盲人數(shù)學工作者的世界分析解析

1、盲人數(shù)學工作者的世界Allyn Jackson關鍵詞： 數(shù)學家，幾何學造訪盲人幾何學家伯納德莫林（Bernard Morin）的寓所會讓你大開眼界：客廳的墻壁上掛著一副電腦繪制的圖片。圖片是他的學生弗朗索瓦阿培里（Francois Apery）繪制的，畫的是伯伊曲面（Boy's Surface） 一種射影平面對三維空間的浸入。莫林最著名的成就是把一個球體如何“翻”出來的過程形象化，而伯伊曲面是其中的重要環(huán)節(jié)。莫林雖然看不見這張圖，但他會很高興地為你解說圖中不容錯過的細節(jié)。回到客廳，他搬來一把椅子站上去，摸索著從架子頂上找到一個盒子，然后端著盒子小心地爬下椅子，這時我

2、長出了一口氣。打開盒子，里面放的是他在上世紀六七十年代制作的陶模型，描繪了他研究的球面外翻（Sphere eversion）的各個中間階段。他視力健全的同事用這些模型在黑板上輔助畫圖。他掌中所拿的，正是伯伊曲面的模型。這個模型不僅精確，而且設計巧妙，形態(tài)優(yōu)雅，實在是一件藝術品。讓人驚嘆的是：如此一件精確而又對稱的模型完全靠雙手做出來的。制作這個模型的目的，是把莫林心中所清楚看到的模型展現(xiàn)在視力健全的人的面前。伯納德莫林（Bernard Morin）視力健全的數(shù)學工作者們通常都正襟危坐地炮制論文。有一個傳說，說有人問一個著名數(shù)學家的女傭這個數(shù)學家每天都在干什么，女傭說他在一張紙上寫寫畫畫，然后揉

3、做一團扔進垃圾桶。那么盲人數(shù)學工作者的一天呢？他們不可能在信封背面或是餐館的餐巾上寫些什么算式，或是揮揮手手示意把“這個”加到“那個”上，或是把“那個”用在“這里”。不過從許多方面而言，盲人和其他數(shù)學工作者的工作方式一樣：有人曾問過科羅拉多大學（University of Colorado）的盲人數(shù)學工作者勞倫斯W拜吉特（Lawrence W. Bagget），他是如何不用紙筆把復雜的公式印在腦子里的？他坦白地說：“嗯，這個，無論是誰都很難?！比欢鴱牧硪环矫鎭碚f，他們對數(shù)學的理解又有所不同。莫林回憶起一位視力健全的同事?？彼恼撐臅r，需要進行冗長的行列式計算來確定一個正負號。這位同事問他是如何

4、計算的，莫林說自己回答道：“我真不清楚 就是想象這個那個形體，感覺一下它的重量而已?！睔v史上的盲人數(shù)學工作者歐拉（Leonhard Euler）數(shù)學史上有許多盲人數(shù)學工作者。最偉大的數(shù)學家之一歐拉（Leonhard Euler,1707-1783）在生命中的最后十七年里就雙目失明。他自從在圣彼得堡科學研究院地理教研室當主任以來，就因為用眼過度眼睛嚴重疲勞而視力出現(xiàn)問題。他三十歲的時候右眼就開始出問題，到了五十九歲的時候就幾乎完全失明。歐拉是數(shù)學史上最高產的數(shù)學家之一，寫出了大概850篇論文。而神奇的是，其中大約一半的論文是他在失明之后完成的，他以驚人的記憶力，在兩個兒子和其他圣彼得堡

5、研究院的同事的幫助下完成了這些論文。英國數(shù)學家尼古拉斯桑德森（Nicholas Saunderson,1682-1739）一生下來就因染上天花雙目失明。然而他卻精通法語、希臘語和拉丁語，又研究數(shù)學。他申請劍橋大學被拒，終身也未上過大學，可是在1728年，喬治二世國王卻授予他法學博士學位。作為牛頓哲學的擁護者，桑德森在劍橋大學當上了盧卡斯教授 牛頓本人就曾任此職位，物理學家史蒂芬霍金也曾任此職。桑德森發(fā)明了一種進行算術和代數(shù)計算的“盲人計算器”，這種方法需要用一個類似算盤的工具，以及一個叫做“幾何板”的東西這種東西現(xiàn)在已經在數(shù)學教學中應用了。桑德森在其1740年的著作代數(shù)元素中記述了盲

