偏導(dǎo)數(shù)為：的一階偏導(dǎo)數(shù)為： 一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)ru(u，

8、v)和和 rv(u，v)繼續(xù)對(duì)繼續(xù)對(duì)u，v求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，得到四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)得到四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù) ruu、ruv、rvu、rvv： vv22vu2uv2uu22rvrvrvruvrvrurvururvrurururuv和和 rvu稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù) ，在二階連續(xù)時(shí)，兩者相同。，在二階連續(xù)時(shí)，兩者相同。 rvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)圖7-3 空間曲面 如圖如圖7-3，曲面上一點(diǎn)的切矢，曲面上一點(diǎn)的切矢ru和和 rv 所張成平面稱為所張成平面稱為曲面在該點(diǎn)的曲面在該點(diǎn)的切平面切平面。曲面上所有過(guò)該點(diǎn)的曲線在此點(diǎn)。曲面上所有過(guò)該點(diǎn)的曲線在此點(diǎn)的切矢都位于切平

9、面內(nèi)。切平面的法矢就是曲面在該點(diǎn)的切矢都位于切平面內(nèi)。切平面的法矢就是曲面在該點(diǎn)的法矢。的法矢。)()()1()(21ururur+k)(jsin)(icos)(uzuRuRr+qq對(duì)于固定的對(duì)于固定的u，它是一條直線，當(dāng)，它是一條直線，當(dāng)u變化時(shí)，就成了面，即變化時(shí)，就成了面，即“線動(dòng)成線動(dòng)成面面”。 + + + + + vv1rrrr)u,u1(rvr )v1(urvr )v1)(u1()v,u(r111001001110010011100100)1 ()1 (rvrvrvrv+ Coons曲面是已知曲面片的四條邊界曲線，由兩張直紋曲面曲面是已知曲面片的四條邊界曲線，由兩張直紋曲面的和減去

10、一張雙線性插值曲面得到的：的和減去一張雙線性插值曲面得到的： ), 0(), 0()1 (),(1vruvruvur+) 1 ,()0 ,()1 (),(2urvurvvur+ vvrrrruuvur1),1 (),(11100100 +vvrrrruuvvururvrvruuvur1)1 (1) ) 1 ,()0 ,(), 1 (), 0()1 (),(11100100),(),(),(),(321vurvurvurvur+ 這種布爾和形式的曲面是這種布爾和形式的曲面是Coons于于1967年研究的，拼合時(shí)整張曲面年研究的，拼合時(shí)整張曲面C0連連續(xù)，即位置連續(xù)。要達(dá)到續(xù)，即位置連續(xù)。要達(dá)到C

11、1連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。 雙線性插值曲面，采用了雙線性插值曲面，采用了“先定義線，然后線動(dòng)成面先定義線，然后線動(dòng)成面”的思想。張量積曲面也是采用的思想。張量積曲面也是采用“線動(dòng)成面線動(dòng)成面”的思想，是的思想，是CAGD中應(yīng)用最廣泛的一類曲面生成方法中應(yīng)用最廣泛的一類曲面生成方法 。及其上的調(diào)配函數(shù)的分割：參數(shù)及其上的調(diào)配函數(shù)的分割：參數(shù))();(1010vvvvvuuuuuimim映射),(vur空間域空間域 參數(shù)域參數(shù)域vuminjjiijnmnmmnnmvuavvvaaaaaaaaauuuvur001010111100010010)()()()()()

12、 )()()(),(定義曲面：定義曲面： 定義在定義在uvuv平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱為平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱為張量積曲面張量積曲面。 張量積曲面的特點(diǎn)是將曲面問(wèn)題化解為簡(jiǎn)單的曲線問(wèn)題來(lái)張量積曲面的特點(diǎn)是將曲面問(wèn)題化解為簡(jiǎn)單的曲線問(wèn)題來(lái)處理，適用于拓?fù)渖铣示匦蔚那嫘螤睢Ｌ幚?，適用于拓?fù)渖铣示匦蔚那嫘螤?。A Duck (weight)Ducks trace out curve1. 插值、擬合與逼近插值、擬合與逼近u插值插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造線順序通過(guò)這些

13、數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為的曲線稱為插值曲線插值曲線。 u擬合擬合：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過(guò)這些點(diǎn)但未必通過(guò)這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線為，所構(gòu)造的曲線為擬合曲線擬合曲線。u逼近逼近：在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，逼近繼承了似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近插值和擬合都可以視為逼近。 原始數(shù)據(jù)點(diǎn)精確原始數(shù)據(jù)點(diǎn)精確

14、 原始數(shù)據(jù)點(diǎn)不精確原始數(shù)據(jù)點(diǎn)不精確n給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)P Pi i，i=0, 1, i=0, 1, , n, n，構(gòu)造一條，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插插值值，所構(gòu)造的曲線稱為，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線插值曲線。n線性插值線性插值：假設(shè)給定函數(shù)：假設(shè)給定函數(shù)f(x)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1x1和和x2x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：的值，用一個(gè)線形函數(shù)：y=ax+by=ax+b，近似代替，稱為，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。的線性插值函數(shù)。n拋物線插值拋物線插值：已知在三個(gè)互異點(diǎn)：已知在三個(gè)互異點(diǎn)

