遞推數(shù)列求通項公式的典型方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上遞推數(shù)列求通項公式的典型方法1、 an+1=an+f（n）型累加法: an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+ a1=f（n-1）+f（n-2）+f（1）+ a1 例1 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+2n（nN*）, 求an 解: an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+ a1=2n-1+2n-2+21+1=2n-1（nN*）例 在數(shù)列中，,，求通項公式.解：原遞推式可化為：則 ，逐項相加得：.故2、型累積法:所以例2:已知數(shù)列an滿足,求解: = 例2 設(shè)數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1,2,3），

2、則它的通項公式是=（2000年高考15題）.解：原遞推式可化為： =0 0， 則 ， 逐項相乘得：，即=.3型（p,q為常數(shù)）方法：（1），再根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識求. (2)再用累加法求. (3) ,先用累加法求再求例3已知的首項（a為常數(shù)），求解 設(shè)，則為公比為2的等比數(shù)列。題目:在數(shù)列(不是常數(shù)數(shù)列)中,且,求數(shù)列的通項公式.解法一:因為,所以,所以,所以,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.又,所以,將代入上式可得.評注這種方法叫做差分法.即由條件進行遞推可得,進一步可得,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,再將代入即可求得.解法二:所給數(shù)列對應(yīng)的特征方程為:,所以,特征根為.因為,所以,即數(shù)列是公比為

3、的等比數(shù)列,又,所以,.故.評注:這種方法叫做特征根法,因為,所以滿足(叫做此數(shù)列對應(yīng)的特征方程)的存在,由可得,所以,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列或各項均為0,于是再根據(jù)條件,所以,.解法三:設(shè),即與已知對比可得,所以,.所以,可得,即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列或者各項均為0.(下同解法二).評注:這種方法通常叫做構(gòu)造法.即由已知遞推式的特點構(gòu)造一個等比數(shù)列,再求通項公式.設(shè),與原遞推數(shù)列進行對比可以建立方程,求數(shù)所設(shè)實數(shù)的值即可得是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.以上三種方法雖然各不相同,但是它們有一點是共同的,即構(gòu)造一個等比數(shù)列,這就是本題的實質(zhì)所在.4型（p為常數(shù)）方法：變形得，則可用

4、累加法求出，由此求得.例4已知滿足，求解 為等差數(shù)列。5.型（p,q為常數(shù)）方法：待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列例5數(shù)列中，且，求.6、取倒數(shù)法例6 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.7、取對數(shù)法例 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列， ，即.8、平方（開方）法例8 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項，3為公差的等差數(shù)列。因為0，所以。9、待定系數(shù)法待定系數(shù)

5、法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9 若數(shù)列中，=1，是數(shù)列的前項之和，且（n），求數(shù)列的通項公式是.解 遞推式可變形為 （1）設(shè)（1）式可化為 （2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列的通項公式是 。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10 在數(shù)列中，求通項公式。解：原遞推式可化為： 比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11 在數(shù)列中，當(dāng)，

6、求通項公式.解：式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12 在數(shù)列中，=6 求通項公式.解 式可化為： 比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個等比數(shù)列，首項，公比為.即 故.一、復(fù)習(xí)回顧引入問題：已知數(shù)列an滿足a1=1, 且an+1 =+1,求an。分析一：歸納法。由遞推公式，可求出a2=4，a3=13，a4=40。則a2-a1=3=31，a3-a2=9=32，a4-a3=27=33。由此猜測：an-an-1=3n-1（可用數(shù)學(xué)歸納法證明），所以an-1-an-2=3n-2，an

7、-2-an-3=3n-3，a4-a3=33，a3-a2=32，a2-a1=31，把上式子累加，得，an-a1=31+32+33+3n-1=，得an=。分析二：構(gòu)造法。由an+1 =+1，得an+1 +=3（an+），即數(shù)列an+為一個公比為3的等比數(shù)列，則an+=(1+)·3n-1 =。分析三：迭代法。an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-2 1+3n-31 +31+1=點評：（1）分析一中先猜測出前后兩項差的關(guān)系，再用累加法求出通項；這種用不完全歸納法求出前幾項再找規(guī)律的的方法，對所有求數(shù)列通項的題均適用，應(yīng)培養(yǎng)歸納能力；（2）

