高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)導(dǎo)數(shù)的定義、運算和運用（一）導(dǎo)數(shù)的定義、運算和運用（一）考向一：定義（平均變化率瞬時變化率，適當補充極限定義）【例】函數(shù)221yx在閉區(qū)間1,1x內(nèi)的平均變化率為A.1 2 x B.2xC.32 x D.42 x 【解析】f（1+x）=2（1+x）2+1=2（x）2+4x+3，f（1）=2，該函數(shù)在區(qū)間1，1+x上的平均變化率為xxxxfxfxy42) 1 ()1 (242 x 【例】若0()3fx ，則000()(3 )limhf xhf xhh（）A3B6C9D12【解析】000000000()(3 )()(3 )()(3 )limlim44lim

2、44hhhf xhf xhf xhf xhf xhf xhhhh04()12fx 。故選 D?！揪?1】若2)(0 xf，則kxfkxfk2)()(lim000等于（）A1B2C1D21【練 2】若0()3fx ，則000()(3 )limhf xhf xhh（）A3B6C9D12【解析 1】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義知kxfkxfk2)()(lim000=000()()1lim2kf xkf xk =01()2fx=-1【解析2】12-443lim43lim0000000 xfhhxfhxfhhxfhxfhh考向二：導(dǎo)數(shù)幾何意義（在/過某點切線）【例】曲線31yx在點( 1,0)處的切線方程為A330

3、xyB330 xyC30 xyD330 xy精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】23yx，13xky，由點斜式知切線方程為：31yx，即330 xy.【例】過點) 1, 1 ( 且與曲線xxy23相切的直線方程為（）A20 xy或5410 xy B02 yxC20 xy或4510 xy D02 yx【 解 析 】 設(shè) 切 點 為3000(,2)x xx， 因 為232yx ， 所 以 切 線 的 斜 率 為020|32x xkyx，所以切線方程為320000(2)(32)()yxxxxx，又因為切線過點(1, 1)，所以3200001 (2)(32)(1)xxxx 即320023

4、10 xx ，注意到(1, 1)是在曲線32yxx上的，故方程32002310 xx 必有一根01x ，代入符合要求，進一步整理可得32002(1)3(1)0 xx即2000002(1)(1)3(1)(1)0 xxxxx， 也 就 是2000(1)(21)0 xxx即200(1) (21)0 xx，所以01x 或012x ，當01x 時，20321kx，切線方程為( 1)1yx 即20 xy；當012x 時，203532244kx ，切線方程為5( 1)(1)4yx 即5410 xy 【例】設(shè)直線 l1，l2分別是函數(shù) f(x)=ln ,01,ln ,1,xxx x圖象上點 P1，P2處的切線

5、，l1與 l2垂直相交于點 P，且 l1，l2分別與 y 軸相交于點 A，B，則PAB 的面積的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 1】已知直線 l 過點) 1, 0( ，且與曲線xxyln相切，則直線l的方程為.【練 2】曲線2)(3xxxf的一條切線平行于直線014 yx，則除切點外切線與曲線的另一交點坐標可以是（）A(1, 0)B( 2, 10)C( 1, 4) D(2,8)【練 3】若直線ykxb是曲線ln2yx的切線，也是曲線ln(1)yx的切線，則b 【解析 1】將( )lnf xxx求導(dǎo)得( )ln

6、1fxx，設(shè)切點為00(,)xy，l的方程為000(ln1)()yyxxx， 因為直線 l 過點) 1, 0( ， 所以0001(ln1)(0)yxx .又000lnyxx，所以0000001ln(ln1),1,0 xxxxxy .所以切線方程為1 xy.【解析 2】設(shè)切點00, yxP，則 132 xxf，于是 13|200 xxfKxx切，因為切線平行于直線014 yx，所以41320 x，即10 x.則 4, 10 , 1或P，切線方程為：14xy或144xy分別與曲線方程聯(lián)立可解得另一交點坐標為12, 2 或8 , 2【解析 3】對函數(shù)ln2yx求導(dǎo)得1yx ，對ln(1)yx求導(dǎo)得1

7、1yx ，設(shè)直線ykxb與曲線ln2yx相切于點111( ,)P x y，與曲線ln(1)yx相切于點222(,)P xy，則1122ln2,ln(1)yxyx，由點111( ,)P x y在切線上得精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1111ln2()yxxxx，由點222(,)P xy在切線上得2221ln(1)()1yxxxx，這兩條直線表示同一條直線，所以12221211121ln(1)ln1xxxxxx，解得11111,2,ln2 11 ln22xkbxx .考向三：常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的四則運算【例】函數(shù)1 ln1lnxyx的導(dǎo)數(shù)是 （）A.22(1ln )xB.2)ln1 (

8、2xxC.22(1 ln )xxD .21(1 ln )xx【解析】1 ln(1ln )221,1ln1ln1lnxxyxxx 所以2210222( 1)().1 ln1 ln1 lnxyxxxx 【例】若2( )2(1)f xxfx，則(0)f等于（）A. 2B. 4C. 2D. 0【 解 析 】 2( )2(1)f xxfx， ( )2(1)2fxfx ， (1)2f ， ( )24fxx ，(0)4f 【練 1】已知函數(shù)( )2xf xx，則(1)f ()A-1B-3C.2D-2【練 2】已知函數(shù)),3( 2sin)(xfxxf則)3( f（）A.21B.0C.21D.23精選優(yōu)質(zhì)文檔-

