高中數(shù)學(xué)好題速遞400題（151—200）

1、好題速遞151（2015湖北第17題）a為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為， 當(dāng)_時，的值最小解：若時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故若，即時，若，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上， ，故當(dāng)時，取得最小值為好題速遞152（2015重慶第14題）設(shè)實數(shù)，則的最大值為 。解法一：即當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，取得等號解法二：換元使得題干更清晰，設(shè)則題目變?yōu)椤皩崝?shù)，求的最大值。利用不等式鏈條，得當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號解法三：三角換元，令，且滿足則當(dāng)時取得最大值，且此時滿足解法四：令，則，即在上有解則，滿足或解得，且故的最大值為好題速遞153（2015湖北理科第9題）已知集合，定義集合，則中元素的個數(shù)為A77 B49 C45 D3

2、0解：因為集合，所以集合中有5個元素（即5個點），即圖中圓中的整點，集合中有25個元素（即25個點），即圖中正方形中的整點，集合中的元素表示中的點向左、右、上、下方向移動一個單位，即的元素可看作正方形中的整點（除去四個頂點），即個好題速遞154（2015浙江理科第7題）存在函數(shù)滿足，對任意都有（ ）A. B. C. D. 解：對A選項，取，可知，再取，可知，矛盾對B選項，取，可知，再取，可知，矛盾對C選項，取，可知，再取，可知，矛盾對D選項，令，所以，符合題意，故選D本題與浙江文科第8題異曲同工，都是考查函數(shù)概念的問題。（2015浙江文科第8題）設(shè)實數(shù)滿足，則（ ）A若確定，則唯一確定 B若確

3、定，則唯一確定C若確定，則唯一確定 D若確定，則唯一確定解：因為，所以，所以，故當(dāng)確定時，確定，所以唯一確定，故選B。好題速遞155（2015廣東理科第8題）若空間中有個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值A(chǔ)至多等于3 B至多等于4 C至多等于5 D可以大于5解析 顯然正四面體的四個頂點之間的距離兩兩相等，因此至少有4個點下面證明不會大于4若已有正四面體，則第5個點與其中三點也可以構(gòu)成正四面體，相當(dāng)于兩個正四面體共底面，但正四面體邊長，故不可能存在第5個點好題速遞156（2015全國文科第16題）已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點， ，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為 解：設(shè)雙曲線的左焦點為，

4、由雙曲線定義知所以周長為由于是定值，要使周長最小，則最小，即三點共線因為，所以直線的方程為代入整理得，解得或（舍去）所以所以好題速遞157（2015全國理科第16題）在平面四邊形中，則的取值范圍是 解：如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合于E點時，AB最長，在中，由正弦定理可得，即，解得，平移AD ，當(dāng)D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在中，由正弦定理知，即，解得所以AB的取值范圍為好題速遞158（2015天津理科第8題）已知函數(shù) ，函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）解：由得，所以，即,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同

5、的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點，由圖象可知（2015天津文科第8題）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)為 解：當(dāng)時，此時方程的小于0的零點為當(dāng)時，方程無零點當(dāng)時，方程有一個大于2的根故共有2個零點好題速遞159（2015上海理科第13題）已知函數(shù)，若存在滿足，且（），則的最小值為 解：因為對任意和任意都有由知但當(dāng)時，必須使則依次取，不合題意當(dāng)時，依次取可滿足題意，所以的最小值為8好題速遞160（2015江蘇第13題）已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為 解：作出函數(shù)與的圖象，觀察共有4個交點。好題速遞161（2015湖北理科第8題）將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離

6、心率為的雙曲線，則 A對任意的， B當(dāng)時，；當(dāng)時，C對任意的， D當(dāng)時，；當(dāng)時，解：不妨設(shè)雙曲線的焦點在軸上，即其方程為，雙曲線，當(dāng)時，所以，即當(dāng)時，所以，即故選D評注：這是糖水不等式的應(yīng)用。好題速遞162（2015上海理科第14題）在銳角中，為邊上的點，與的面積分別為2和4，過分別作于，于，則 解：如圖，由得 由得 由得而，得 由可得，所以好題速遞163（2015上海文科第13題）已知平面向量滿足，且，則的最大值是 解：，當(dāng)且僅當(dāng)同向時取等號。由得當(dāng)分別為1，2，3時，分別為故好題速遞164函數(shù)模塊1設(shè)二次函數(shù)，已知對于任意，恒有和成立，則 解：在中令，可產(chǎn)生因為且恒成立，所以因為且恒成立，

