131函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1、 1.3.11.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(2 2 課時)教學(xué)目標(biāo)：1 1了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2 2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次; 教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學(xué)過程：一.創(chuàng)設(shè)情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的 快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們 可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體

2、會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用.二新課講授面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)是增函數(shù)相應(yīng)地，v(t) h(t) 0(2 2)從最高點到入水，運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少，即h(t)是減函數(shù)相應(yīng)地，v(t) h(t)02 2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系.I1 1 .冋題：圖 3.3-13.3-1 (1 1),它表示跳水運動中 高度h隨時間t變化的函數(shù)2h(t)4.9t6.5t10的圖像，圖 3.3-13.3-1(2 2)表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t) h(t)9.8t6.5的圖像.運動員從起跳到最高點，以及從最

3、高點到入 水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：(1 1)運動員從起點到最高點，離水Jabith1V如圖 3.3-33.3-3，導(dǎo)數(shù)fg)表示函數(shù)f(x)在點(Xo,y。)處的切線的斜率在x X0處，f(X0)0，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)調(diào)遞增；在x X1處，f(X0)0，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù) 調(diào)遞減.結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)0,那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.特別的，如果f(x)0,那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù).f (

4、x)單調(diào)區(qū)間的步驟：f (x)的定義域；f(X)；(X)(X)f(X)在X0附近單f (x)在Xi附近單說明：(1 1)3 3.求解函數(shù)y(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)確定函數(shù)求導(dǎo)數(shù)y解不等式解不等式0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間;0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.典例分析已知導(dǎo)函數(shù)x 4時，f (x)4，或x4，或x例 1 1 .當(dāng)1當(dāng)x當(dāng)xf (x)的下列信息：0;f(x)0;1時，1時，f(x)0試畫出函數(shù)y f (x)圖像的大致形狀.解：當(dāng)1 x 4時，f(x)y f (x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x 4，或x 1時，f(x)當(dāng)x 4，或x 1時，f(x)可知f (x)在此區(qū)

5、間內(nèi)單調(diào)遞減；可知y這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點綜上，函數(shù)y f(x)圖像的大致形狀如圖 3.3-43.3-4 所示. 例 2 2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.3(1 1)f (x) x 3x；2(2)f (x) x 2x 33x23 3(x1)03f (x) x 3x在 R R 上單調(diào)遞增，如圖 3.3-53.3-5 ( 1 1)所示.(2 2)因為f (x)2x2x 3，所以，f(x)2x 22x1當(dāng)f(x)0,即x1時，函數(shù)f(x) x22x3單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)0,即x1時，函數(shù)f (x) x22x3單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)x22x 3的圖像如圖3.3-53.3-5 (

6、2 2)所示.(3 3)因為f(x)sinx x x (0,)，所以，f(x)cosx 10因此，函數(shù)f(x)sin x x在(0,)單調(diào)遞減, 如圖3.3-53.3-5 (3 3)所示.(4 4)因為f(x)2x33x224x 1，所以.當(dāng)f(x)0,即時,函數(shù)f (x)2x2x 3當(dāng)f(x)0,即時,函數(shù)f (x)2x2x 3函數(shù)f(x)2x33x224x 1的圖像如圖 3.3-53.3-5 (4 4)所示.32(3 3)f (x) sinx x x (0,);(4 4)f (x) 2x 3x 24x 1解：(1 1)因為f (x) x33x，所以， 2f (x) 3x因此，/x)=xT+

7、ir注：(3 3)、(4 4)生練例 3 3.如圖 3.3-63.3-6，水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積 相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像.分析：以容器(2 2)為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度 增加得慢，以后高度增加得越來越快反映在圖像上，(A A )符合上述變化情況同理可知其它三種容器的情況.解：1 B , 2 A , 3 D , 4 C思考：例 3 3 表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快 慢.結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍

8、內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩” 一些.如圖 3.3-73.3-7 所示，函數(shù)yf(x)在0,b或a,0內(nèi)的圖像“陡峭”，在b,或,a內(nèi)的圖像 “平緩”.例 4 4.求證:函數(shù)y2x33x212x1在區(qū)間2,1內(nèi)是減函數(shù).證明：因為 2y 6x6x12 6 x2x 26 x 1x 2當(dāng)x2,1即2x 1時，y0，所以函數(shù)y322x 3x 12x 1在區(qū)間2,1內(nèi)是減函數(shù).說明：證明可導(dǎo)函數(shù)f x在a,b內(nèi)的單調(diào)性步驟：(1 1 )求導(dǎo)函數(shù)fx；(2) 判斷fX在a,b內(nèi)的符號；(3) 做出結(jié)論：fx 0為增函數(shù)，fX

9、0為減函數(shù).2例 5 5.已知函數(shù)f(x) 4x ax2x3(x R)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，求實數(shù)a3的取值范圍. 2 解：f (x)4 2ax 2x,因為f x在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，所以f (x)0對2x 1,1恒成立，即x ax 2 0對x 1,1恒成立，解之得：1 a 1所以實數(shù)a的取值范圍為1,1.說明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單 調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，貝V f(x) 0；若函數(shù)單調(diào)遞減，貝U f(x) 0”來求解， 注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解.1例 6 6.已知函數(shù) y=x+y=x+ ，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .x1(1(1，+ +8 ).).令 _!)_!)v o o,解得1 1 v x xv 0 0 或 0 0v x xv 1.1.x2 y=x+y=x+!的單調(diào)減區(qū)間是( (一 1 1, 0)0)和(0(0, 1).1).X四課堂練習(xí)1 1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(3)證明可導(dǎo)函數(shù)f x在a,b內(nèi)的單調(diào)性六布置作業(yè)解：y y =(x+=(x+) )X2X21=1=1 1 1 -X-X2= = -2X(X 1)(X 1)令(x1)(X 0.0.2X解得 x x 1 1 或 x xv 1.1.1 y=x+y