9、傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 3】設(shè)曲線11xyx在點(3,2)處的切線與直線10axy 垂直，則a等于（）A.2B.12C.12D.2【練 4】等比數(shù)列 na中，4, 281aa， 函數(shù))()()(821axaxaxxxf，則)0( fA.62B.92C.122D.152【解析 1】根據(jù)題意，由于函數(shù)2222( )( )(1)22(2)(2)xxxf xfxfxxx 【 解 析 2 】 注 意 到)3(f 是 常 數(shù) , 所 以)3(2cos)(fxxf, 令3x得)3(23cos)3(ff21)3(f【解析 3】 由221112111xxxyyxxx 曲線11xyx在點(3,2)處的切

10、 線 的 斜 率 為12k ; 又 直 線10axy 的 斜 率 為a, 由 它 們 垂 直 得1122aa 【解析 4】因為128128( )()()()+x()()()f xxaxaxaxaxaxa,所以4412128123818(0).()82()()()=faaaa a aaa a .考向四：導(dǎo)數(shù)運用：函數(shù)圖像【例】函數(shù)( )yf x的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)( )yfx的圖象可能是()xyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)( )fx( )fx( )fx( )fx精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù) f（x）的圖象得到 f（x）的取值范圍，從而得到原函數(shù)

11、的斜率的取值范圍，從而得到正確選項由于原函數(shù)都是遞減區(qū)間可知導(dǎo)數(shù)都小于零，故排除 A,B,C,只能選 D.【例】已知函數(shù)( )f x的定義域為 1,4，部分對應(yīng)值如下表，( )f x的導(dǎo)函數(shù)( )yfx的圖象如右圖所示.當12a時，函數(shù)( )yf xa的零點的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的 1 極小值點，函數(shù) xfy 的大致圖象如圖所示，由于 230 ff，21 a，所以 axfy的零點個數(shù)為 4 個【練 1】定義在 R 上的函數(shù)( )f x滿足(4)1f,( )fx為( )f x的導(dǎo)函數(shù)，已知( )yfx的圖象如右圖所示，若兩個正數(shù), a b滿足(2)

12、1fab,則22ba的取值范圍是（）A （-, -3）B（-,12）（3,+）C1(,3)2D1 1( ,)3 2精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 2】 在同意直角坐標系中， 函數(shù)22322()2ayaxxya xaxxa aR與的圖像不可能的是（）【練 3】 已知函數(shù)3211( )22132f xaxaxaxa的圖象經(jīng)過四個象限， 則實數(shù)a的取值范圍是【解析 1】由導(dǎo)數(shù)圖像可知，0-，函數(shù)減，0函數(shù)增，12baf，即 42fbaf，即420ba,等價于024200bababa，如圖：22ab表示可行域內(nèi)的點到22 ，D連線的斜率的取值范圍21, 3BDCDkk,所以取值范圍為3

13、21，【解析 2】當0a 時，兩函數(shù)圖像為 D 所示，當0a 時，由223410ya xax 得：1xa或13xa，22ayaxx的對稱軸為12xa.當0a 時， 由11123aaa知 B 不對. 當0a 時，由11123aaa知 A,C 正確.【解析 3】( )fx=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a(x+2)(x-1)，顯然 a0，：若 a0,則 f(x)在(, 2 )，(1,+)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，因此若要使 f(x)圖像過四個象限，需5(1)10616( 2)103faafa ，綜上，a 的取值范圍是(163,56)單調(diào)性極值最值零點【例】函數(shù)21ln2yxx

14、的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A( 1,1B.(0,1C.1,)D.(0,)【解析】根據(jù)題意，對于函數(shù)21ln2yxx，由于211(1)(1)xxxyxxxx（x0） ，可知，當 y0 時，則可知 0 x1 能滿足題意，故可知單調(diào)減區(qū)間為(0,1，【例】若函數(shù) 21xaf xx在1x 處取極值，則 a_.【解析】因為 21xaf xx，所以 222()11(1)xaxxaxfxx22211x xxax2221xxax由題設(shè)， 10f 所以，120,3aa【例】 若函數(shù)f(x)x13sin2xasinx在(， )上單調(diào)遞增， 則a的取值范圍是()A1,1B.1，13C.13，13D.1，13【解析】法一(

15、特殊值法)：不妨取 a1，則 f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2xcos x，但 f(0)1231230，不具備在(，)單調(diào)遞增，排除 A，B，D.故選 C.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)方法二(綜合法)：函數(shù) f(x)x13sin 2xasin x 在(，)單調(diào)遞增，f(x)123cos 2xacos x123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x530，即 acos x43cos2x53在(，)恒成立當 cos x0 時，恒有 053，得 aR；當 0cos x1 時， 得 a43cos x53cos x， 令 tcos x， f(

16、t)43t53t在(0,1上為增函數(shù)，得 af(1)13；當1cos x0，因此函數(shù) f(x)在 0,1上單調(diào)遞增，所以 x0,1時，f(x)minf(0)1.根據(jù)題意可知存在 x1,2，使得 g(x)x22ax41，即 x22ax50，即 ax252x能成立，令 h(x)x252x，則要使 ah(x)在 x1,2能成立， 只需使 ah(x)min， 又函數(shù) h(x)x252x在 x1,2上單調(diào)遞減， 所以 h(x)minh(2)94，故只需 a94.【解析 5】：基本法：由三次函數(shù)的值域為 R 知，f(x)0 必有解，A 項正確；因為 f(x)x3ax2bxc 的圖象可由 yx3平移得到，所