7、所以從而，所以，即，得好題速遞165函數(shù)模塊2 已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為 解：由題意知，函數(shù)的周期為2，則與在區(qū)間上的圖象如右圖所示由上圖可知，函數(shù)與在區(qū)間上的交點為，易知點的橫坐標(biāo)為，若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，所以在區(qū)間上的所有實數(shù)根之和為好題速遞166函數(shù)模塊3設(shè)的定義域為，若滿足條件：存在，使得在上的值域是，則稱為“半縮函數(shù)”若函數(shù)為“半縮函數(shù)”，則的取值范圍是 解：為單調(diào)遞增函數(shù)由已知由，即變形得，令，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為與兩個函數(shù)圖象的交點，結(jié)合圖象，可得【點評】本題是函數(shù)兩域一致問題的應(yīng)用好題速遞167函數(shù)模塊4已知為正實數(shù)，函數(shù)，且對任意，都有成立

8、若對每一個正實數(shù)，記的最大值為，則函數(shù)的值域是 解：作出的圖象，由圖象可知當(dāng)，即時，即當(dāng)，即時，且解得（舍去）或，即所以，故的值域是【點評】這里“對任意，都有恒成立”與“當(dāng)時，的值域為”是不一樣的一個是恒成立問題，一個是值域問題，注意區(qū)分好題速遞168函數(shù)模塊5已知，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，且所有實數(shù)根之和為2，則的取值范圍是 解：構(gòu)造，顯然可知的圖象關(guān)于對稱，與的圖象四個橫坐標(biāo)之和應(yīng)為，故由此可知，當(dāng)時滿足條件好題速遞169函數(shù)模塊6當(dāng)且僅當(dāng)（其中）時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方，則的取值范圍是 解：令，畫出圖象如圖當(dāng)直線分別與，相切時，直線分別與相切時，結(jié)合圖象可知，直線，符合題意

9、又是方程的兩個根；是方程的兩個根所以，所以【點評】這個題目難度很大，不過其中帶給我們的啟示是將方程的根問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€能方便畫圖的函數(shù)看交點的問題。兩個函數(shù)圖象一般是一個定，一個動。好題速遞170三角模塊1 設(shè)函數(shù)，存在使得和成立，則的取值范圍是 解：由可知，即，且所以，所以所以，所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，所以綜上，三角模塊2 設(shè)中的內(nèi)角所對邊為，且，則的最大值是 解：由所以好題速遞171三角模塊3 兩點在的邊上，若，且，則的最大值為 解：取中點為，則， 又，所以所以所以【點評】本題是“平行四邊形四邊平方和等于對角線平方和”性質(zhì)的應(yīng)用，它是極化恒等式的對偶式已知a，b是兩個向量，則(ab)2=a22a

10、 bb2 (ab)2=a22a bb2 得“極化恒等式”：4a·b(ab)2(ab)2得“平行四邊形對角線性質(zhì)”：2(|a |2| b |2)(ab)2(ab)2平行四邊形對角線性質(zhì)公式揭示的是平行四邊形對角線的平方和等于其四邊和的平方好題速遞172三角模塊4在中，若，則的最大值為 解法一：膽子大！，故當(dāng)解法二：所以，所以因為若，則，均為鈍角，不可能，故所以好題速遞173三角模塊5在中，是角平分線，且，則當(dāng)取最小值時 解：設(shè)，由角平分線定理得所以，即故又，所以再由余弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)時，所以好題速遞174三角模塊6如圖，已知正邊長為，點為外接圓的劣弧上一點，記與的面積分別為，則的最大值

11、為 解法一：設(shè)，則在中，由余弦定理得即 在中，由余弦定理得即 得即故所以解法二：設(shè)，則在中，由正弦定理得于是故后續(xù)同解法一解法三：如圖建系，有，于是圓方程為直線的方程為，直線的方程為，設(shè)記，故故當(dāng)時，好題速遞175不等式模塊1已知為正實數(shù)，則的最大值為 解：當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號評注：齊次化的應(yīng)用好題速遞176不等式模塊2設(shè)實數(shù)滿足，則的取值范圍是 解：當(dāng)同號時，當(dāng)異號時，評注：齊次化的應(yīng)用，因為齊次的啟發(fā)，才有這一步。好題速遞177不等式模塊3已知為正實數(shù)，且，則的最小值為 解法一：解法二：令，則題目變?yōu)槿?，則評注：換元法有助于簡化問題，看穿本質(zhì)。好題速遞178不等式模塊4 設(shè)正實數(shù)滿足，則實數(shù)

12、的最小值為 解法一：將其視為關(guān)于的一元二次方程有正根，所以解法二：，解得好題速遞179不等式模塊5 已知實數(shù)滿足，則的最大值為 解：畫出可行域，為可行域內(nèi)任意一點，目標(biāo)函數(shù)理解為長方形的面積，當(dāng)取最大值時，點必在線段上，即又因為，即點評：本題和今年四川高考第9題異曲同工，要形成不等式就是可行域的觀點，解題的思路會更開闊。（2015四川第9題）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）A16 B18 C25 D解：畫出可行域或或（或用導(dǎo)數(shù)對恒成立，即）令，則，當(dāng)函數(shù)與可行域相交變化中，看的變化可得，當(dāng)與相切時，取得最大值，則兩式聯(lián)立，解得好題速遞180不等式模塊6已知，若，且，則實數(shù)的取值范圍