15、 的函數(shù)的函數(shù)值為值為 ，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 使拋物線使拋物線 在結(jié)點(diǎn)在結(jié)點(diǎn) 處與處與 在在 處處 的值相等。的值相等。cbxaxx+2)()(x321,xxx321,yyy) 3 , 2 , 1( ixi)(xfix插值插值xyo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b) 線性插值和拋物插值n逼近逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過(guò)這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線稱為逼近曲線。n在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。 曲線的逼近逼近逼近n求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲

16、線的插值曲線的插值。n將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形控制多邊形或特征多邊形。特征多邊形。 曲線的逼近凸殼（凸包）凸殼（凸包）n凸殼凸殼Convex hull的定義：的定義： 包含一組控制點(diǎn)的凸多邊形邊界。包含一組控制點(diǎn)的凸多邊形邊界。n凸殼的作用凸殼的作用n提供了曲線或曲面與包圍控制點(diǎn)的區(qū)域之間的提供了曲線或曲面與包圍控制點(diǎn)的區(qū)域之間的偏差的測(cè)量偏差的測(cè)量n以凸殼為界的樣條保證了多項(xiàng)式沿控制點(diǎn)的平以凸殼為界的樣條保證了多項(xiàng)式沿控制點(diǎn)的平滑前進(jìn)滑前進(jìn)凸殼n光順(Firing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平面曲線而言，相對(duì)光順的條件是：na. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；nb. 不存在

17、多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；nc. 曲率變化較小。光順光順XYXY由一組由一組基函數(shù)基函數(shù)及相聯(lián)系的系數(shù)矢量來(lái)表示：及相聯(lián)系的系數(shù)矢量來(lái)表示：niii0aP采用不同的基函數(shù)，曲線的數(shù)學(xué)表示方法就不同。基函數(shù)采用不同的基函數(shù)，曲線的數(shù)學(xué)表示方法就不同。基函數(shù)一旦確定，系數(shù)矢量就完全定義了曲線。一旦確定，系數(shù)矢量就完全定義了曲線。2. 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中的曲線中的曲線的一般表示形式的一般表示形式規(guī)范基表示規(guī)范基表示具有幾何不變性。具有幾何不變性。即同樣的點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中生即同樣的點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中生成的曲線相同。拋物線方程不成的曲線相同。拋物線方程不具有幾何不變性。具有幾何不變

18、性。則稱為規(guī)范基。，若10nii切矢方向與模：切矢方向與模：方向相同，模不同，方向相同，模不同，G1連續(xù)；連續(xù)；方向相同，模相同，方向相同，模相同， C1連續(xù)；連續(xù)；)(1ur)(2vr連續(xù)；滿足該條件，稱為，2112) 1 () 1 ()0(Grrr+)1()0(12rr C C2 2連續(xù)連續(xù)滿足條件滿足條件: : 幾何意義是：曲線段幾何意義是：曲線段r r2 2(u)(u)首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線段首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線段r r1 1(v)(v)末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。(a)0階連續(xù)性(b)1階連續(xù)性(c)2階連續(xù)性 對(duì)于曲面片

19、，若兩個(gè)曲面片在公共連接線上處處滿足上對(duì)于曲面片，若兩個(gè)曲面片在公共連接線上處處滿足上述各類連續(xù)性條件，則兩個(gè)曲面片之間有同樣的結(jié)論。述各類連續(xù)性條件，則兩個(gè)曲面片之間有同樣的結(jié)論。 n n次多項(xiàng)式的全體構(gòu)成次多項(xiàng)式的全體構(gòu)成n n次多項(xiàng)式空間，在其中任選一組次多項(xiàng)式空間，在其中任選一組線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式都可以作為基。線性無(wú)關(guān)的多項(xiàng)式都可以作為基。 冪基冪基 u ui i，i=0i=0，1 1，n n，是最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式基，相應(yīng)的，是最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式基，相應(yīng)的參數(shù)多項(xiàng)式曲線方程為：參數(shù)多項(xiàng)式曲線方程為： 對(duì)于給定的對(duì)于給定的n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,2,n，欲構(gòu)造其插，欲構(gòu)造其插值曲線

20、或逼近曲線，必先得到對(duì)應(yīng)于各數(shù)據(jù)點(diǎn)值曲線或逼近曲線，必先得到對(duì)應(yīng)于各數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi的參數(shù)值的參數(shù)值ui，ui 是一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列是一個(gè)嚴(yán)格遞增的序列U：u0u1 un 。iniiuu0)(aP采用不同的參數(shù)化，得到的曲線也不同。采用不同的參數(shù)化，得到的曲線也不同。常用的參數(shù)化方法有：常用的參數(shù)化方法有：均勻參數(shù)化均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化等距參數(shù)化) 積累弦長(zhǎng)參數(shù)化積累弦長(zhǎng)參數(shù)化向心參數(shù)化向心參數(shù)化 修正弦長(zhǎng)參數(shù)化修正弦長(zhǎng)參數(shù)化對(duì)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化，將參數(shù)值對(duì)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化，將參數(shù)值ui代入前面所述方程，代入前面所述方程，使之滿足插值條件：使之滿足插值條件：;2 , 1 , 0)(0ni