6、人計算器的計算方法。他有可能還進行了概率論方面的研究：統(tǒng)計歷史學家史蒂芬斯蒂格勒（Stephen Stigler）認為，貝葉斯統(tǒng)計的思想方法可能是由桑德森而不是托馬斯貝葉斯（Thomas Bayes）首先提出的。俄羅斯也出過幾位盲人數(shù)學家，其中最著名的是龐特里亞金（Lev Semenovich Pontryagin，19081988）。龐特里亞金十四歲時因一場事故而失明，他的母親肩負起了教育他的任務，盡管母親沒受過多少數(shù)學訓練，數(shù)學知識也不多，卻可以給兒子朗讀科學著作。他們一起“發(fā)明”了許多指代數(shù)學符號的詞語，比如集合交集的符號叫做“下頭”，而子集的符號叫做“右頭”等等。1925年，龐特里亞金

7、十七歲進入了莫斯科大學，從此他的數(shù)學天賦便充分展露，人們對他無需動筆就能記住復雜公式的超能力充滿驚奇。他成了莫斯科拓撲學派的頂尖人物，在蘇聯(lián)時期仍和西方有著聯(lián)系。他最重要的貢獻在拓撲學和同倫理論領域，同時也在控制論等應用數(shù)學領域做出了貢獻。而現(xiàn)在還健在的盲人數(shù)學工作者有莫斯科斯捷克洛夫學院（Steklov Institute）的維圖什金（A. G. Vitushkin），他主要研究復分析。龐特里亞金（Lev Semenovich Pontryagin）法國也有許多杰出的盲人工作者。其中最著名的包括路易安東尼（Louis Antoine，18881971），他是在一戰(zhàn)時失明的，那時他二十九歲。據(jù)

8、Julia的文章說，勒貝格建議他學習二維和三維拓撲學，一部分原因是那時關于這方面的論文還很少，另一部分原因是因為“在這個領域，捕捉的能力和全神貫注的習慣可以彌補失明的不足”。在19世紀六十年代中期，莫林見到了安東尼，安東尼向這位后輩盲人數(shù)學工作者說明了他是如何得到自己那個著名結論的。安東尼在試圖證明一個類似若爾當-舍恩弗利斯定理（Jordan-Schönflies theorem，對于一個平面中的簡單封閉曲線，一定存在一個平面的同胚可以將這條曲線變成平面中的一個圓）的問題。問題是：對于一個浸入三維空間中的三維球體，存在一個三維空間的同胚可以將這個浸入球變?yōu)橐粋€標準球。最終他發(fā)現(xiàn)，這個

9、“定理”并不成立。他第一個設計了三維空間中的非馴嵌入集這個集合現(xiàn)在被稱為“安東尼的項鏈”。這個集合是一個康托兒集，但其補集卻并不簡單聯(lián)通。在安東尼的基礎上，亞歷山大（J. W. Alexander）構造出了著名的“亞歷山大帶角球”，這個帶角球就是安東尼要證明的命題的一個反例。安東尼證明了：可以從他的“項鏈”得到嵌入球。但是莫林問他這個嵌入球是什么樣子的時候，他卻說自己想象不出來。球面外翻莫林自己的故事也很引人入勝。他1931年出生于上海，那時他父親在銀行工作。很小的時候莫林就患上了青光眼并回到法國接受治療。后來他回到上海，但六歲時不幸因視網(wǎng)膜撕裂完全失明。他到現(xiàn)在還能回憶起童年時候所看到的事情

