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1、第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)8.4求弱簡(jiǎn)并理想費(fèi)米(玻色)氣體的壓強(qiáng)公式解:理想費(fèi)米(玻色)氣體的巨配分函數(shù)滿足在弱簡(jiǎn)并情況下:與()式比較,可知 再由()式,得 8.10試根據(jù)熱力學(xué)公式 及光子氣體的熱容量,求光子氣體的熵。解:(8-4-10)式給出光子氣體的內(nèi)能為-(1)則可以得到光子氣體的定容熱容量為-(2)根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式(2-4-5),有-(3)取積分路線為(0,V)至(T,V)的直線,即有-(4)其中已經(jīng)取積分常量S0為零。8.試證明一維和二維理想玻色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象證明:發(fā)生玻色凝聚時(shí)0 ,因此臨界溫度Tc由下式?jīng)Q定: (1)對(duì)于一維和二維理想玻色氣體,由
2、第六章習(xí)題可知分別有: 一維: 二維:分別代入(1)式可知,若Tc取非零有限值,則當(dāng)0時(shí)積分均不收斂。 Tc0但由于此時(shí)不存在T< Tc的狀態(tài),所以一維和二維理想波色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象,證畢。8.14銀的傳導(dǎo)電子密度為5.9×1028/m3。試求0K時(shí)電子的最大能量、最大速率和電子氣體的簡(jiǎn)并壓。解:0K時(shí)電子的最大能量最大速率 0K時(shí)的簡(jiǎn)并壓 8.15試求絕對(duì)零度下電子氣體中電子的平均速率。證明:根據(jù)式子(8-5-4),絕對(duì)零度下自由電子氣體中電子動(dòng)量大小的分布為f=1 p£PFf=0 p>PF -(1)其中PF是費(fèi)米動(dòng)量,即0K時(shí)電子的最大動(dòng)量。因此電子的
3、平均動(dòng)量為-(2)因此電子的平均速率為-(3)8.20假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng),面密度為n試求0 K時(shí)二維電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓解:考慮電子自旋有兩種取向后,二維電子氣體在 + d的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為所以0K時(shí)電子的最大能量由下式確定:內(nèi)能對(duì)于二維電子氣體,VL2 所以 0K時(shí)的簡(jiǎn)并壓8.22試根據(jù)熱力學(xué)公式 及低溫下的熱容量,求金屬中自由電子氣體的熵。解:根據(jù)式(8-5-19)給出低溫下金屬中自由電子氣體的定容熱容量為-(1)根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式(2-4-5),有-(2)取積分路線為 (0,V) 至 (T,V)的直線,即有-(3)其中已取積分常量S0為零
4、。8.23試求低溫下金屬中自由電子氣體的巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù),從而求電子氣體的壓強(qiáng)、內(nèi)能和熵。解:根據(jù)式(8-1-13),自由電子氣體巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)可表達(dá)為-(1)其中第二步用了(6-2-17)式,第三步做了變數(shù)變化be=x將上式的積分分為兩段:-(2)在第一個(gè)積分中將對(duì)數(shù)函數(shù)改寫為其中 。在第二個(gè)積分中作變數(shù)變換 ,(2)式可改寫為-(3)其中-(4)在低溫 的情形下, I1和I2 可近似為-(5)于是-(6)根據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)中熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式可得-(7)-(8)-(9)-(10)由于在低溫下 ,作為第一級(jí)近似可以略去式(7)中的第二項(xiàng)而有即-(11)計(jì)及(7)式的第二項(xiàng),可將(7)式改寫為再將上式中第二項(xiàng)的 -a 用第一級(jí)近似代入,得-(12)或-(13)(13)式與(8-5-17)一致。 用式(7)除式(6),并將(12)式代入可將 lnX 表示為 ,T,m(0) 的函數(shù) -(14) 代回式(8),(9),(10)即得-(15)-(16)-(17)8.24關(guān)于原子核半徑R的經(jīng)驗(yàn)公式給出 R = (1.3×10-5m)·A1/3式中A是原子核所含核子數(shù)假設(shè)質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)相等,均為A2,試計(jì)算二者在核內(nèi)的密度n如果將核內(nèi)的質(zhì)子和中子看作簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體,試求二者的(0)以及核子在核內(nèi)的平均動(dòng)能核子質(zhì)量M =1.6
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