17、以 yf(x)的圖象是中心對稱圖形，B項正確；若 yf(x)有極值點，則其導(dǎo)數(shù) yf(x)必有 2 個零點，設(shè)為 x1，x2(x1x2)，則有 f(x)3x22axb3(xx1)(xx2)，所以 f(x)在(，x1)上遞增，在(x1，x2)上遞減，在(x2，)上遞增，則 x2為極小值點，所以 C 項錯誤，D 項正確選 C.【錯誤解析 6】由 f x單調(diào)遞減得： 0fx，故280mxn在122，上恒成立。而28mxn是一次函數(shù)，在122，上的圖像是一條線段。故只須在兩個端點處 10,202ff即可。即 1280,122280,2mnmn，由 212得：10mn。所以，2252mnmn. 選 C。

18、【錯誤原因】mn當且僅當5mn時取到最大值25，而當5mn，,m n不滿足條件 1 , 2。【正確解析 6】同前面一樣,m n滿足條件 1 , 2。由條件 2得：1122mn。于是，211121218222nnmnnn。mn當且僅當3,6mn時取到最大值18。經(jīng)驗證，3,6mn滿足條件 1 , 2。故選B。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)簡單函數(shù)構(gòu)造【例】 函數(shù))(xf的定義域為 R，3) 1(f， 對任意Rx，3)( xf， 則63)( xxf的解集為（）A) 1 , 1(B), 1(C) 1,(D),(【解析】設(shè) 63 xxfxg， 03xfxg所以 xg為減函數(shù)，又0311fg

19、所以根據(jù)單調(diào)性 0 xg的解集是1xx【 例 】 已 知 函 數(shù) yf x是 定 義 在 R 上 的 奇 函 數(shù) ， 且 當0 x 時 ， 不 等 式( )( )0f xxfx成 立 ，若0.30.33(3 )af，b(log 3) (log 3)f，3311(log) (log)99cf，則, ,a b c的大小關(guān)系（）AabcBcbaCcabDacb【解析】設(shè) ( )( )00g xxf xf xxfxgx 0 x 時函數(shù) g x遞減，函數(shù) yf x是定義在 R 上的奇函數(shù)，所以 g x是偶函數(shù)0 x 時 g x遞增，0.331log3log 39，結(jié)合圖像可知cab【例】已知函數(shù)對定義域

20、內(nèi)的任意都有=，且當時其導(dǎo)函數(shù)滿足若，則（）ABCD精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】由題意得，因為函數(shù)對定義域內(nèi)的任意都有=，所以函數(shù)關(guān)于對稱，又當時其導(dǎo)函數(shù)滿足，所以當時，所以在上單調(diào)遞增；當時，所以在上 單 調(diào) 遞 減 ， 因 為， 所 以， 所 以，又在上單調(diào)遞增，所以【例】 設(shè)函數(shù))(xf在R上存在導(dǎo)數(shù))(xf ，Rx， 有2)()(xxfxf， 在), 0( 上xxf)(，若mmfmf48)()4(，則實數(shù)m的取值范圍為（）A2 , 2B), 2 C), 0 D(, 22,) 【解析】設(shè) 212g xfxx因為對任意 2,xR fxf xx，所以， 221122gx

21、g xfxxfxx= 20fxf xx所以，函數(shù) 212g xfxx為奇函數(shù)；又因為，在), 0( 上xxf)(，所以， 當時0 x ， 0gxfxx即函數(shù) 212g xfxx在), 0( 上為減函數(shù)，因 為 函 數(shù) 212g xfxx為 奇 函 數(shù) 且 在R上 存 在 導(dǎo) 數(shù) ， 所 以 函 數(shù) 212g xfxx在R上為減函數(shù)，所以， 221144422gmg mfmmf mm 484fmf mm0所以， 442gmg mmmm所以，實數(shù)m的取值范圍為), 2 故選 B.【練 1】若)(xf的定義域為R，2)( xf恒成立，2) 1(f，則42)(xxf解集為（）A( 1,1)B( 1)，

22、C(, 1) D(,) 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 2】 設(shè))(xf是定義在 R 上的奇函數(shù)， 且0)2(f,當 x0 時， 有2( )( )0 xfxf xx恒成立，則不等式2( )0 x f x 的解集是 （）A.(2,0) (2,+)B.(2,0) (0,2)C.(,2)(2,+)D.(,2)(0,2)【練 3】已知實數(shù), , ,a b c d滿足1112dcbeaa其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則22()()acbd的最小值為（）A4B8C12D18【練 4】設(shè)奇函數(shù)( )f x定義在(,0)(0, )U上，其導(dǎo)函數(shù)為( )fx，且()02f，0 x，( )sin( )c