21、uuijinjjipap得一線性方程組：得一線性方程組：解線性方程組，可得系數(shù)矢量的唯一解。解線性方程組，可得系數(shù)矢量的唯一解。然而，冪基多項(xiàng)式曲線方程中的系數(shù)矢量幾何意義不明確，構(gòu)然而，冪基多項(xiàng)式曲線方程中的系數(shù)矢量幾何意義不明確，構(gòu)造曲線時(shí)，需解線性方程組，造曲線時(shí)，需解線性方程組，n n較大時(shí)，不可取。較大時(shí)，不可取。 其它多項(xiàng)式插值曲線如其它多項(xiàng)式插值曲線如Lagrange、Newton、Hermite等等較之冪基多項(xiàng)式曲線在計(jì)算性能等方面有較大改進(jìn)，但總體上較之冪基多項(xiàng)式曲線在計(jì)算性能等方面有較大改進(jìn)，但總體上多項(xiàng)式曲線存在兩個(gè)問(wèn)題：多項(xiàng)式曲線存在兩個(gè)問(wèn)題：l l次數(shù)增高時(shí)，出現(xiàn)多余

22、的拐點(diǎn)；次數(shù)增高時(shí)，出現(xiàn)多余的拐點(diǎn)；l l整體計(jì)算，一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的微小改動(dòng)，可能引起曲線整體大整體計(jì)算，一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的微小改動(dòng)，可能引起曲線整體大的波動(dòng)。的波動(dòng)。nnnnnnnnpppaaauuuuuuuuu1010212110200111由于高次多項(xiàng)式曲線存在缺陷，單一低次多項(xiàng)式曲由于高次多項(xiàng)式曲線存在缺陷，單一低次多項(xiàng)式曲線又難以描述復(fù)雜形狀的曲線。所以采用線又難以描述復(fù)雜形狀的曲線。所以采用低次多項(xiàng)低次多項(xiàng)式按分段的方式式按分段的方式在一定連續(xù)條件下拼接復(fù)雜的組合在一定連續(xù)條件下拼接復(fù)雜的組合曲線是唯一的選擇。曲線是唯一的選擇。以三次多項(xiàng)式為例：以三次多項(xiàng)式為例：+3032)()(kkkii

23、iiixfPxdxcxbaxyy1(x)=a1+b1x+c1x2+d1x3y2(x)=a2+b2x+c2x2+d2x3y3(x)=a3+b3x+c3x2+d3x3“線動(dòng)成面” 如何如何選擇基函數(shù)選擇基函數(shù)使系數(shù)具有幾何意義，且操作使系數(shù)具有幾何意義，且操作方便、易于修改是曲線曲面設(shè)計(jì)方法的發(fā)展方向。方便、易于修改是曲線曲面設(shè)計(jì)方法的發(fā)展方向。0,1 t)()()(011220112201122+ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnnn7.5.1 樣條描述樣條描述n次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的矩陣：7.5 Himerte樣條樣條0,1 t 1)()()()(000111GM

24、TCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn基函數(shù)基函數(shù)(blenging function)，或稱混合函數(shù)混合函數(shù)。n7.5.2 三次樣條三次樣條給定n+1個(gè)點(diǎn)，可得到通過(guò)每個(gè)點(diǎn)的分段三次多項(xiàng)式曲線： 0,1 t )()()(232323+zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx7.5.3 自然三次樣條自然三次樣條定義定義：給定n+1個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過(guò)這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有自然三次樣條具有C2連續(xù)性連續(xù)性。還需要兩個(gè)附加條件才能解出方程組.特點(diǎn)特點(diǎn)：

25、1.只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合2.不能“局部控制” 7.5.4 三次三次Hermite樣條樣條定義定義：假定型值點(diǎn)Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次三次Hermite樣條曲線樣條曲線：11) 1 (,)0() 1 (,)0(+kkkkRpRpPpPp推導(dǎo)推導(dǎo)：CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx11)(2323n幾何形式n對(duì)三次參數(shù)曲線，若用其端點(diǎn)位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。n將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡(jiǎn)記為P0、P1、P0

26、和P1，代入 得 1 , 0)(012233+tatatatatP+1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPahhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC+1111100010100123311220123010011111000Mh是是Hermite矩陣矩陣。Gh是是Hermite幾何矢量幾何矢量。三次三次Hermite樣條曲線的方程為樣條曲線的方程為：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh通常將TMk稱為Hermite基函數(shù)（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)基函數(shù)（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）： )(2)(32)(132)(233232