10、，回憶起那時他對光學現(xiàn)象的癡迷，回憶起他曾醉心于萬花筒的時光，回憶起他的那本介紹紅黃相配得到橙色的書，回憶起那時看到的風景畫并好奇如何能用一張平面展示三維圖景。他早期的視覺記憶由于沒有后來的干擾，所以尤其栩栩如生。失明之后莫林離開上?；氐椒▏⒁恢贝粼诜▏Ｋ诜▏W校上到十五歲，然后上了一所普通高中。他對數(shù)學和哲學感興趣，可他父親并不認為兒子在數(shù)學方面會有多大建樹，便讓他讀了哲學。莫林在巴黎高師學習了幾年之后，放棄了對哲學的幻想而轉學數(shù)學。他師從亨利卡坦（Henri Cartan）并在1957年進入國立科研中心（Centre National de la Recherche Scient

11、ifique）擔任研究員 此時的莫林已經因為球面外翻的研究而小有名氣。后來他又師從雷奈桑姆（René Thom），在1972年完成了關于奇點理論的論文拿到了博士學位，又在高級研究院工作了兩年。莫林一生的大部分時間都在斯特拉斯堡大學（Université de Strasbourg）任教并于1999年退休。1959年，史蒂芬斯梅爾（Stephen Smale）證明了一個令人驚奇的定理：所有n維球面的歐氏空間浸入都是正則同倫的。這就意味著三維球體對三維空間的標準浸入和反浸入是正則同倫的。這也就是說球面可以外翻或者說把里面翻到外面來。然而，根據(jù)斯梅爾論文里構造球面外翻顯

12、得過于復雜。十九世紀六十年代早期，阿諾德夏皮羅（Arnold Shapiro）做出了一種球面外翻的方法但并未發(fā)表。他把這種方法解釋給了莫林，而莫林也已經獨立構思出了類似的想法。物理學家馬賽爾弗諾薩特（Marcel Froissart）也對這個問題有興趣并向莫林建議了一個關鍵性的簡化步驟而莫林制作陶模型正是為了和弗諾薩特合作。1967年，莫林首次展示了能夠進行球面外翻的同倫。史蒂芬斯梅爾（Stephen Smale）加州大學伯克利分校的查爾斯皮尤（Charles Pugh）借助莫林的陶模型的照片構建了外翻不同階段的雞籠模型。1976尼爾森麥克斯（Nelson Max）制作的的著名紀錄片球面外翻就

13、用了對皮尤模型測量的結果，麥克斯現(xiàn)在是勞倫斯利弗莫爾國家實驗室（Lawrence Livermore National Laboratory）的數(shù)學工作者。這部紀錄片是計算機圖形史上的奇跡。實際上莫林的球面外翻有兩種方法。一開始他也不知道影片中記錄的是哪一種。他詢問了看過影片的同事，不過據(jù)他回憶“沒人能說出到底是哪一種?！弊喳溈怂沟募o錄片問世以后，世界上已經出現(xiàn)了其它的外翻方法，也產生了記錄這些新方法的影片。其中一種外翻方法是低維拓撲的重量級人物威廉瑟斯頓（William Thurston）發(fā)明的。瑟斯頓發(fā)明了一種能夠從斯梅爾的原始證明中構造的方式。幾何中心的影片從外到內記錄了這種外翻方法。馬

14、薩諸塞大學安姆斯特分校審判（University of Massachusetts at Amhers）的羅布庫什納（Rob Kusner）發(fā)現(xiàn)了另外一種方法，他還提出了最小能量法可以用來做出莫林的外翻。伊利諾斯大學的數(shù)學工作者約翰M沙利文（John M. Sullivan），喬治弗朗西斯（George Francis）和斯圖爾特列維（Stuart Levy）在1998年拍攝的紀錄片最優(yōu)外翻記錄了庫什納的這一想法。雕塑家、圖形動畫專家斯圖爾特迪克森（Stewart Dickson）用最優(yōu)外翻中的數(shù)據(jù)為一個名叫“感知數(shù)學”的活動（該活動旨在制作盲人可以使用的幾何體模型）制造出了最優(yōu)外翻的不同階段