23、os0fxxf xx,則關(guān)于x的不等式( )2 ()sin6f xfx的解集為【解析 1】設(shè)( )( )24F xf xx，則( )( )2F xfx，因為2)( xf恒成立，所以( )( )20F xfx，即函數(shù)( )F x在 R 上單調(diào)遞增因為( 1)2f ，所以( 1)( 1)2( 1)4Ff2240 所 以 有( )( )240F xf xx， 即( )( )24( 1)F xf xxF所以1x ，即不等式的解集是( 1)，故選 B【解析 2】不等式的解集就是 0 xf的解集，由2( )( )0 xfxf xx恒成立得， 0 xxf, 函 數(shù) xxf為 單 調(diào) 遞 減 函 數(shù) ，0)2

24、(f，當0 x時 ，20 x, 0 xf,2x時， 0 xf,根據(jù)奇函數(shù)，知，當0 x時，2x時， 0 xf，故選 D【解析 3】實數(shù)dcba,滿足1112dcbeaa，aeab2，cd 2因此點ba,在曲線xexy2上，點dc,在曲線xy 2上，22dbca的幾何意義就是曲線xexy2到直線xy 2上點的距離最小值的平方，求曲線精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)xexy2平行于直線xy 2的切線，xey21，令121xey，得0 x，因此切點2, 0 ，切點到直線xy 2的距離2211220d，就是兩曲線的最小距離，22dbca的最小值82d【解析 4】令 sinf xg xx.因為

25、 f x在(,0)(0, )U上為奇函數(shù),所以可得 sinsinsinfxfxfxgxg xxxx.即在(,0)(0, )U上函數(shù) g x為偶函數(shù). 2sincossinfxxf xxgxx,當0 x時( )sin( )cos0fxxf xx,所以當0 x時, 2sincos0sinfxxf xxgxx.即在0,上函數(shù) g x單調(diào)遞增.因為偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,所以在,0上函數(shù) g x單調(diào)遞減.將( )2 ()sin6f xfx變形可得 6sinsin6ff xx,即 6g xg.根據(jù) g x的單調(diào)性及奇偶性可得66x且0 x .即所求解集為(,0)(, )66.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專

26、心-專注-專業(yè)考向五：導(dǎo)數(shù)實際應(yīng)用題【例】用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接成水箱問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？【解析】設(shè)水箱底邊長為cmx，則水箱高為60(cm)2xh 水箱容積3223( )60(0120)(cm )2xVV xx hxx23( )1202V xxx令( )0V x，得0 x （舍）或80 x 當x在(0120)，內(nèi)變化時，導(dǎo)數(shù)( )Vx的正負如下表：x(0 80)，80(80120)，( )Vx0因此在80 x 處，函數(shù)( )V x取得極大值，并且這個極大值就是函數(shù)( )V x

27、的最大值將80 x 代入( )V x，得最大容積323808060128000(cm )2V 【練 1】一火車每小時煤消耗的費用與火車行駛的速度之立方成正比，已知當速度為每小時20千米時，每小時消耗煤之價格為40元，其他費用每小時要200元，問火車行駛的速度如何時，才能使火車從甲城開往乙城的費用最少。 （已知火車的最高速度為每小時100千米）【練 2】某隧道長 2150 米，通過隧道的車速不能超過 20 米/秒一個由 55 輛車身都為10 米的同一車型組成的運輸車隊勻速通過該隧道設(shè)車隊的速度為 x 米/秒，根據(jù)安全和車流的需要，相鄰兩車均保持21()63axx米的距離，其中 a 為常數(shù)且112

28、a，自第一輛車車頭進入隧道至第 55 輛車車尾離開隧道所用時間為 y(秒) （1）將 y 表示為 x 的函數(shù)； （2）求車隊通過隧道所用時間取最小值時車隊的速度精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析 1】設(shè)甲、乙之間的距離為a千米，每小時消耗的煤的費用與火車行駛的速度之間 的 比 例 系 數(shù) 為k， 火 車 行 駛 速 度 為x千 米 / 小 時 ， 總 費 用 為y元 。 則32200200aykxa kxxx。 由 題 意 得 ：34020k， 1200k ， 21200200yaxx(0100)x， 令( )0fx 得310 20 x ， 經(jīng) 檢 驗 ， 當310 20 x 時

29、函數(shù)取極小值3233(10 20)202fa。又3233(100)52(10 20)202fafa，當310 20 x 時函數(shù)取最小值，車行的速度為310 20千米/小時，火車從甲城到乙城的費用最省?！窘馕?2】 （1）y =2121501055()(551)63axxx=27001918. (020,1)2axxax（2）當314a時，y27002918180 318axax當且僅當27009axx，即 x =300a時取等號即當 x =300a時，min180 318ya當1324a時，2270090yax ，故 y = f (x)在(0，20上是減函數(shù)，故當 x = 20 時，min27

30、001801820ya=153 + 180a精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)含參導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)區(qū)間【例】已知1( )2(2)lnf xaxaxx（Ra） ，討論)(xf的單調(diào)區(qū)間【解析】222/) 12)(1(1)2(2)(xxaxxxaaxxf）上單減，）上單增，（，在（21210)(, 0 xfa2/) 12()(, 0 xxxfa， f x在10,2上單增，在1,2上單減02a， f x在10,2和1,a上單增，在1 1,2 a上單減2a ， f x在0,上單增2a ， f x在10,a和1,2上單增，在1 1,2a單減【例】設(shè)0a，討論函數(shù)xaxaaxxf)1 (2)1 (ln