27、231230tttHttttHtttHtttH+)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk+H(t)t0.60.81-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t) Hermite基函數(shù)特點(diǎn)分析特點(diǎn)分析：1.可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束。2.Hermite曲線具有幾何不變性 Bzier曲線曲線是法國(guó)雷諾汽車公司的工程師是法國(guó)雷諾汽車公司的工程師Bzier于于1962年提出。年提出。1972年在年在UNISURF系統(tǒng)中正式投入使用。系統(tǒng)中正式投入使用。Bzier曲曲線采用一組特殊的基函數(shù)，使得基函數(shù)的線采用一組特殊的

28、基函數(shù)，使得基函數(shù)的系數(shù)系數(shù)具有明確的幾何具有明確的幾何意義。其曲線方程：意義。其曲線方程： 10,)()(0ttftniiiap其中從其中從a0到到an首尾相連的折線稱為首尾相連的折線稱為Bzier控制多邊形控制多邊形。 nitCCtfnijjijjnjii2, 1 ,0,)1()(11+(注：注：Bzier本人也不能解釋該公式的來(lái)源本人也不能解釋該公式的來(lái)源)a0a1a2a3ai為相對(duì)位置矢量為相對(duì)位置矢量7.3.1 Bzier曲線曲線10,)()(0ttftPniiia333223210t) t (ft2t3) t (ftt3t3) t (f1) t (f + + 當(dāng)當(dāng)n=3時(shí)時(shí): f0

29、(t)f1(t)f2(t)f3(t)110nitCCtfnijjijjnjii2, 1 ,0,)1()(11+00)()(1,ttBPtniniip!)!(!, 1 , 0)1 ()(,iinnCnittCtBininiinni英國(guó)的英國(guó)的Forest于于1972年將上述年將上述Bzier曲線中的控制多邊形頂曲線中的控制多邊形頂點(diǎn)改為絕對(duì)位置矢量的點(diǎn)改為絕對(duì)位置矢量的Bernstein基基表示形式：表示形式：33,323,223, 133,0)()1(3)()1(3)()1()(ttBtttBtttBttB當(dāng)當(dāng)n=3時(shí)時(shí):P0P1P2P3Pi為絕對(duì)位置矢量B0,3(t)B1,3(t)B3,3(

30、t)B2,3(t)三次基函數(shù)的圖像三次基函數(shù)的圖像3332232133033 , 33 , 23 , 13 , 032103 ,30)1 ()1 ()1 ()()()()()()(tCttCttCtCGtBtBtBtBPPPPtBPtPBEziii取為幾何矩陣取為幾何矩陣GBEZ取為基矩陣取為基矩陣 MBEZTMGtttGBEZBEZBEZ321100033003630133132103213310363003300011)(PPPPttttp0,1t參數(shù)離散參數(shù)離散 0nit計(jì)算型值點(diǎn)計(jì)算型值點(diǎn) 0niP連接型值點(diǎn)連接型值點(diǎn)折線折線#define X 0#define Y 1#define

31、Z 2typedef float Vector3;void DisplayCubicBezierCurve(Vector P4, int count) float C34, t, deltat; Vector V, newV; int i, j; for(j=0; j3; j+)/* C=GBEN*MBEN */ Cj0=P0j;Cj1=-3*P0j+3*P1j;Cj2=3*P0j-6*P1j+3*P2j;Cj3=-P0j+3*P1j-3*P2j+P3j; VX=P0X; VY=P0Y; VZ=P0Z; /* 將曲線的起點(diǎn)賦給矢量將曲線的起點(diǎn)賦給矢量V */ detat=1.0/count;

32、t=0.0; for(i=1; i=k-1； 與控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)，有效基函數(shù)下標(biāo)應(yīng)滿足：與控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)，有效基函數(shù)下標(biāo)應(yīng)滿足：i=n。 故：總有效區(qū)間為故：總有效區(qū)間為tk-1,tn+1。2022-3-71003階B樣條曲線示例1+nt2tT=t0,t1,tn+1,tn+2,tn+32022-3-7101B-樣條基函數(shù)的性質(zhì)n局部性局部性n權(quán)性權(quán)性n連續(xù)性連續(xù)性2022-3-7102B-樣條基函數(shù)的局部性上為零。上取正值，在其它區(qū)間只在區(qū)間),)(,kiikitttN+在每一個(gè)區(qū)間上至多只有k個(gè)基函數(shù)非零，它們是：)(),.,(),(,2,1tNtNtNkikkikki+分段多項(xiàng)式從而在整個(gè)參數(shù)軸上是