15、的數(shù)學模型。一部分模型在2000年9月的法國莫伯日（Maubeuge）舉行的國際藝術與數(shù)學研討會上送給了莫林。莫林開心地將模型放在了自己的客廳里。雙目失明不但絲毫沒有影響莫林非凡的空間想象能力，反而還有所裨益。他說像失明這樣的殘疾，會讓人的長處更長，短處更短，所以“盲人的優(yōu)缺點都更加突出?！蹦终J為數(shù)學想象力分為兩種，一種叫做“時間想象”，想象的是通過一系列步驟處理的信息，這種想象力能讓人們進行長步驟的計算?！拔业挠嬎阋恢辈缓?，”他說，而且雙目失明讓他的計算更不好。他擅長的是另外一種想象，他稱之為“空間想象”，這種可以讓人一次性理解所有的信息。想象幾何體的一個難點是：人們往往只能看見物體的外面

16、，而看不見里面 但里面可能非常復雜。莫林通過同時仔細想象里外兩面，培養(yǎng)出了一種“外翻內” 或者是從一塊空間移動到另一塊空間的能力，而這種空間想象似乎更依賴于觸覺而非視覺?！拔覀兊目臻g想象是靠觸摸物體拼起來的”，莫林說，“你可以在手上把玩模型，而不是用眼睛看。這樣的話外面和里面就只和你對模型的動作有關了?！币驗樗煜び|覺信息了，可以在把玩一個模型幾個小時之后幾年都記得其形狀。幾何：純思考2001年七月，在德國著名的黑森林數(shù)學研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach）的一次會議中，伊曼紐爾吉魯（Emmanuel Gir

17、oux）做了關于他最近的工作的報告，報告的題目是接觸結構和打開的書分解。盡管吉魯雙目失明，他的報告仍然是這一周會議中最清晰、最有條理的 也可能這都是失明的貢獻。他坐在投影儀旁一張張地換幻燈片，顯然他很清楚每張幻燈的準確內容。他用手比劃出自己對于一個幾何體是如何接觸另一個邊界的精確描述。之后，聽眾中有些人回憶起了吉魯?shù)牧硪粓鰣蟾妫簣蟾嬷兴穹烹娪耙粯?，一幀幀地清晰描述了某個數(shù)學現(xiàn)象?！斑@是我做事的方法，我的風格是盡可能的清晰”，吉魯說，“不過，我經常也因為其他數(shù)學工作者無法解釋他們在黑板上寫了些什么、畫了些什么而非常沮喪?！彼裕v得清晰，部分原因是為了向那些視力正常但講得使人云里霧

18、里的同事的抗議。吉魯十一歲就雙目失明。他注意到大部分盲人數(shù)學工作者都是研究幾何的可是為什么是幾何呢？這可是最需要“看見”的數(shù)學領域??！“其實只是純思考?！奔敾卮饡f。他解釋說，例如在分析學中，一個人必須得計算，一行一行做。用盲文就很麻煩：寫點東西得打一大堆孔，讀的時候還得翻過來摸。這樣一來寫很長的計算式就非常困難（將來隨著無紙書寫工具例如可重寫盲文工具的發(fā)展，這可能容易一些）。而相比起來，“搞幾何學，內容就集中的多，你可以全裝在腦子里。”吉魯說。到底裝在腦子里的是什么，這很神秘，還不一定是圖形圖形是一種表示數(shù)學對象的方法，但卻不是思考對象的方法。阿里克謝索辛斯基（Alexei Sossins

19、ki）指出，許多盲人數(shù)學工作者研究幾何并不奇怪。一個視力健全的人的空間想象力是來自于大腦對于三維世界投射在視網(wǎng)膜上的二維圖像的分析能力，而盲人的則來自于大腦對觸覺和聽覺信息的分析。無論哪種情況，大腦都會根據(jù)感官信息而靈活地建立起空間表達。索辛斯基指出，對復明的盲人的研究表明：人具有與生俱來的理解基本拓撲結構（例如一個東西上有多少個洞）的能力?！皠倧兔鞯臅r候，他無法分辨出一個正方形和一個圓，”索辛斯基寫道，“只能覺察到它們拓撲等價。但是他們立即就能注意到圓環(huán)和球的不同?！彼餍了够谒较碌恼勗捓镎f到，視力正常的人們有時會對三維空間產生錯覺，原因是視網(wǎng)膜上的二維投影信息既不充足又誤導人?！懊と耍ㄍㄟ^