31、)(2的單調(diào)區(qū)間【解析】【例】 (1)討論函數(shù)xx2f(x)x2e的單調(diào)性， 并證明當0 x 時，(2)20 xxex；(2)證明：當0,1)a時，函數(shù)2x =(0)xeaxagxx（ ）有最小值.設(shè)( )g x的最小值為( )h a，求函數(shù)( )h a的值域精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】證明： 2e2xxf xx 22224ee222xxxxfxxxx當x22,，時， 0fx f x在22,，和上單調(diào)遞增0 x 時， 2e0 =12xxfx2 e20 xxx 24e2exxa xxaxagxx4e2e2xxx xaxax322e2xxxaxx01a，由(1)知，當0 x

32、時， 2e2xxf xx的值域為1，只有一解使得2e2ttat ，02t，當(0, )xt時( )0g x，( )g x單調(diào)減；當( ,)xt時( )0g x，( )g x單調(diào)增 222e1ee1e22tttttta tth attt記 e2tk tt， 在0, 2t時 ， 2e102ttk tt， k t單 調(diào) 遞 增 21e24h ak t，【練 1】已知3a ，函數(shù) F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中 minp，q=,ppqq pq.，（1）求使得等式 F（x）=x22ax+4a2 成立的 x 的取值范圍；（2）（i）求 F（x）的最小值 m（a）；（ii）求 F（x）

33、在區(qū)間0,6上的最大值 M（a）.【練 2】已知函數(shù))0(ln)2()(2axxaaxxf， 討論( )f x的單調(diào)性【練 3】設(shè)1a，集合0|xRxA，6)1 (32|2axaxRxB，BAD（1）求集合D（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)axxaxxf6)1 (32)(23在 D 內(nèi)的極值點精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 4】設(shè)函數(shù)( )cos2(1)(cos1)f xaxax，其中0a ，記|( )|f x的最大值為A（1）求( )fx；（2）求A；（3）證明|( )| 2fxA【解析 1】（2）（i）設(shè)函數(shù) 21f xx， 2242g xxaxa，則 min10f xf， 2m

34、in42g xg aaa ，所以，由 F x的定義知 min1 ,m afg a，即 20,32242,22am aaaa（ii）當02x時， Fmax0 ,22F 2xf xff，當26x時， Fmax2 ,6max 2,348max F 2 ,F 6xg xgga所以， 348 ,342,4aaaa【解析 2】212(2)1( )2(2)axa xfxaxaxx=(1)(21)axxx當1122 aa時，( )f x的增區(qū)間為1 1(, )2a，減區(qū)間為110,+ )2（ ，） （ ，a當11=22aa時，( )f x在+（0， ）單減當11022 aa時，( )f x的增區(qū)間為11( ,

35、)2a，減區(qū)間為110,+ )2（ ，） （，a,綜上，2a時，( )f x的增區(qū)間為1 1(, )2a，減區(qū)間為110,+ )2（ ，） （ ，a；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2a時，( )f x在+（0， ）單減；2a時，( )f x的增區(qū)間為11( ,)2a，減區(qū)間為110,+ )2（ ，） （，a；【解析 3】【解析 4】（1）( )2 sin2(1)sinfxaxax （2）當1a 時，|( )| |sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa當01a時，將( )f x變形為2( )2 cos(1)cos1f xaxax令2( )2(

36、1)1g tatat，則A是|( )|g t在 1,1上的最大值，( 1)ga，(1)32ga， 且 當14ata時 ，( )g t取 得 極 小 值 ， 極 小 值 為精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)221(1)61()1488aaaagaaa 令1114aa ，解得13a （舍去），15a 恒成立問題直接討論【例】已知函數(shù) f(x)x33|xa|(aR)(1)若 f(x)在1，1上的最大值和最小值分別記為 M(a)，m(a)，求 M(a)m(a)；(2)設(shè) bR，若f(x)b24 對 x1，1恒成立，求 3ab 的取值范圍【解析】(1)因為 f(x)x33x3a，xa，x33x3

37、a，xa，所以 f(x)3x23，xa，3x23，xa.由于1x1，(i)當 a1 時，有 xa，故 f(x)x33x3a，此時 f(x)在(1，1)上是增函數(shù)，因此，M(a)f(1)43a，m(a)f(1)43a，故 M(a)m(a)(43a)(43a)8.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(ii)當1a1 時，若 x(a，1)，則 f(x)x33x3a.在(a，1)上是增函數(shù)；若 x(1，a)，則 f(x)x33x3a 在(1，a)上是減函數(shù)所以，M(a)maxf(1)，f(1)，m(a)f(a)a3.由于 f(1)f(1)6a2，因此，當1a13時，M(a)m(a)a33a4；當

38、13a1 時，M(a)m(a)a33a2.(iii)當 a1 時，有 xa，故 f(x)x33x3a，此時 f(x)在(1，1)上是減函數(shù)，因此，M(a)f(1)23a，m(a)f(1)23a，故 M(a)m(a)(23a)(23a)4.綜上，M(a)m(a)8，a1，a33a4，1a13，a33a2，13a1，4，a1.(2)令 h(x)f(x)b，則 h(x)x33x3ab，xa，x33x3ab，xa，3x23，xa.因為f(x)b24 對 x1，1恒成立，即2h(x)2 對 x1，1恒成立，所以由(1)知，(i)當 a1 時，h(x)在(1，1)上是增函數(shù)，h(x)在1，1上的最大值是