33、的多項(xiàng)式上都是次數(shù)不高于在每個(gè)區(qū)間1),)(,+ktttNkiiki2022-3-7103B-樣條基函數(shù)的權(quán)性,1)(110,+nknikittttN上權(quán)性成立。證明：在任意參數(shù)區(qū)間,),111+nkjjtttt+nijkjikikikijjtNtNtNttt01,1)()()(,的局部性得到：，由上式右端根據(jù)遞推公式展開(kāi)并化簡(jiǎn)得到：1)()(1 ,1,+tNtNjjkjiki2022-3-7104B-樣條基函數(shù)的連續(xù)性次參數(shù)連續(xù)。重節(jié)點(diǎn)處至少為在lkltNki1)(,+11, 111,)()() 1()(ikikiikikikitttNtttNktN2022-3-7105B-樣條曲線的分類樣

34、條曲線的分類n根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量的不同形式分類根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量的不同形式分類q均勻均勻B樣條曲線樣條曲線q準(zhǔn)均勻準(zhǔn)均勻B樣條曲線樣條曲線q分段分段Bezier曲線曲線q非均勻非均勻B樣條曲線樣條曲線采用均勻節(jié)點(diǎn)矢量，即所采用均勻節(jié)點(diǎn)矢量，即所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為大于有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為大于0的的常數(shù)，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定常數(shù)，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻義了均勻B-樣條基，從而樣條基，從而定義出均勻定義出均勻B-樣條曲線。樣條曲線。當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量在首末端點(diǎn)處當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量在首末端點(diǎn)處有有K重重復(fù)度，而在內(nèi)部為重重復(fù)度，而在內(nèi)部為均勻分布時(shí)，可定義準(zhǔn)均均勻分布時(shí)，可定義準(zhǔn)均勻勻B-樣條曲線。樣條曲線。節(jié)點(diǎn)矢量在首末端點(diǎn)處有節(jié)點(diǎn)矢

35、量在首末端點(diǎn)處有K重重復(fù)度，而在內(nèi)部為非重重復(fù)度，而在內(nèi)部為非均勻分布。均勻分布。2022-3-7106均勻B-樣條曲線n均勻節(jié)點(diǎn)矢量均勻節(jié)點(diǎn)矢量n均勻均勻B-樣條基樣條基n均勻均勻B-樣條曲線樣條曲線2022-3-7107例：三次均勻例：三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（1） 樣條曲線次均勻其上可定義滿足：參數(shù)節(jié)點(diǎn)向量+D+BnittiTiinint3),3,.,1 , 0(01404, 1, 3)()(:0104,0+DnttNPtPBtniii，樣條曲線構(gòu)造三次均勻，常令：2022-3-7108nitNktkitNkittNtNkikikii,.,1 , 0)(1)(1)()(1, 11,4

36、,+，：公式計(jì)算根據(jù)如下的基函數(shù)遞推+其它此時(shí)：0) 1,1)()(4,.,1 , 01 ,4,iittNitnTiin三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（2）2022-3-7109)()(, 0,itNtNkki注：基函數(shù)的平移性三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（3）1階基函數(shù)2階基函數(shù)2022-3-7110+jjiijjiiijjitNPtNPtPnjjjtt34, 034,1)()()()3)(1,),上的曲線段為：即則，在區(qū)間三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（4）如下：計(jì)算)(4, 0tN) 1(34)(3)(3 , 03 , 04 , 0+tNttNttN2022-3-71

37、11三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（5）+其它，0 322)3()21 2) 1)(3()2() 1 , 02)(223 , 0ttttttttttN由前面推導(dǎo)過(guò)程得到：2022-3-7112三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（6）+其它04 , 32) 13(3403) 3 , 22) 11)(13() 12)(1(342)3(3)2 , 1 2) 1(342) 1)(3()2(3) 1 , 003423)(2224, 0tttttttttttttttttttttttttN2022-3-7113三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（7）)()()()(4,4, 14, 24, 312

38、3tNtNtNtNPPPPjjjjjjjjjjiijjiiiitNPtNPtP34, 034,)()()(+)() 1()2()3(4, 04, 04, 04, 0123jtNjtNjtNjtNPPPPjjjj2022-3-7114三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（8）+322223123)3()2)(1() 1)(1 ()2()1)(1)(2()1)(2()1 (61ssssssssssssssssPPPPjjjjjts引入?yún)?shù)變換：+)() 1()2()3()(4, 04, 04, 04, 0123sNsNsNsNPPPPsPjjjj 1 , 0s2022-3-7115三次均勻三次均勻

39、B樣條曲線（樣條曲線（9）32123)()()(1100033313604133161,)(jtjtjtPPPPtPjjjj代入原參數(shù)得：321231100033313604133161sssPPPPjjjj上式即為區(qū)間tj,tj+1上3次均勻B樣條曲線的矩陣表達(dá)式。2022-3-7116P(3)P(4)P(5)當(dāng)當(dāng)K3，且采用均勻參數(shù)化時(shí)，得到三次均勻，且采用均勻參數(shù)化時(shí)，得到三次均勻B樣條曲線：樣條曲線：+321321331036303030141161)(iiittttSddddi3, 1 , 0101+niuuuutiii，iiiiiiiiiiiiiiSSSSSSdddddddd+12

