直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系和拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)1：直線與雙曲線的位置關(guān)系1.直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷設(shè)直線y=kx+b，雙曲線1 (a>0，b>0)聯(lián)立消去y得Ax2+Bx+C=0（a0），=B2 4AC。若A=0即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若>0,直線與雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；若=0，直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；若<0，直線與雙曲線相離，無交點(diǎn)；直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.弦長問題設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去ya

2、x2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。弦長公式：（k為直線斜率）例題選講：例1：直線l：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B求實(shí)數(shù)k的取值范圍；解(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得k的取值范圍是2<k<.例2：已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（）求雙曲線的方程；（）動(dòng)直線經(jīng)過的重心，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，問是否存在直線使平分線段。試證明你的結(jié)論。 例3：已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C

3、1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且·>2 (其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍解(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1，則a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得k2且k2<1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2. x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·>2，得x1x2y1

4、y2>2，>2，即>0，解得<k2<3，由得<k2<1. 故k的取值范圍為.例4：已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)（1）求雙曲線方程；（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；（3）對于（2）中的點(diǎn)，求的面積解：（1）由題意，可設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，解得 雙曲線方程為； （2）由（1）可知， ， ， ，又點(diǎn)在雙曲線上， ， ， 即； （3）的面積為6 知識(shí)點(diǎn)2：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾

5、何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)圖形范圍x0，yRx0，yR對稱軸x軸頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xx離心率e1題型1：拋物線的定義靈活應(yīng)用例1：(1)(2011·遼寧高考)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.B1C. D.(2)(2012·曲阜師大附中質(zhì)檢)在拋物線C：y2x2上有一點(diǎn)P，若它到點(diǎn)A(1,3)的距離與它到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)自主解答(1)如圖，由拋物線的定義知，|AM|BN|

6、AF|BF|3，|CD|，所以中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.(2)由題知點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部，根據(jù)拋物線定義，問題等價(jià)于求拋物線上一點(diǎn)P，使得該點(diǎn)到點(diǎn)A與到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小，顯然點(diǎn)P是直線x1與拋物線的交點(diǎn)，故所求P點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)答案(1)C(2)B練習(xí)1：(2012·安徽高考)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)若|AF|3，則|BF|_.解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1的距離為3，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.將x2代入y24x得y28，由圖知，y2，A(2,2)，直線AF的方程為y2(x1)又解得或由圖知，點(diǎn)B的

7、坐標(biāo)為，|BF|(1).答案：題型2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2：(1)(2012·山東高考)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py (p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2yBx2yCx28y Dx216y(2)(2012·四川高考)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|()A2 B2C4 D2自主解答(1)雙曲線C1：1(a0，b0)的離心率為2，2，ba，雙曲線的漸近線方程為x±y0，拋物線

8、C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，p8.所求的拋物線方程為x216y.(2)依題意，設(shè)拋物線方程是y22px(p>0)，則有23，得p2，故拋物線方程是y24x，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2，±2)，|OM|2.答案(1)D(2)B練習(xí)2：若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn),且，求此拋物線的方程解析 設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影，則，由勾股定理知，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，代入方程得或4，拋物線的方程或題型3：直線與拋物線的位置關(guān)系1設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，直線AxByC0，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程m

9、y2nyq0.(1)若m0，當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)(2)若m0，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對稱軸平行2與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論(以右圖為依據(jù))(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(為AB的傾斜角)(3)SAOB(為AB的傾斜角)(4)為定值.(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切(7)CFD90°.例3：(2012·福建高考)如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x22py(p>0)上(1)求拋物線E的

10、方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y1相交于點(diǎn)Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)自主解答(1)依題意，|OB|8，BOy30°.設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故拋物線E的方程為x24y.(2)證明：由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.設(shè)M(0，y1)，令·0對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由

11、·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1)練習(xí)3：(2012·泉州模擬)如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F.(1)若點(diǎn)O到直線l的距離為，求直線l的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A是直線l與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)點(diǎn)B是以點(diǎn)F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)，試判斷AB與拋物線C的位置關(guān)系，并給出證明解：(1)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即x1不符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：yk(x1

12、)，即kxyk0.所以，解得k±.故直線l的方程為：y±(x1)，即x±y10.(2)直線AB與拋物線相切，證明如下：設(shè)A(x0，y0)，則y4x0.因?yàn)閨BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直線AB的方程為：y(xx0)，整理得：xx0把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直線AB與拋物線相切基礎(chǔ)練習(xí)： 1(2012·濟(jì)南模擬)拋物線的焦點(diǎn)為橢圓1的下焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程為()Ax24yBy24xCx24y Dy24x解析：選A由橢圓方程知，a29，b24，焦點(diǎn)在y軸上，下焦點(diǎn)坐標(biāo)為

13、(0，c)，其中c.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，拋物線方程為x24y.2(2012·東北三校聯(lián)考)若拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)和拋物線的對稱軸的距離分別為10和6，則p的值為()A2 B18C2或18 D4或16解析：選C設(shè)P(x0，y0)，則362p，即p220p360，解得p2或18.3(2013·大同模擬)已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與曲線x2y26x70相切，則p的值為()A2 B1C. D.解析：選A注意到拋物線y22px的準(zhǔn)線方程是x，曲線x2y26x70，即(x3)2y216是圓心為(3,0)，半徑為4的圓于是依題意有4.又p0，因此有34，解

14、得p2.4(2012·鄭州模擬)已知過拋物線y26x焦點(diǎn)的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是()A.或 B.或 C.或 D.解析：選B由焦點(diǎn)弦長公式|AB|得12，所以sin ，所以或.5(2012·唐山模擬)拋物線y22px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B、C在此拋物線上，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2)若點(diǎn)F恰為ABC的重心，則直線BC的方程為()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10解析：選C點(diǎn)A在拋物線上，42p，p2，拋物線方程為y24x，焦點(diǎn)F(1,0)設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，點(diǎn)C(x2，y2)，則有y4x1，y4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kBC.又0，y

15、1y22，kBC2.又1，x1x22，BC中點(diǎn)為(1，1)，則BC所在直線方程為y12(x1)，即2xy10.6(2013·湖北模擬)已知直線yk(xm)與拋物線y22px(p0)交于A、B兩點(diǎn)，且OAOB，ODAB于D.若動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x2y24x0，則m()A1 B2C3 D4解析：選D設(shè)點(diǎn)D(a，b)，則由ODAB于D，得則b，abk；又動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x2y24x0，即a2b24a0，將abk代入上式，得b2k2b24bk0，即bk2b4k0，4k0，又k0，則(1k2)(4m)0，因此m4.7(2012·安徽模擬)已知橢圓C1：1(0b2)的離心率為，拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)(1)求拋物線C2的方程；(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線l與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過E，F(xiàn)作拋物線C2的切線l1，l2，當(dāng)l1l2時(shí)，求直線l的方程解：(1)橢圓