39、h(1)43ab，最小值是 h(1)43ab，則43ab2 且 43ab2，矛盾(ii)當10，t(a)在0，13 上是增函數(shù)，故 t(a)t(0)2，因此23ab0.(iii)當13a1 時，h(x)在1，1上的最小值是 h(a)a3b，最大值是 h(1)3ab2，所以 a3b2 且 3ab22，解得28273ab0；(iv)當 a1 時，h(x)在1，1上的最大值是 h(1)23ab，最小值是 h(1)23ab，所以 3ab22 且 3ab22，解得 3ab0.綜上，得 3ab 的取值范圍是23ab0.【例】設(shè)函數(shù)( )ln1f xxx（1）討論( )f x的單調(diào)性；（2）證明當(1,)x

40、時，11lnxxx；（3）設(shè)1c ，證明當(0,1)x時，1 (1)xcxc.【解析】（1） 由題設(shè)，( )f x的定義域為(0,)，1( )1fxx， 令( )0fx ， 解得1x .當01x時，( )0fx ，( )f x單調(diào)遞增；當1x 時，( )0fx ，( )f x單調(diào)遞減.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)參變分離【 例 】 已 知 函 數(shù)), 0)(2()(),1ln()(2Raaxxaxgxxf， 若 對)()(, 3xgxfx成立，求實數(shù)a的取值范圍【解析】22)1ln(, 3xxxax，22)1ln(xxxxm）（令2222/)2)(1()1ln()1 (22xxx

41、xxxxxm）（，)1ln()1 (2222xxxxxn）（令則0)0(, 0)1ln(4/nxxxn且）（，故0)(, 0)(/xmxn），在（3)(xm上單增，因此)2ln32,(, 2ln32)3(ama即【練 1】已知函數(shù)2( )ln (0)f xaxxxx a.（1）若函數(shù)滿足(1) 2f,且在定義域內(nèi)2( )2f xbxx恒成立，求實數(shù) b 的取值范圍；（2）若函數(shù)( )f x在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍；精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析 1】 （1）xxxxxfafln)(, 1, 2) 1 (2由題bxxxln11，令xxxxgln11)(，可得

42、)(xg在1 , 0上遞減，在, 1上遞增，所以0) 1 ()(min gxg，即0b（2）)0( ,ln2)(xxaxxfxxaxfln2, 0)(得令，xxxhln)(設(shè)，時當ex exh1)(maxea21當時，函數(shù))(xf在), 0( 單調(diào)遞增ea210若，xaxgxxaxxg12)(),0( ,ln2)(axxg21, 0)(，0)(),21(, 0)(),21, 0(/xgaxxgaxax21時取得極小值即最小值，時而當ea210021ln1)21(aag，必有根0)(/xf，)(xf必有極值，在定義域上不單調(diào).ea21【練 2】設(shè)函數(shù) ln ,212.f xx g xaxf x若

43、對任意 10,02xg x恒成立，求實數(shù)a的最小值；【解析 2】由題：212ln0axx，在102x，時恒成立，即212lnaxx在區(qū)間102，上恒成立，又10 x，2ln21xax在區(qū)間102，上恒成立精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)設(shè)2ln( )21xh xx，102x，222212ln22ln( )11xxxxxh xxx又令 21-22ln0,2m xxxx，則 222222xmxxxx =當102x，時， 0,mxm x單調(diào)遞減， 1422ln222ln202m xm，即 0hx 在區(qū)間102，恒成立，所 以 h x在 區(qū) 間102，單 調(diào) 遞 增 ， 12ln12224l

44、n2122h xh， 故24ln2a 【例】不能參變分離【例】已知函數(shù)( )lnln , ( ),xf xxa g xae其中a為常數(shù)，函數(shù)( )yf x和( )yg x的圖象在它們與坐標軸交點的切線互相平行（1）求a的值； （2）求函數(shù)( )( )(1)F xf xg x的單調(diào)區(qū)間；（3）若不等式( )(1) (1)0 xf xk xf g x在區(qū)間1,)上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析】（1）( )f x與坐標軸交點為( ,0)a，1( )faa，( )g x與坐標軸交點為(0, )a，(0)ga1aa解得1a ，又0a ，故1a （2）由（1）

45、知( )ln , ( )xf xx g xe，1( )ln,(0,)xF xxex1111( )xxxeF xexx令1( )1xh xxe ，顯然函數(shù)( )h x在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減，且(1)0h當(0,1)x時，( )0h x ，( )0F x，( )F x在(0,1)上單調(diào)遞增當(1,)x時，( )0h x ，( )0F x，( )F x在(1,)上單調(diào)遞減故( )F x的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,)（2）原不等式等價于：2ln(1)0 xxk x在區(qū)間1,)上恒成立設(shè)2( )ln(1)(1)xxxk xx則( )ln12xxkx 令( )( )ln12(1)u

