矩陣的對(duì)角化

1、矩陣的對(duì)角化 （李體政 徐宗輝） l      教學(xué)目標(biāo)與要求通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白為什么要進(jìn)行矩陣的對(duì)角化, 并且熟練掌握一般方陣對(duì)角化的方法, 特別是實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法. l      教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)： 一般方陣可以對(duì)角化的條件及其對(duì)角化; 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化. 教學(xué)難點(diǎn)： 求正交矩陣，使實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣. l      教學(xué)方法與建議先引入相似矩陣的概念, 通過分析相似矩陣的性質(zhì), 讓學(xué)生看到: 討論方陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似(

2、在本節(jié)中我們稱為矩陣的對(duì)角化)的問題是非常有意義的, 從而提出矩陣對(duì)角化的兩個(gè)核心問題:(1) 對(duì)于任何一個(gè)方陣,是否一定可以對(duì)角化(即存在性問題);(2) 對(duì)于一個(gè)方陣,若可以對(duì)角化,那么如何進(jìn)行對(duì)角化.圍繞這兩個(gè)問題,完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).l      教學(xué)過程設(shè)計(jì)1. 問題的提出我們先引入相似矩陣的概念: 定義1: 對(duì)于階數(shù)相同的方陣和, 若存在可逆方陣, 使得 則稱矩陣與相似, 記為, 而對(duì)進(jìn)行的運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行的相似變換, 可逆方陣稱為把變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣.利用相似矩陣的定義及前面的知識(shí)不難得出如下結(jié)論:性質(zhì)1: 設(shè) , 則有1) ;2

3、) ;3) , 從而具有相同的特征值. 說明: 性質(zhì)1表明, 假如矩陣與相似, 則與具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若與一個(gè)對(duì)角矩陣相似, 那么的主對(duì)角線元素恰好就是的個(gè)特征值. 考慮到對(duì)角矩陣是一類性質(zhì)優(yōu)良的矩陣, 我們進(jìn)一步會(huì)問:1) 是否對(duì)任何方陣, 都存在相似變換矩陣, 使(對(duì)角矩陣)?2) 對(duì)階方陣,若存在相似變換矩陣,使, 如何構(gòu)造?2. 一般方陣的對(duì)角化我們先來討論第二個(gè)問題. 設(shè), 并設(shè)可逆, 由得 , 即有由此可見, 只要取 的列為矩陣的個(gè)特征向量即可. 因?yàn)榭赡? 所以應(yīng)線性無關(guān). 所以, 我們得出第一個(gè)問題的結(jié)論: 方陣要與一對(duì)角矩陣相似

4、, 則必須要有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 進(jìn)一步有下面的結(jié)論:1) 由于方陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān), 故有結(jié)論1: 如果方陣的個(gè)特征值互不相同, 則可以對(duì)角化.2) 若方陣的重特征值與它所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)有,即為非虧損矩陣,那么有個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 故有結(jié)論2: 若方陣為非虧損矩陣, 則可以對(duì)角化.當(dāng), 即為虧損矩陣,這時(shí)沒有個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 所以不能對(duì)角化. 綜上所述有如下定理:定理1： 方陣可以對(duì)角化的充要條件為是非虧損矩陣說明: 1) 定理1表明,方陣的對(duì)角化問題最終歸結(jié)為求方陣的特征值以及求特征值所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的問題, 同時(shí)也給出了構(gòu)

5、造相似變換矩陣的具體方法.2) 一般地, 我們不對(duì)非虧損矩陣進(jìn)行一般性的討論, 而僅僅討論為實(shí)對(duì)稱矩陣的情形, 這種情形比較簡(jiǎn)單,而且實(shí)際應(yīng)用上較為常見.3. 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 和一般的方陣相比, 實(shí)對(duì)稱矩陣具有更好的性質(zhì):性質(zhì)2: 設(shè)方陣是實(shí)對(duì)稱矩陣, 則有1) 的所有特征值均是實(shí)數(shù);2) 的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量不但線性無關(guān), 而且相互正交; 定理2: 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣, 則必有正交矩陣, 使 其中 為的特征值. 說明: 1) 定理2表明, 任何實(shí)對(duì)稱矩陣都能對(duì)角化為一個(gè)對(duì)角矩陣,而且的主對(duì)角線元素就是的特征值, 同時(shí)說明是非虧損矩陣;2) 定理2的證明采用數(shù)學(xué)歸納法易于學(xué)生理解;3

6、) 強(qiáng)調(diào)這里的矩陣不僅可逆,而且是正交矩陣.這樣對(duì)于任何實(shí)對(duì)稱矩陣,第一問題已經(jīng)得到了圓滿的解決,下面通過舉例說明如何求正交矩陣, 使實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化,這也是本節(jié)剛開始提出的第二個(gè)問題.4. 舉例例1 設(shè) 求一正交矩陣, 使.解: 由此得的特征值為 .當(dāng) 時(shí), 解方程組 得一個(gè)基礎(chǔ)解系 , 將其規(guī)范化得 當(dāng) 時(shí), 解方程組 得一個(gè)基礎(chǔ)解系 , 由于恰好正交, 所以只要規(guī)范化為 , 因此并且 由這個(gè)例子可見, 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣, 求一個(gè)正交矩陣, 使得的步驟如下:第一步 求的特征值;第二步 求對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的特征向量. 對(duì)單特征值, 只需將屬于它的特征向量規(guī)范化; 對(duì)重特征值,需要先求出屬于它的個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 然后對(duì)這個(gè)特征向量進(jìn)行正交規(guī)范化, 這樣就可以得到個(gè)兩兩正交的單位特征向量;第三步 以正交規(guī)范化的特征向量為列組成矩陣, 它就是要求的正交矩陣, 使, 這時(shí)的主對(duì)角線元素只需按組成時(shí)特征向量的順序依次將它們所屬的特征值排列即可.說明: 由于方程組 的基礎(chǔ)解系不唯一, 所以由此得到的正交矩陣不是唯一的. 比如在例1中,