40、1212112)0() 1 ()(21)0() 1 ()4(61)0() 1 (在分段連接點(diǎn)處在分段連接點(diǎn)處B B樣條曲線的值和導(dǎo)矢量為：樣條曲線的值和導(dǎo)矢量為： 圖圖7-13三次均勻三次均勻B樣條曲線段的幾何特性樣條曲線段的幾何特性圖圖7-13三次均勻三次均勻B樣條曲線段的幾何特性樣條曲線段的幾何特性當(dāng)當(dāng)di、di+1、 di+2和和di+3四點(diǎn)共線時(shí)，四點(diǎn)共線時(shí)， 其所定義的曲線段退化其所定義的曲線段退化為直線段；為直線段；當(dāng)當(dāng)di+1和和di+2兩頂點(diǎn)重合時(shí)，曲線段起點(diǎn)兩頂點(diǎn)重合時(shí)，曲線段起點(diǎn)Si(0)和末點(diǎn)和末點(diǎn)Si(1)分別分別與與didi+1和與和與di+1di+2 相切，且端點(diǎn)曲

41、率為相切，且端點(diǎn)曲率為0（如圖（如圖7-15）；）；l 曲線的上述退化情形在實(shí)際設(shè)計(jì)中很有用，如圖曲線的上述退化情形在實(shí)際設(shè)計(jì)中很有用，如圖7-17是應(yīng)是應(yīng)用曲線退化情形設(shè)計(jì)的尖點(diǎn)和直線段。用曲線退化情形設(shè)計(jì)的尖點(diǎn)和直線段。 對(duì)于三次均勻?qū)τ谌尉鶆駼樣條曲線，計(jì)算對(duì)應(yīng)于參數(shù)樣條曲線，計(jì)算對(duì)應(yīng)于參數(shù)ui, ui+1這段曲這段曲線上的一點(diǎn)，要用到線上的一點(diǎn)，要用到Ni-3, 3(u)、Ni-2, 3(u)、Ni-1, 3(u)、Ni, 3(u)四個(gè)四個(gè)基函數(shù)，涉及基函數(shù)，涉及ui-3到到ui+4共共8個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值。個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值。 B樣條曲線的基函數(shù)是樣條曲線的基函數(shù)是局部支撐局部支撐的，修改

42、一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，在的，修改一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，在修改處影響最大，對(duì)其兩側(cè)的影響快速衰減，其影響范圍只有修改處影響最大，對(duì)其兩側(cè)的影響快速衰減，其影響范圍只有前后各前后各K段曲線，對(duì)曲線的其它部分沒(méi)有影響。這是計(jì)算機(jī)輔段曲線，對(duì)曲線的其它部分沒(méi)有影響。這是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)所需要的助幾何設(shè)計(jì)所需要的局部修改性局部修改性。 B樣條曲線的基函數(shù)是樣條曲線的基函數(shù)是局部支撐局部支撐的，均勻的，均勻B樣條曲線未考樣條曲線未考慮曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布對(duì)參數(shù)化的影響，當(dāng)曲線弦長(zhǎng)差異較大慮曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布對(duì)參數(shù)化的影響，當(dāng)曲線弦長(zhǎng)差異較大時(shí)，弦長(zhǎng)較長(zhǎng)的曲線段比較平坦，而弦長(zhǎng)較短的曲線段則臌時(shí)，弦長(zhǎng)較長(zhǎng)的曲線段比較平坦，而弦長(zhǎng)較

43、短的曲線段則臌漲，甚至于因過(guò)漲，甚至于因過(guò)“沖沖”而產(chǎn)生而產(chǎn)生“紐結(jié)紐結(jié)”。 給定給定16個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)di j（i=1,2,3,4；j=1,2,3,4）構(gòu)成的特）構(gòu)成的特征網(wǎng)格，可以定義一張曲面片。征網(wǎng)格，可以定義一張曲面片。d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22 首先用首先用di1、di2、di3、di4 (i=1,2,3,4 )構(gòu)建四條構(gòu)建四條V向曲線向曲線C1、C2、C3和和C4（圖中虛線）（圖中虛線）; 參數(shù)參數(shù)v在在0,1 之間取值之間取值vk，對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于vk，曲線曲線C1、C2、C3和和C4上可得到上

44、可得到V1k、V2k、V3k和和V4k四個(gè)點(diǎn)，該四點(diǎn)構(gòu)成四個(gè)點(diǎn)，該四點(diǎn)構(gòu)成u向向的一個(gè)特征多邊形，定義一條新的曲線的一個(gè)特征多邊形，定義一條新的曲線P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k 當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)vk在在0,1 之間取不同值時(shí)，之間取不同值時(shí)，P(u,vk)沿如圖所示的沿如圖所示的黃色箭頭黃色箭頭方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格di j(i=1,2,3,4; j=1,2,3,4)定義的雙三次均勻定義的雙三次均勻B樣條曲面片樣條曲面片P(u,v)。324443424134333231242322211413121132161000212121

