大學(xué)物理習(xí)題答案第二章

1、    習(xí)題解答2-1 處于一斜面上的物體，在沿斜面方向的力F作用下，向上滑動。已知斜面長為5.6 m，頂端的高度為3.2 m，F(xiàn)的大小為100 N，物體的質(zhì)量為12 kg，物體沿斜面向上滑動的距離為4.0 m，物體與斜面之間的摩擦系數(shù)為0.24。求物體在滑動過程中，力F、摩擦力、重力和斜面對物體支撐力各作了多少功？這些力的合力作了多少功？將這些力所作功的代數(shù)和與這些力的合力所作的功進行比較，可以得到什么結(jié)論？圖2-3解 物體受力情形如圖2-3所示。力F所作的功  ；摩擦力   ,摩擦力所作的功 ；重力所作的功;支撐力N與物

2、體的位移相垂直，不作功，即；這些功的代數(shù)和為 .物體所受合力為  ,合力的功為.這表明，物體所受諸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代數(shù)和。2-3 物體在一機械手的推動下沿水平地面作勻加速運動，加速度為0.49 m×s-2 。若動力機械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物體與地面的摩擦系數(shù)。解 設(shè)機械手的推力為F沿水平方向，地面對物體的摩擦力為f，在這些力的作用下物體的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式 ,在上式兩邊同乘以v，得 ,上式左邊第一項是推力的功率()。按題意，推力的功率P是摩擦力功

3、率fv的二倍，于是有 .由上式得,又有 ,故可解得 .2-4 有一斜面長5.0 m、頂端高3.0 m，今有一機械手將一個質(zhì)量為1000 kg的物體以勻速從斜面底部推到頂部，如果機械手推動物體的方向與斜面成30°，斜面與物體的摩擦系數(shù)為0.20，求機械手的推力和它對物體所作的功。解 物體受力情況如圖2-4所示。取x軸沿斜面向上，y軸垂直于斜面向上?？梢粤谐鱿旅娴姆匠?(1),(2). (3)圖2-4根據(jù)已知條件,  .由式(2)得.將上式代入式(3)，得 .將上式代入式(1)得 ,由此解得 .推力F所作的功為.圖2-

4、52-5 有心力是力的方向指向某固定點(稱為力心)、力的大小只決定于受力物體到力心的距離的一種力，萬有引力就是一種有心力?，F(xiàn)有一物體受到有心力 的作用(其中m和 a都是大于零的常量)，從rP 到達rQ，求此有心力所作的功，其中rP和rQ是以力心為坐標原點時物體的位置矢量。解 根據(jù)題意，畫出物體在有心力場中運動的示意圖，即圖2-5，物體在運動過程中的任意點C處，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功為, 所以，在物體從點P (位置矢量為rP)到達點Q (位置矢量為rQ)的過程中，f所作的總功為 . 2-6 馬拉著質(zhì)量為100 kg的雪撬以2.0 m×s-1 的勻速率上山

5、，山的坡度為0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬與雪地之間的摩擦系數(shù)為0.10。求馬拉雪撬的功率。解 設(shè)山坡的傾角為a，則 .可列出下面的方程式 , , .式中m、F、f和N分別是雪橇的質(zhì)量、馬的拉力、地面對雪橇的摩擦力和地面對雪橇的支撐力。從以上方程式可解得, , .于是可以求得馬拉雪橇的功率為 .2-7 機車的功率為2.0´106 W，在滿功率運行的情況下，在100 s內(nèi)將列車由靜止加速到20 m×s-1 。若忽略摩擦力，試求：(1)列車的質(zhì)量；(2)列車的速率與時間的關(guān)系；(3)機車的拉力與時

6、間的關(guān)系；(4)列車所經(jīng)過的路程。解 (1)將牛頓第二定律寫為下面的形式,  (1)用速度v點乘上式兩邊，得.式中Fv = P，是機車的功率，為一定值。對上式積分 ,即可得 ,將已知數(shù)據(jù)代入上式，可求得列車的質(zhì)量，為 .(2)利用上面所得到的方程式 ,就可以求得速度與時間的關(guān)系，為 . (2)(3)由式(2)得 ,將上式代入式(1)，得 ,由上式可以得到機車的拉力與時間的關(guān)系.(4)列車在這100秒內(nèi)作復(fù)雜運動，因為加速度也在隨時間變化。列車所經(jīng)過的路程可以用第一章的位移公式(1-11)來求解。對于直線運動，上式可