8、分析二中構(gòu)造出新數(shù)列，由新數(shù)列求出an的通項；（3）分析三使用迭代法，這也是由遞推式求通項的基本方法。 本文將由此例題展開，對它進行各種變形，力求歸納出由遞推公式求通項公式的方法。二、例題精講例1.已知數(shù)列an中，a1=1，對任意自然數(shù)n都有，求an。 分析：由已知，累加，得an-a1=。點評：（1）例3由例1中的常數(shù)項1變?yōu)閒(n)而得來；（2）遞推式為an+1=an+f(n)，只要f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的，可用累加法求出。（3）今年安徽題中也有這樣一題：已知數(shù)列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(-1)k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1,2,3（1）求a3，a5（

9、2）求數(shù)列an的通項公式。這是一個an+1=an+f(n)型的函數(shù)，只不過偶數(shù)項減奇數(shù)項與奇數(shù)項減偶數(shù)項的f(n)不同而已，依照上法，可以輕松求解。（4）運用類比推理的思想方法，把例3與例1的形式進行比較后可看出類似之處，從而在方法上類同。對遞推式為an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，可構(gòu)造新數(shù)列an+1+=p(an+)。其證明的簡略過程如下：由an+1=pan+q，令an+1+x =p(an+x)，化簡，得an+1=pan+px-x，因此px-x=q，即x=。得證。例2：已知數(shù)列an中，a1=1，求an。分析：把兩邊取倒數(shù)，可得。令，則bn+1=3bn+1，即引入問題，按上法可求解。點評

10、：（1）轉(zhuǎn)換問題，化成基本型后求解（運用反思維定勢定勢方法中的轉(zhuǎn)移思維方法）（2）對分式型遞推數(shù)列可歸納如下：設(shè)a1=a，若d=0，則上式變形為，令,則,即基本型。若d，c0,且bcad，令an= bn+t(t為待定系數(shù))轉(zhuǎn)化為情形。例3. 在數(shù)列中，,求通項.解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為. 即：故.(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.即： ,令，則,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待

11、定系數(shù)法：設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時 用轉(zhuǎn)化法例4.數(shù)列中，若,且滿足,求.解：把變形為.則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則 利用類型6的方法可得 .（2）當(dāng)時 用待定系數(shù)法.例5. 已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.解：令,即,與已知比較，則有,故或下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運算，即有,則數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，故,即,利用類型 的方法，可得. 評注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.形如(其中p,r為常數(shù)

12、)型（1）p>0， 用對數(shù)法.例6. 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則，是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習(xí) 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式. 答案：（2）p<0時 用迭代法.課堂小結(jié)：學(xué)生的體會是多方面、多角度的，因此小結(jié)內(nèi)容也很靈活。知識方面：數(shù)列的概念、數(shù)列的通項公式能力方面：掌握研究問題的一般方法，主要有：觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)、類比 思考問題：是否每一個數(shù)列都能寫出它的通項公式？每一個數(shù)列的通項公式是否唯一？根據(jù)前n 項寫出的不同形式的通項公式所確定的數(shù)列是否是相同的？求遞推數(shù)列通項公式是數(shù)列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通

13、過考查遞推數(shù)列來考查學(xué)生對知識的探索能力，求遞推數(shù)列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列。利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值，下面介紹一下利用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項公式的方法和策略.一、構(gòu)造等差數(shù)列法例1.在數(shù)列an中，求通項公式an。解：對原遞推式兩邊同除以可得：令則即為，則數(shù)列bn為首項是，公差是的等差數(shù)列，因而，代入式中得。故所求的通項公式是二、構(gòu)造等比數(shù)列法1.定義構(gòu)造法利用等比數(shù)列的定義，通過變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法。例2.設(shè)在數(shù)列an中，求an的通