45、6121103261212161612121610211210210210613261)1 (),(vvvdddddddddddddddduuuvupd24uvV1kd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2V2kV3kV4kd41P(u,vK)d22考慮曲線弦長(zhǎng)的影響，則曲線的基函數(shù)不再具有同樣的格式，考慮曲線弦長(zhǎng)的影響，則曲線的基函數(shù)不再具有同樣的格式，必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行弦長(zhǎng)參數(shù)化，然后根據(jù)基函數(shù)的定必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行弦長(zhǎng)參數(shù)化，然后根據(jù)基函數(shù)的定義義 用如下的曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn)：用如下的曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn)： 非均

46、勻非均勻B B樣條曲線考慮了弦長(zhǎng)的影樣條曲線考慮了弦長(zhǎng)的影響，曲線不會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)分布不均勻而響，曲線不會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)分布不均勻而產(chǎn)生過(guò)沖和紐結(jié)。產(chǎn)生過(guò)沖和紐結(jié)。 非均勻非均勻B B樣條曲線比均勻樣條曲線比均勻B B樣條曲樣條曲線具有更好的光順性，更符合數(shù)據(jù)點(diǎn)線具有更好的光順性，更符合數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布。的分布。,3343+niiuuuuu+3,)()(iijKjjuNdup1, 1 , 0ni7.5.1 非均勻非均勻B樣條曲線曲面樣條曲線曲面非均勻非均勻B樣條樣條均勻均勻B樣條樣條 給定數(shù)據(jù)點(diǎn)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)di（i=0,1,n-1）就是控制多邊形的頂點(diǎn)。）就是控制多邊形的頂點(diǎn)。 不過(guò)點(diǎn)三次非均勻不過(guò)點(diǎn)三次非均

47、勻B樣條開(kāi)口和閉口曲線需要分別處理。樣條開(kāi)口和閉口曲線需要分別處理。 對(duì)于開(kāi)口曲線對(duì)于開(kāi)口曲線，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只畫個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只畫n-3段曲線，需段曲線，需n-2個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。而計(jì)算個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。而計(jì)算Ui, Ui+1上的一點(diǎn)，要用到除上的一點(diǎn)，要用到除它們之外的前它們之外的前3個(gè)和后個(gè)和后3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，所以在首尾各個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，所以在首尾各添加添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要n+4個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值。為個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值。為使曲線過(guò)給定數(shù)據(jù)的首末點(diǎn)，令使曲線過(guò)給定數(shù)據(jù)的首末點(diǎn)，令U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1；全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：；全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：U0=U1=U2=0；UK，UK1，

48、 ，Un；Un+1=Un+2=Un+3=1；用用HartleyJudd方法，即所畫曲線段對(duì)應(yīng)的控制多邊方法，即所畫曲線段對(duì)應(yīng)的控制多邊形的長(zhǎng)度與總控制多邊形的長(zhǎng)度之比確定節(jié)點(diǎn)參數(shù)。形的長(zhǎng)度與總控制多邊形的長(zhǎng)度之比確定節(jié)點(diǎn)參數(shù)。nkkiuunKssKsjjiKijjii, 2, 111111+ +，計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以用計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以用前述的遞歸函數(shù)計(jì)算基函數(shù)前述的遞歸函數(shù)計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，得到基函數(shù)的值，的值，得到基函數(shù)的值，就可以代入曲線方程計(jì)算各段就可以代入曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn)。曲線上的點(diǎn)。圖圖7-22 不過(guò)點(diǎn)非均勻不過(guò)點(diǎn)非均勻B樣條曲線樣條曲線對(duì)于閉合曲線

49、對(duì)于閉合曲線，n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)畫個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)畫n段曲線，需段曲線，需n1個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)曲線；首尾各添加節(jié)點(diǎn)參數(shù)曲線；首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，共個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，共n7個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。由于不過(guò)點(diǎn)閉合曲線，不通過(guò)控制個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。由于不過(guò)點(diǎn)閉合曲線，不通過(guò)控制多邊形的首末點(diǎn)，全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：多邊形的首末點(diǎn)，全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為： U00U1U2UKUK1Un3Un+4Un+5Un+6=1 各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值采用各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值采用HartleyJudd方法。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，方法。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以計(jì)算基函數(shù)就可以計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，的值，然后用曲線方程計(jì)算各段曲線然后用曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn)。上的點(diǎn)。對(duì)于過(guò)點(diǎn)曲

50、線，給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于過(guò)點(diǎn)曲線，給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi (i=0,1,n-1)是曲線上的點(diǎn)。是曲線上的點(diǎn)。由曲線方程知，必須先計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)，再計(jì)算基函數(shù)由曲線方程知，必須先計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)，再計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線方程，才能反算出控制多邊形的頂點(diǎn)：的值，代入曲線方程，才能反算出控制多邊形的頂點(diǎn)： +3,)()(iijKjjuNdupn個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，反求出個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，反求出n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，畫個(gè)控制頂點(diǎn)，畫n-1段曲線，需段曲線，需n個(gè)節(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)；首尾各添加點(diǎn)參數(shù)；首尾各添加3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要n+6個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值；在曲線首端重值；在曲線首端重3段曲線首段的長(zhǎng)度

