包含與排除(含答案)

1、包含與排除（一）丿意、包含與排除問題也叫容斥原理。“容”是容納、包含的意思，“斥”是排斥、排除的思，從題目名稱上看，比較抽象，下面我們結(jié)合具體實(shí)例來說明這種問題的思考方法?！镜湫屠}】例1:如下圖，桌面上放著兩個正方形，求蓋住桌面的面積。（單位：厘米）分析與解：這是一個組合圖形，是由兩個正方形組成的，中間重合部分是一個長方形，要想求岀 住桌面的面積，可以有三種不同方法：方法一：72 +52 -2 x5 = 64 （平方厘米）方法二：72 -2 x5 + 52 =64 （平方厘米）方法三：52 - 2 x 5 + 7 2 = 64 （平方厘米）答：蓋住桌面的面積是 64平方厘米。例2:四（1）班

2、同學(xué)中有 37人喜歡打乒乓球，26人喜歡打羽毛球，21人既愛打乒乓 又愛打羽毛球。問全班喜歡打乒乓球或羽毛球活動的有多少人？分析與解：根據(jù)題意可畫圖如下此類問題畫集合圖比畫線段圖更直觀，更形象一些方法一：37 + 26 21 =42 （人）方法二：37 21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（ 26 21）=42 （人）以上三種方法是緊密聯(lián)系的，都是要從中減去重疊部分，可以從其中一部分中減去，再與另一部分合并，也可以從兩部分之和中減去重疊部分。三種方法比較，你喜歡哪一種解法呢？我們根據(jù)以上兩個例題可以得出這樣的數(shù)量關(guān)系：第一部分+第二部分一重疊部分=兩部分之和例3:四年級一班在期末考試

3、中，語文得“優(yōu)”的有15人，數(shù)學(xué)得“優(yōu)”的有17人，老師請得“優(yōu)”的同學(xué)都站起來，數(shù)了數(shù)有24人。兩科都得“優(yōu)”的有幾人？分析與解：根據(jù)“第一部分+第二部分一重疊部分=兩部分之和”可以求岀兩科都得“優(yōu)” 的人數(shù)。15 + 17 24 = 8 （人）另外，從下圖中我們還能得岀兩種不同方法24人方法二：17 （ 24 15） =8 （人）15（ 24 17）=8 （人）答：兩科都得優(yōu)的有 8 Ao例4 :圖新小學(xué)四年級二班有24人參加了美術(shù)小組，有18人參加了音樂小組，其中人兩個小組都參加，還有 5人什么組都沒參加。這個班共有學(xué)生多少人？分析與解：這個題與例2相比，多了一個已知條件，那就是“有5個

4、人什么組都沒參加”。如果前面的畫圖方式，這 5人無法在圖上表示，根據(jù)題意，我們可以這樣畫圖。全班要求全班有多少人，除了知道有全班？5人什么組都沒參加外，還要求岀參加課外小組的有少人。24+18 11 =31（人）31 + 5 = 36（人）答：這個班共有學(xué)生 36 A-11人，參加美術(shù)組的有 8人，參加英語組的有 12人， 既參加音樂組又參加英語組的有3人，既參加美術(shù)組又參加英語組的有 4人，三，個組都參加的只有1人，問：至少參加一個組的有多少人？分析與解：例5 :某班學(xué)生參加音樂組的有參加音樂組又參加美術(shù)組的有5人,如果我們把三個集合圈看成三張紙片，參加兩個組的部分是2層，參加三個組的部分

5、是3層，要求至少參加一個組的人數(shù)，就是求三張紙片蓋住桌面的大小，因此要從三組人數(shù)之和中減去重疊部分的人數(shù)11 + 8 + 12 5 34 + 1 = 20 (人)答：至少參加一個組的有 20人。【模擬試題】(答題時間：30分鐘)1. 四年級三班訂閱少年文摘的有19人，訂閱學(xué)與玩的有 24人，兩種都訂的有 13人。問訂閱少年文摘或?qū)W與玩的有多少人？2. 幼兒園有58人學(xué)鋼琴，43人學(xué)畫畫，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？3. 1至100的自然數(shù)中：(1) 是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)有多少個？(2) 是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的數(shù)有多少個？(3) 是2的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的

6、數(shù)有多少個？4. 某班數(shù)學(xué)、英語期中考試的成績統(tǒng)計(jì)如下：英語得100分的有12人，數(shù)學(xué)得100分 的有10人，兩門功課都得 100分的有3人，兩門功課都未得 100分的有26人。這個班共 有學(xué) 生多少人？5. 全班50人，會騎車的有 32人，會滑旱冰的有 21人，兩樣都會的有 8人，求兩樣都 不 會的有多少人？6. 一個班有學(xué)生42人，參加體育隊(duì)的有 30人，參加文藝隊(duì)的有 25人，并且每人至少 參 加一個隊(duì)。這個班兩隊(duì)都參加的有多少人？【試題答案】1. 四年級三班訂閱少年文摘的有 19 人，訂閱學(xué)與玩的有 24 人，兩種都訂的有 13 人。問訂閱少年文摘或?qū)W與玩的有多少人？19 + 2413

7、 = 30 （人） 答：訂閱少年文摘或?qū)W與玩的有 30 人。2. 幼兒園有 58 人學(xué)鋼琴， 43 人學(xué)畫畫， 37 人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？只學(xué)鋼琴人數(shù)： 58-37 = 21 （A ） 只學(xué)畫畫人數(shù)： 4337 = 6 （人）3. 1至 100 的自然數(shù)中：（ 1）是 2 的倍數(shù)又是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少個？既是 3 的倍數(shù)又是 2 的倍數(shù)，一定是 6 的倍數(shù)1004-6 = 16 4所以，既是 2的倍數(shù)又是 3 的倍數(shù)有 16個（ 2）是 2 的倍數(shù)或是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少個？1004-2 = 50, 1004-3 = 33 150 + 3316 = 6

8、7 （個）所以，是 2的倍數(shù)或是 3 的倍數(shù)的數(shù)有 67個。（ 3）是 2 的倍數(shù)但不是 3 的倍數(shù)的數(shù)有多少個？5016 = 34 （個）答：是 2 的倍數(shù)但不是 3 的倍數(shù)的數(shù)有 34 個。4. 某班數(shù)學(xué)、英語期中考試的成績統(tǒng)計(jì)如下：英語得 100分的有 12 人，數(shù)學(xué)得 100分 的 有 10人，兩門功課都得 100 分的有 3人，兩門功課都未得 100 分的有 26人。這個班共 有學(xué) 生多少人？12 + 103 + 26 = 45 （人）答：這個班共有學(xué)生45 人。不會5. 全班50 A,會騎車的有32人，會滑旱冰的有21人，兩樣都會的有 8人，求兩樣都的有多少人？50 （30 + 21 8）