14、項公式。解：將原遞推式變形為/得：，即設(shè)式可化為，則數(shù)列bn是以b1為首項，公比為2的等比數(shù)列，于是，代入式得：，解得為所求。2.（A、B為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例3.已知數(shù)列，其中，求通項公式。解：原遞推式可化為：，則數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，于是，故。3.（A、B、C為常數(shù)，下同）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例4.已知數(shù)列，其中，且，求通項公式an。解：將原遞推變形為，設(shè)bn。得設(shè)式可化為，比較得于是有數(shù)列是一個以為首項，公比是3的等比數(shù)列。所以，即，代入式中得：為所求。4.型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例5.在數(shù)列中，求通項公式。解：原遞推式可化為，比較系

15、數(shù)可得：，上式即為是一個等比數(shù)列，首項，公比為。所以。即，故為所求。三、函數(shù)構(gòu)造法對于某些比較復(fù)雜的遞推式，通過分析結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到與該遞推式結(jié)構(gòu)相同或相近的公式、函數(shù)，再構(gòu)造“橋函數(shù)”來求出所給的遞推數(shù)列的通項公式的方法。例6.在數(shù)列中，求通項公式an。分析：首先考慮所給遞推式與公式的聯(lián)系。解：設(shè)，則同理，。即，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（證明略）。由于即，解得，于是為所求。轉(zhuǎn)化為常見類型求解：例2 設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項：（1）（2）（3）解：（1）令則，本題用除遞推式兩邊，再進行變量代換，就可轉(zhuǎn)化為“型”，可得（2）遞推式兩邊同除以，得，就可轉(zhuǎn)化為“型”，當(dāng)然，也可以在遞推式兩邊

16、同除以，得，則可轉(zhuǎn)化為“型”，所以得（3）遞推式兩邊同取對數(shù)，得令，則，已轉(zhuǎn)化為“型”，由累乘相消法可得根據(jù)上述的介紹，下面問題你能解決嗎？練習(xí)：設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）專題二 由遞推公式求通項的技巧（1） 遞推式為：an+1=an+f(n)型（用迭加法）（2） 遞推式為：an+1=pan+q型(p,q為常數(shù))(用特征根法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列）（3） 遞推式為：an+1=pan+qn型(p,q為常數(shù))(同除qn或qn+1，再用特征根法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列)（4） 遞推式為：an+2=pan+1+qan型(p,q為常數(shù))(變行為：an+2-an+1=(

17、an+1-an)遞推數(shù)列求通項公式的基本類型及其對策高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項公式的求解，在高考中婁見不鮮，其豐富的內(nèi)涵及培養(yǎng)學(xué)生思維邏輯性具有較高的價值，同時對于培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力也具有十分重要的意義，下面就遞推數(shù)列求通項的基本類型作一個歸納，以供讀者參考。類型一、對策：利用迭加或迭乘方法，即：或例1、（2006年山東高考文科）已知數(shù)列中，）在直線y=x上，其中n=1,2,3. ()令()求數(shù)列解析：（I）在直線y=x上 得： 又而得數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列（II）由（I）得，即由： =類型二、對策：巧用例2、（2007年福建高考文科）數(shù)列an的前N項和為Sn，a1=1，an+1=2S

18、n (nN*).求數(shù)列an的通項an。解析：（I）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1a1=1,數(shù)列Sn是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(nN*).當(dāng)n2時，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),an=類型三、對策：等價轉(zhuǎn)化為：從而化為等比數(shù)列，并且該數(shù)列以為首項，公比為p例3、（2006年福建高考理科）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.解： 是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 即變式1：對策：（1）若p=q，則化為，從而化為以為首項，公差等于r的等差數(shù)列（2）若pq，則化為，進而轉(zhuǎn)化為類型三求通項例4、已知數(shù)列滿足求及.解析： 令，則+1是以首項為，公比為