51、，在曲線的末端重段曲線首段的長(zhǎng)度，在曲線的末端重3段段曲線末段的長(zhǎng)度。所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)為：曲線末段的長(zhǎng)度。所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)為： U00U1U2UKUK1Un2Un+3Un+4Un+5=1 i=1,2,i=1,2,n+5, L,n+5, L為包含附加段在內(nèi)的總長(zhǎng)。為包含附加段在內(nèi)的總長(zhǎng)。LUUiii11+根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算基函數(shù)根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線方程可以計(jì)算的值，代入曲線方程可以計(jì)算n個(gè)已知的曲線上的點(diǎn)，得如下方程：個(gè)已知的曲線上的點(diǎn)，得如下方程： +33,3)()(iijiiKjjipuNdup,2343+niiuuuuu1, 1 , 0ni寫成矩陣形式如下：寫成矩陣形式

52、如下： +123 , 1121033 , 0012123 ,23 , 113 ,13 , 113 , 243 , 343 , 243 , 133 , 233 , 1)()()()()()()()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnduNpppduNpdddduNuNuNuNuNuNuNuNuNuN對(duì)于開(kāi)口曲線對(duì)于開(kāi)口曲線，d0=P0, dn+1=Pn-1，上述方程組是，上述方程組是“追趕法追趕法”能夠求解的三對(duì)能夠求解的三對(duì)角方程。求出角方程。求出d0,d1,dn,dn+1共共n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，即可以畫出個(gè)控制頂點(diǎn)，即可以畫出n-1曲線。曲線。 （閉合曲線省略閉合曲線省略）ni

53、KiiniKiiiuNuNdup0,0,)()()(wi，i=0，1，n稱為權(quán)因子； Ni,K(u)是B樣條的基函數(shù)非均勻非均勻B樣條考慮節(jié)點(diǎn)分布不勻稱的影響，但與所有已介紹的樣條考慮節(jié)點(diǎn)分布不勻稱的影響，但與所有已介紹的計(jì)算曲線一樣，非均勻計(jì)算曲線一樣，非均勻B樣條不能精確表達(dá)二次曲線曲面，采樣條不能精確表達(dá)二次曲線曲面，采用有理用有理B樣條，可以統(tǒng)一表達(dá)自由曲線曲面和二次曲線曲面。樣條，可以統(tǒng)一表達(dá)自由曲線曲面和二次曲線曲面。 有理有理B樣條曲線的表達(dá)式為：樣條曲線的表達(dá)式為： 當(dāng)Ni,K(u)是均勻基函數(shù)時(shí)，p(u)為均勻有理B樣條曲線；當(dāng)Ni,K(u)是非均勻基函數(shù)時(shí)，p(u)為非均勻

54、有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline，簡(jiǎn)稱NURBS)曲線；通過(guò)合理的定義權(quán)系數(shù)，NURBS曲線能夠精確地描述二次圓錐曲線。目前已納入到產(chǎn)品形狀定義的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)之中。曲線設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵在于曲線設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵在于基函數(shù)的選擇基函數(shù)的選擇，選擇合適的基函數(shù)，選擇合適的基函數(shù)能夠使系數(shù)矢量具有更明確的能夠使系數(shù)矢量具有更明確的幾何意義幾何意義，繪圖操作簡(jiǎn)單直觀。，繪圖操作簡(jiǎn)單直觀?；瘮?shù)和參數(shù)化方法的選擇對(duì)曲線的精度、光順性、局部修基函數(shù)和參數(shù)化方法的選擇對(duì)曲線的精度、光順性、局部修改性具有決定性的影響。改性具有決定性的影響。整個(gè)曲線設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)方向是在提高精度、保證光

55、順性的整個(gè)曲線設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)方向是在提高精度、保證光順性的同時(shí)追求同時(shí)追求靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性。 iniiuu0)(aP+3,)()(iijKjjuNdupniniitBt1,)()(dp OpenGL中中繪制繪制Bezier曲線曲面是通過(guò)曲線曲面是通過(guò)定值器定值器完成的完成的。（參考（參考 http:/ ）1. 定義定值器定義定值器指定定值器類型，每個(gè)方向的起止范圍、次數(shù)（控制點(diǎn)數(shù)），每指定定值器類型，每個(gè)方向的起止范圍、次數(shù)（控制點(diǎn)數(shù)），每個(gè)方向步進(jìn)一個(gè)單位對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)值個(gè)數(shù)，控制點(diǎn)清單。個(gè)方向步進(jìn)一個(gè)單位對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)值個(gè)數(shù)，控制點(diǎn)清單。如如 glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4,&ctrlpoints00);2. 打開(kāi)定值器打開(kāi)定值器void glEnable（定值器類型）（定值器類型）;3. 引用定值器引用定