20、其他感覺）建立其一個沒有形變的、直接的三維空間的感覺?！敝辽僮园乩瓐D以來，人們很長時間一直試圖理解空間想想能力。柏拉圖（Plato）相信，無論人是否失明，理解空間關系的能力都是一樣的。而笛卡爾（Descarte）根據(jù)視力受損的人們通過觸摸來認知形態(tài)，在1637年的方法論中聲稱人們在頭腦中構造模型的能力是天生的。十八世紀晚期，狄德羅（Diderot）在研究中接觸了盲人，并總結說人們可以僅靠觸覺就良好地感知三維物體。他還發(fā)現(xiàn)大小的變化對盲人而言并不是問題，盲人可以“在頭腦中放縮形體。這種空間想象往往是靠回憶和重新組合對物體的感覺。”近幾十年有許多關于盲人空間想象力的研究。流行的觀點是盲人的空間想象

21、力比視力健全的人更弱或者更差。但也有學者不同意這種觀點：盲人以及視力健全的人的空間想像能力在執(zhí)行許多普通任務 比如記憶走路路線的時候并無差異。分析學的挑戰(zhàn)并非所有的盲人數(shù)學工作者都研究幾何。盡管分析學對失明人來說是個棘手的問題，但還是有不少人選擇了分析學 比如勞倫斯拜吉特（Lawrence Baggett）。他已經在科羅拉多大學波爾得分校（University of Colorado at Boulder）任教三十五年了。他五歲失明，但從小就喜歡數(shù)學，可以在頭腦中做許多思維體操。他從沒學過除法的正規(guī)計算法因為用盲文來做長除法太復雜了 可是他發(fā)明了自己的除法計算法。

22、盲文書籍很有限，他便讓母親和同學為他朗讀。他一開始想做律師，因為“那時候盲人都當律師”，不過以后上了大學，他就決定改學數(shù)學了。拜吉特說他自己的幾何從來沒學好，因為他無法想象那些復雜的拓撲結構。不過這并不是因為他的視力缺陷。他說，要想象一個四維球體，“我不認為看得見能有什么幫助。”有時候在研究時他會想象公式圖表以及提示性的畫面。他在頭腦中反復思考一個問題的時候有時會寫點盲文筆記，不過并不常這樣做?！拔視囍畛鰜?，”他解釋說，“我經常踱著步子自言自語?！备暳∪耐麓钆涔ぷ鲿容^容易，他們可以幫著查閱資料，或是看懂一長串的式子是什么意思。其他的東西呢，拜吉特說，都和兩個視力健全的人一樣?？墒?/p>

23、，比如像在黑板上畫個圖或是列個式子計算呢？“他也會寫給我畫給我！”拜吉特笑著說，同事會用語言把黑板上的東西描述出來。勞倫斯拜吉特（Lawrence Baggett）拜吉特并不覺得他心算能力強。“我覺得視力健全的數(shù)學工作者也可以心算很多東西，”他說，“不過還是寫在紙上方便?！庇幸患伦糇C了這一點：某年冬天拜吉特在波蘭參加一次會議，會議大廳的燈忽然滅了，頓時一片漆黑，可作報告的沒有停?！八e了分，進行了傅立葉變換，大家都跟得上，”拜吉特回憶說，“這說明一點：可以不要黑板，只是黑板更方便?！泵と藬?shù)學教授必須有新的教學方法。有些人是這樣的：在黑板上書寫的時候第一行齊眉，第二行齊唇，第三行齊頸等等。拜吉

24、特也用黑板，不過更多的是為了調整講課的節(jié)奏而非系統(tǒng)地傳遞信息好讓學生抄筆記。實際上他會告訴學生們：不要抄板書，要記說的話?！拔覍懓鍟皇菫榱俗屛业恼n看起來跟其他人一樣，”他說，“許多學生選擇在我的課上用不一樣的方法學習，他們做到了?！卑菁赜肨EX出考題，還建了一個網(wǎng)站來存放家庭作業(yè)和其他信息。打分方面，他本可以讓別人代打，“不過這樣我就聽不到學生的反饋了”，所以他就采取了各種打分方式：諸如讓學生根據(jù)自己的作業(yè)進行口頭報告等等。很明顯，拜吉特對教學的熱愛，對學生的關心讓他克服了失明給他帶來的局限性。交流方式諾伯托薩利納斯（Norberto Salinas）二十世紀六十年代在阿根廷長大，自十歲起