13、是 解：因為，故，在直角坐標(biāo)系中，作出可行域，得由得，解得好題速遞181不等式模塊7 設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個，則的取值范圍是 解：若要使不等式恰有三個整數(shù)解，必有，所以解集為又，所以，所以所以滿足，畫出可行域，可知好題速遞182不等式模塊8 不等式對于任意的及恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 解：又及，所以，所以，所以好題速遞183不等式模塊9已知，滿足，則的取值范圍是 解：其中視為可行域內(nèi)的點與連線的斜率，故好題速遞184不等式模塊10已知實數(shù)滿足，若不等式恒成立，則的最大值為 解：的可行域如圖，令，則點評：最近幾天的題目都是線性規(guī)劃為背景，利用齊次化思想，將兩元的問題轉(zhuǎn)為為關(guān)

14、于k的一元問題，從而變?yōu)楹瘮?shù)求值域的問題。好題速遞185數(shù)列模塊1數(shù)列滿足，則此數(shù)列最多有 項解：由得故新數(shù)列是首項為48，公差為的等差數(shù)列，所以得，故最多，最多50項。好題速遞186數(shù)列模塊2已知函數(shù)，記若是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是 解：是遞減數(shù)列，從開始，必須滿足又對，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，需要滿足對稱軸注意還要滿足，即，綜上得好題速遞187數(shù)列模塊3已知集合，若中有且僅有3個元素，則實數(shù)的取值范圍是 解：令，考查的單調(diào)性，當(dāng)時，即當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，由題意知，中有且僅有3個元素，只需大于第四項即可，所以點評：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，特殊性在于自變量取正整數(shù)，函數(shù)圖象是不連續(xù)的點。因此在

15、涉及數(shù)列單調(diào)性問題時，既可以從函數(shù)單調(diào)性的角度去理解，也可以有數(shù)列判斷單調(diào)性特有的方法，后項減前項與0比較大小解決。這個題目最經(jīng)典的題根就是“遞增數(shù)列的通項公式為，則的取值范圍是 。”這里就既可以從二次函數(shù)單調(diào)遞增的角度，也可以用的角度來求解。好題速遞188數(shù)列模塊4在各項均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列中，且，則 解：當(dāng)時，由及得又?jǐn)?shù)列是各項均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，所以所以，所以，又，所以，所以當(dāng)時，由，所以當(dāng)時，由，所以當(dāng)時，由，所以繼續(xù)下去，可得本題可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列其實是斐波那契數(shù)列，故由得可以發(fā)現(xiàn)，即斐波那契數(shù)列好題速遞189數(shù)列模塊5設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若數(shù)列滿足且，則的最小值是 解：設(shè)，則

16、故，解得故好題速遞190數(shù)列模塊6已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且的前項和為，則 解：所以，故好題速遞191向量模塊1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在橢圓上，點滿足，且，則線段在軸上的投影長度的最大值為 解：，即，則三點共線，故設(shè)在軸的夾角為，設(shè)點，為點在軸上的投影，則在軸上的投影長度為當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號。好題速遞192向量模塊2 已知是的外心，若，則的最大值為 解：由，得即，解得所以點評：這是用向量法處理三角形外心問題的一般套路，在向量等式的兩邊同時點積兩邊，可以將向量點積問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺拈L度問題。好題速遞193向量模塊3在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，若圓上有一點滿足，則 解：即，整

17、理得過點作的垂線交于，則由得又圓心到直線的距離為，故，所以好題速遞194向量模塊4已知圓的半徑為1，為圓的一條動弦，以弦為一條邊向圓外作正方形，連結(jié)，設(shè)，若，則的值為 解：過點作于，故好題速遞195向量模塊5已知兩個不共線的向量滿足，設(shè)的夾角為，則的最小值是 解法一：代數(shù)法：由兩邊平方整理得解法二：幾何法，以，由得，畫出圖象可知的終點在阿氏圓上故最大為與阿氏圓相切時，此時好題速遞196向量模塊6在中，分別為三角形的重心和外心，且，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D上述三種情況都有可能解：又，所以故，故為鈍角，所以是鈍角三角形好題速遞197向量模塊7已知向量，則的最大值是 解：數(shù)形結(jié)合，如圖所示可知故即，得又由恒等式知注意這里出現(xiàn)不等式打架，故調(diào)整思路為：故好題速遞198解析幾