熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課后習(xí)題答案

1、第八章 玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)8.4求弱簡(jiǎn)并理想費(fèi)米(玻色)氣體的壓強(qiáng)公式解：理想費(fèi)米(玻色)氣體的巨配分函數(shù)滿足在弱簡(jiǎn)并情況下：與（）式比較，可知 再由（）式，得 8.10試根據(jù)熱力學(xué)公式 及光子氣體的熱容量，求光子氣體的熵。解：(8-4-10)式給出光子氣體的內(nèi)能為-（1）則可以得到光子氣體的定容熱容量為-（2）根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式（2-4-5），有-（3）取積分路線為（0，V）至（T，V）的直線，即有-（4）其中已經(jīng)取積分常量S0為零。8.試證明一維和二維理想玻色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象證明：發(fā)生玻色凝聚時(shí)0 ，因此臨界溫度Tc由下式?jīng)Q定： (1)對(duì)于一維和二維理想玻色氣體，由

2、第六章習(xí)題可知分別有： 一維： 二維：分別代入（1）式可知，若Tc取非零有限值，則當(dāng)0時(shí)積分均不收斂。 Tc0但由于此時(shí)不存在T< Tc的狀態(tài)，所以一維和二維理想波色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象，證畢。8.14銀的傳導(dǎo)電子密度為5.9×1028/m3。試求0K時(shí)電子的最大能量、最大速率和電子氣體的簡(jiǎn)并壓。解：0K時(shí)電子的最大能量最大速率 0K時(shí)的簡(jiǎn)并壓 8.15試求絕對(duì)零度下電子氣體中電子的平均速率。證明：根據(jù)式子（8-5-4），絕對(duì)零度下自由電子氣體中電子動(dòng)量大小的分布為f=1 p£PFf=0 p>PF -（1）其中PF是費(fèi)米動(dòng)量，即0K時(shí)電子的最大動(dòng)量。因此電子的

3、平均動(dòng)量為-（2）因此電子的平均速率為-（3）8.20假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，面密度為n試求0 K時(shí)二維電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓解：考慮電子自旋有兩種取向后，二維電子氣體在 + d的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為所以0K時(shí)電子的最大能量由下式確定：內(nèi)能對(duì)于二維電子氣體，VL2 所以 0K時(shí)的簡(jiǎn)并壓8.22試根據(jù)熱力學(xué)公式 及低溫下的熱容量，求金屬中自由電子氣體的熵。解：根據(jù)式（8-5-19）給出低溫下金屬中自由電子氣體的定容熱容量為-(1)根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式（2-4-5），有-(2)取積分路線為 （0，V） 至 （T，V）的直線，即有-(3)其中已取積分常量S0為零

4、。8.23試求低溫下金屬中自由電子氣體的巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)，從而求電子氣體的壓強(qiáng)、內(nèi)能和熵。解：根據(jù)式（8-1-13），自由電子氣體巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)可表達(dá)為-(1)其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了變數(shù)變化be=x將上式的積分分為兩段：-(2)在第一個(gè)積分中將對(duì)數(shù)函數(shù)改寫為其中 。在第二個(gè)積分中作變數(shù)變換 ，（2）式可改寫為-(3)其中-(4)在低溫 的情形下， I1和I2 可近似為-（5）于是-（6）根據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)中熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式可得-（7）-（8）-（9）-（10）由于在低溫下 ，作為第一級(jí)近似可以略去式（7）中的第二項(xiàng)而有即-（11）計(jì)及（7）式的第二項(xiàng)，可將（7）式改寫為再將上式中第二項(xiàng)的 -a 用第一級(jí)近似代入，得-（12）或-（13）（13）式與（8-5-17）一致。 用式（7）除式（6），并將（12）式代入可將 lnX 表示為 ，T，m(0) 的函數(shù) -(14) 代回式（8），（9），（10）即得-(15)-(16)-(17)8.24關(guān)于原子核半徑R的經(jīng)驗(yàn)公式給出 R = (1.3×10-5m)·A1/3式中A是原子核所含核子數(shù)假設(shè)質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)相等，均為A2，試計(jì)算二者在核內(nèi)的密度n如果將核內(nèi)的質(zhì)子和中子看作簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體，試求二者的(0)以及核子在核內(nèi)的平均動(dòng)能核子質(zhì)量M =1.6