25、就失明了。跟拜吉特一樣，他周圍盲人的“標準職業(yè)”也是當律師，這樣一來就沒有什么數(shù)學物理的盲文資料。不過薩利納斯的父母會給他朗讀并且錄音。他的土木工程師的父親問自己在布宜諾斯艾利斯大學（University of Buenos Aires）數(shù)學物理系的朋友，兒子是否能參加入學考試。由于薩利納斯考了最高分，于是學校允許他入學。在數(shù)學史雜志關于盲人數(shù)學工作者的網(wǎng)上討論組中，倫敦大學帝國理工學院的愛德華多奧爾蒂斯（Eduardo Ortiz）回憶起他在布大的分析課堂上考核薩利納斯的情景：當時他在奧爾蒂斯的手掌上畫圖來表現(xiàn)圖形信息。后來奧爾蒂斯用這種方法來在帝國理工學院教其他的盲人學生。薩利納斯在秘魯短

26、暫地教過書，之后去美國密歇根大學讀了博士，目前他在堪薩斯大學任教。薩利納斯說他經常喜歡把錄音資料轉換成盲文，這一步驟幫助他掌握知識。他設計了一套表示數(shù)學符號的盲文，并在二十世紀七十年代協(xié)助設計了一套表示數(shù)學符號的西班牙語盲文標準。美國的數(shù)學符號盲文標準內梅斯代碼，是由十九世紀五十年代一位盲人數(shù)學工作者、計算機教授亞伯拉罕內梅斯（Abraham Nemeth）發(fā)明的（內梅斯現(xiàn)在已經從底特律大學退休）。內梅斯代碼繼承了普通的六點式盲文的格式并用來表示數(shù)字和數(shù)學符號，并使用特殊指示符號來將數(shù)學符號和普通文字區(qū)別開來。標準盲文顯然不是為科技資料所設計的，因為它連最普通的科技符號也表示不了，甚至連數(shù)字也

27、必須用字母表示（例如用a表示1，b表示2，c表示3等等）。內梅斯代碼學起來不簡單，因為同樣的字符在盲文中是一個意思，在內梅斯代碼中是另外一個意思。然而它對協(xié)助盲人 尤其是盲人學生 閱讀科技材料而言卻非常重要。薩利納斯和俄勒岡州立大學（Oregon State University）的一位盲人物理工作者約翰加德納（John Gardner）發(fā)明了一套新的代碼GS8。GS8使用八個點，而標準盲文六個點，多出來的兩個點是留給數(shù)學符號的，這樣一來就能表示二百五十五個字符，而不是標準盲文的六十三個了。另外，GS8的語法也是基于LaTeX的，這就使得GS8文件和LaTeX文件可以互相轉

28、化。計算機為盲人打開了一個全新的可以交流的世界。像Jaws或者SpeakUp這樣的屏幕朗讀軟件可以用合成語音將屏幕上的文字讀出來。不過很可惜，這些程序讀包含數(shù)學符號的文字的時候都表現(xiàn)不佳。有些盲人數(shù)學工作者只用這些軟件閱讀郵件或是上網(wǎng)（隨著圖片用的越來越多，上網(wǎng)對盲人來說也越來越復雜。）康奈爾大學的一位計算機科學家拉曼（T. V. Raman）開發(fā)了一個名叫AsTeR的程序，這個程序可以輸入一個TeX文件，然后輸出一個用合成語音朗讀的聲音文件，數(shù)學公式和文字都能朗讀。加德納也開發(fā)了一個軟件TRIANGLE，也帶語音合成但比AsTeR更簡單，這個軟件還帶一個LaTeX和GS8代碼互相轉換的程序。有些盲人數(shù)學工作者直接閱讀TeX源文件。吉魯就用一臺可重寫盲文觸摸屏來閱讀。他說，錄制一篇論文的錄音對他而言更好，不過在錄音之前他要先看一下自己是否對文章感興趣。閱讀TeX源文件能讓他迅速直接地了解論文。當然，TeX文件是設計給電腦而