19、2的等比數(shù)列得數(shù)列的通項公式為變式2：對策：等價轉(zhuǎn)化為：，再化為，對照系數(shù)，解出x，y，進而轉(zhuǎn)化為類型三例5、題見例1（2006山東高考文科）解析：）在直線y=x上 令，可化為：與比較系數(shù)得 可化為：變式3、型對策：取倒數(shù)后得，化為類型三例6、已知數(shù)列滿足a1=1，求解析：由，得即：，以下請讀者解決。變式4：若p=1，則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，化為：，得到首項為，公比為r的等比數(shù)列，所以=，得若p1，則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得：，轉(zhuǎn)為類型三求通項。例7、（06年石家莊模擬）若數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項公式為 解析：及知，兩邊取對常用對數(shù)得： 是以首項為，公比為2的等比數(shù)列。 變式5、對策

20、： 兩端除以得：（1）若，則構(gòu)成以首項為，公差為的等差數(shù)列；例8、（07保定摸底）已知數(shù)列滿足時，求通項公式。解：，數(shù)列是以首項，公差為2的等差數(shù)列（2）若，轉(zhuǎn)化為類型三求解。變式6：對策：等價轉(zhuǎn)化為，利用與恒等求出x,y得到一等比數(shù)列，得=f(n)，進而化為變式2類型例9、題見例1（2006山東高考文科）解析：）在直線y=x上 得： 數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列以下同例1（II）求通項類型四、奇偶項型對策一：求出奇數(shù)項（或偶數(shù)項）的遞推關(guān)系，再對應(yīng)以上方法求解。例10（2005年高考北京卷改編）設(shè)數(shù)列的首項，且，求解：若n為偶數(shù)，則即若n為奇數(shù)，則即，對策二：，這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等

21、差或等比數(shù)列。例11、在數(shù)列中，解：由，得兩式相除得：，與均為公比為2的等比數(shù)列，易求得：類型五、周期型例12、（2005年高考湖南卷）已知數(shù)列滿足（ ）A0 B C D略解：由，得，因此數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，所以，選B探究遞推公式為分式型數(shù)列的通項問題對于形如遞推公式為（，）的數(shù)列，這類問題有一般性的公式解法，通常用特征方程求不動點，即先求解遞推公式所對應(yīng)的特征方程，求出不動點，然后再解。雖然這類題本身有特征方程求不動點等的知識背景，但高考題并不考，也不依賴于這知識，從所給的標(biāo)準(zhǔn)答案來看，其立意在于將遞推數(shù)列求通項問題轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的已知知識來解決，即轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決。那么，

22、有沒有不用高等數(shù)學(xué)知識，而只用高中數(shù)學(xué)知識的方法？這類問題是否存在通項公式？若存在又怎么來求？下面通過具體例子介紹一種方法，僅供參考!例題例題1：（2010年全國高考數(shù)學(xué)理科第22題）已知數(shù)列中，（）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（）求使不等式成立的的取值范圍.分析：（）題目已經(jīng)明確告訴學(xué)生要構(gòu)造：的倒數(shù)，也就是說在，兩邊同時減2得：，再倒數(shù)即：，亦即，下一步再變形：，所以是首項為，公比為4的等比數(shù)列，進而可求出數(shù)列的通項公式。（）略例題2：（2008年全國高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第22題）已知數(shù)列的首項=，=，n=1，2, 3（）求的通項公式；證明：對任意的x0, , n=1，2，3（）證明：分析：（）由=兩邊同時加上，得；倒數(shù)得；令，（目的使分母成“” 型）；得0，或1，不妨取0，于是有，變形1，又，所以，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。于是：有，得略例題3：（2007年全國高考數(shù)學(xué)理科試卷第22題）：已知：數(shù)列中，2，2，3（）求的通項公式；（）若數(shù)列中2，2，3證明：， ，2，