46、xxxkx x 112( )2ku xkxx0k 時，( )0,( )u xx在區(qū)間1,)上單調(diào)遞增，( )(1)120 xk ( )x在1,)上單調(diào)遞增，( )(1)0 x不符合題意，舍去當102k時，若1(1,),( )02xu xk則( )x在1(1,)2k上單調(diào)遞增，( )(1)120 xk ( )x在1,)上單調(diào)遞增，( )(1)0 x不符合題意，舍去當12k 時，( )0u x在1,)恒成立，( )x在1,)上單調(diào)遞減( )(1)120 xk ( )x在1,)上單調(diào)遞減( )(1)0 x即2ln(1)0 xxk x對x1,)恒成立，綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是1 ,)2精選優(yōu)質(zhì)文檔

47、-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)兩者均可【例】己知函數(shù)21( )ln,2f xxaxx aR，若關(guān)于 x 的不等式( )1f xax恒成立，求整數(shù) a 的最小值:【解析】方法一：令21( )( )1)ln(1)12g xf xaxxaxa x-(，所以21(1)1( )(1)axa xg xaxaxx當0a時，因為0 x ，所以( )0g x所以( )g x在(0,)上是遞增函數(shù)，又因為213(1)ln11(1) 12022gaaa ，所以關(guān)于x的不等式( )1f xax不能恒成立當0a 時，21()(1)(1)1( )a xxaxa xag xxx ，令( )0g x， 得1xa所以當1(0,

48、 )xa時，( )0g x；當1( ,)xa時，( )0g x，因此函數(shù)( )g x在1(0, )xa是增函數(shù)，在1( ,)xa是減函數(shù)故函數(shù)( )g x的最大值為2111111( )ln( )(1)1ln22gaaaaaaaa 令1( )ln2h aaa， 因 為1(1)02h，1(2)ln204h， 又 因 為( )h a在(0,)a是減函數(shù)所以當2a時，( )0h a 所以整數(shù)a的最小值為 2方法二：由( )1f xax恒成立，得21ln12xaxxax在(0,)上恒成立，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)問題等價于2ln112xxaxx在(0,)上恒成立令2ln1( )12xx

49、g xxx，只 要max( )ag x 因 為221(1)(ln )2( )1()2xxxg xxx， 令( )0g x， 得1ln02xx 設(shè)1( )ln2h xxx ， 因為11( )02h xx ， 所以( )h x在(0,)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)1ln02xx的根為0 x當0(0,)xx時，( )0g x；當0(,)xx時，( )0g x，所以( )g x在0(0,)xx上是增函數(shù)；在0(,)xx上是減函數(shù)所以000max020000011ln112( )()11(1)22xxxg xg xxxxxx因為11( )ln2024h，1(1)02h 所 以0112x， 此 時0112x， 即m

50、ax( )(1,2)g x所以2a，即整數(shù)a的最小值為 2任意存在問題：常見類型（1 1），使得使得，等價于函數(shù)等價于函數(shù)在在上的值域上的值域與與函數(shù)函數(shù)在在上的值域上的值域的交集不空，即的交集不空，即.（2 2）對對，使得使得，等價于函數(shù)等價于函數(shù)在在上的值域上的值域是函數(shù)是函數(shù)在在上的值域上的值域的子集，即的子集，即. .（3 3） 已知已知是在閉區(qū)間是在閉區(qū)間的上連續(xù)函的上連續(xù)函， 則對則對使得使得，等價于等價于（4 4）若對）若對，使，使，等價于，等價于在在上的最小值不上的最小值不小于小于在在上的最小值即上的最小值即minmin)()(xgxf（這里假設(shè)（這里假設(shè)存在）存在）精選優(yōu)質(zhì)文

51、檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【例】 已知函數(shù)21( )ln2f xxax（aR） ，2( )24g xxmx（mR） 當1a 時，若對任意的11,2x ，存在21,2x ，使得12()()f xg x，求實數(shù)m的取值范圍【解析】由題1,2x時，minmin( )( )f xg x1a 時，/1(1)(1)( )0 xxfxxxx( )f x在1,2x為增函數(shù)，min1( )(1)2f xf，222( )24()4g xxmxxmm當1m時，( )g x在區(qū)間1,2上遞增，所以min1( )(1)522g xgm，由1522m解得94m ，舍去；當12m時，2min1( )( )42g xg

52、 mm，解得142m 或142m ，1422m；當2m時，( )g x在區(qū)間1,2上遞減，所以min1( )(2)842g xgm，由1842m解得158m ，2m.綜上，142m 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【例【例】已知函數(shù)，當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.【解析】【解析】依題意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是問題轉(zhuǎn)化為最值問題.當時，所以，則當時，;當時，所以當時，.，當時，可求得，由得這與矛盾.當時，可求得，由得這與矛盾.當時，可求得，由得.綜合得實數(shù)的取值范圍是.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 1】已知函數(shù)和函數(shù)， 若存在， 使得成立，

53、求實數(shù)的取值范圍【解析 1】設(shè)函數(shù)與在上的值域分別為與，依題意.當時，則，所以在上單調(diào)遞增，所以即.當時， 所以單調(diào)遞， 所以即.綜上所述在上的值域.當時，又，所以在在上單調(diào)遞增，所以即，故在上的值域.因為，所以或解得精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 2】已知，它們的定義域都是，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.當，且，函數(shù)，若對任意的，總存在，使，求實數(shù)的取值范圍.【解析 2】 依題實數(shù)的取值范圍就是使得在區(qū)間上的值域是的值域的子集實數(shù)的取值范圍.當時， 由得，故在上 單 調(diào) 遞 減 ， 所 以即， 于 是.因，由得.當時，故在上單調(diào)遞增，所以即，于是.因為，則當且僅當，即.當時，同上可

54、求得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練 3】已知，其中，若對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析 3】 對， 有， 等價于有.當時，所 以在上單 調(diào)遞 增， 所以.因為， 令得，又且，. 當時 ， 所 以在 在上 單 調(diào) 遞 增 ， 所 以.令得這與矛盾。當時，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，所以.令得，又，所以。 當時 ， 所 以在上 單 調(diào) 遞 減 ， 所 以.令得，又，所以。綜合得所求實數(shù)的取值范圍是精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)零點問題參變分離【例】已知函數(shù)mxxxg2ln2)(在1ee,上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍。

55、【解析】 由題xxmln22， 令xxxhln2)(2， 由xxxxh) 1)(1(2)(/， 故)(xh在單增，單減，（1) 1 ,1e，故)2, 2122eem【練】設(shè)函數(shù)( )ln,mf xxmRx討論函數(shù)( )( )3xg xfx零點的個數(shù)；【解析】函數(shù)21( )( )(0)33xmxg xfxxxx令( )0g x ，得31(0)3mxx x 設(shè)31( )(0)3xxx x 2( )1(1)(1)xxxx 當(0,1)x時，( )0 x，此時( )x在(0,1)上單調(diào)遞增；當(1,)x時，( )0 x，此時( )x在(1,)上單調(diào)遞減；所以1x 是( )x的唯一極值點，且是極大值點，

56、因此 x=1 也是( )x的最大值點，( )x的最大值為12(1)133 又(0)0，結(jié)合 y=( )x的圖像（如圖） ，可知精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當23m 時，函數(shù)( )g x無零點；當23m 時，函數(shù)( )g x有且僅有一個零點；203m時，函數(shù)( )g x有兩個零點；0m時，函數(shù)( )g x有且只有一個零點；綜上所述，當23m 時，函數(shù)( )g x無零點；當23m 或0m時，函數(shù)( )g x有且僅有一個零點；當203m時，函數(shù)( )g x有兩個零點零點存在定理【例】已知函數(shù))()(2Rmemxmxgmx，當0m時，若函數(shù))(xg存在cba,三個零點，且cba，求證：c

57、eba01【解析】精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【練】已知函數(shù)1( )ln()f xaxaRx當0a 時，討論函數(shù)( )yf x零點的個數(shù)【解析】21( )axfxx令( )0fx，得1xa所以min1( )= ( )f xfa=1ln(1 ln )aaaaa（）當0ae時，min( )0f x，所以( )f x在定義域內(nèi)無零點；（）當ae時，min( )0f x，所以( )f x在定義域內(nèi)有唯一的零點；（）當ae時，min( )0f x，因為(1)10f ，所以( )f x在增區(qū)間1(,)a內(nèi)有唯一零點；21()(2ln )fa aaa，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)

58、設(shè)( )2lnh aaa，則2( )1h aa ，因為ae，所以( )0h a，即( )h a在( ,)e 上單調(diào)遞增，所以( )( )0h ah e，即21()0fa，所以( )f x在減區(qū)間1(0,)a內(nèi)有唯一的零點所以ae時( )f x在定義域內(nèi)有兩個零點綜上所述：當0ae時，( )f x在定義域內(nèi)無零點；當ae時，( )f x在定義域內(nèi)有唯一的零點；當ae時，( )f x在定義域內(nèi)有兩個零點【例】已知函數(shù) 22 e1xfxxa x(1)討論 fx的單調(diào)性；(2)若 fx有兩個零點,求a的取值范圍.【解析】精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 若2ea , 則21lna, 故 當,

59、1ln2,xa 時 , 0fx , 當1,ln2xa時, 0fx ,所以 f x在,1 , ln2,a單調(diào)遞增,在1,ln2a單調(diào)遞減.(II)(i)設(shè)0a ,則由(I)知, f x在,1單調(diào)遞減,在1,單調(diào)遞增.又 12fefa ，,取 b 滿足 b0 且ln22ba,則 23321022af bba ba bb,所以 f x有兩個零點.(ii)設(shè) a=0,則 2xf xxe所以 f x有一個零點.(iii)設(shè) a0,若2ea ,則由(I)知, f x在1,單調(diào)遞增.又當1x 時, f x0,故 f x不存在兩個零點；若2ea ,則由(I)知, f x在1,ln2a單調(diào)遞減,在ln2,a單調(diào)

60、遞增.又當1x 時 f x0,故 f x不存在兩個零點.綜上,a 的取值范圍為0,.特殊類【例】已知函數(shù).（1）設(shè) a=2,b=.求方程=2 的根;若對任意,不等式恒成立，求實數(shù) m 的最大值；（2）若，函數(shù)有且只有 1 個零點，求 ab 的值.【解析】【解析】（1）因為，所以.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)方程，即，亦即，所以，于是，解得.由條件知.因為對于恒成立，且，所以對于恒成立.而，且，所以，故實數(shù)的最大值為 4.（2）因為函數(shù)只有 1 個零點，而，所以 0 是函數(shù)的唯一零點.因為，又由知，所以有唯一解.令，則，從而對任意，所以是上的單調(diào)增函數(shù)，于是當，；當時，.因而函數(shù)在