7、化為標量式，故有.2-8 質(zhì)量為m的固體球在空氣中運動將受到空氣對它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小與球相對于空氣的運動速率成正比，黏性阻力的方向與球的運動方向相反，即可表示為f = -b v，其中b是常量。已知球被約束在水平方向上，在空氣的黏性阻力作用下作減速運動，初始時刻t0 ，球的速度為v0 ，試求：(1)  t時刻球的運動速度v；(2)在從t0 到t的時間內(nèi)，黏性阻力所作的功A。解 (1)根據(jù)已知條件，可以作下面的運算,式中 .于是可以得到下面的關(guān)系,對上式積分可得. (1)當(dāng)t = t0時，v = v0，代入上式可得.將上式代入式(1)，得. (2)(2)在從t

8、0 到t的時間內(nèi)，黏性阻力所作的功可以由下面的運算中得出 .2-9 一個質(zhì)量為30 g的子彈以500 m×s-1 的速率沿水平方向射入沙袋內(nèi)，并到達深度為20 cm處，求沙袋對子彈的平均阻力。解 根據(jù)動能定理，平均阻力所作的功應(yīng)等于子彈動能的增量，即,所以.2-10 以200 N的水平推力推一個原來靜止的小車，使它沿水平路面行駛了5.0 m。若小車的質(zhì)量為100 kg，小車運動時的摩擦系數(shù)為0.10，試用牛頓運動定律和動能定理兩種方法求小車的末速。解 設(shè)水平推力為F，摩擦力為f，行駛距離為s，小車的末速為v。(1)用牛頓運動定律求小車的末速v：列出下面的方程式, 

9、.兩式聯(lián)立求解，解得,將已知數(shù)值代入上式，得到小車的末速為.(2)用動能定理求小車的末速v：根據(jù)動能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示為 .由以上兩式可解得,將已知數(shù)值代入上式，得小車的末速為.2-11 質(zhì)量m = 100 g的小球被系在長度l = 50.0 cm繩子的一端，繩子的另一端固定在點O，如圖2-6所示。若將小球拉到P處，繩子正好呈水平狀，然后將小球釋放。求小球運動到繩子與水平方向成q = 60° 的點Q時，小球的速率v、繩子的張力T和小球從P到Q的過程中重力所作的功A。解 取Q點的勢能為零，則有圖2-6,即,于是求得小球到達Q點時的速率為.設(shè)小球到達Q

10、點時繩子的張力為T，則沿軌道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球從P到Q的過程中的任意一點上，沿軌道切向作位移元ds，重力所作元功可表示為,式中q是沿軌道切向所作位移元ds與豎直方向的夾角。小球從P到Q的過程中重力所作的總功可以由對上式的積分求得.2-12 一輛重量為19.6´103 N的汽車，由靜止開始向山上行駛，山的坡度為0.20，汽車開出100 m后的速率達到36 km×h-1 ，如果摩擦系數(shù)為0.10，求汽車牽引力所作的功。解 設(shè)汽車的牽引力為F，沿山坡向上，摩擦力為f，山坡的傾角為a。將汽車自身看為一個系統(tǒng)，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式 ,

11、(1) ,.根據(jù)已知條件，可以得出 ， ，汽車的質(zhì)量 以及 。從方程(1)可以解得 .汽車牽引力所作的功為 ,將數(shù)值代入，得.2-13 質(zhì)量為1000 kg的汽車以36 km×h-1 的速率勻速行駛，摩擦系數(shù)為0.10。求在下面三種情況下發(fā)動機的功率：(1)在水平路面上行駛；(2)沿坡度為0.20的路面向上行駛；(3)沿坡度為0.20的路面向下行駛。解 (1)設(shè)發(fā)動機的牽引力為F1 ，路面的摩擦力為f。因為汽車在水平路面上行駛，故可列出下面的方程式, .解得 .所以發(fā)動機的功率為.(2)設(shè)汽車沿斜面向上行駛時發(fā)動機的牽引力為F2，可列

12、出下面的方程式 , .解得.發(fā)動機的功率為.(3)汽車沿斜面向下行駛時發(fā)動機的牽引力為F3，其方向與汽車行駛的方向相反。所列的運動方程為,所以,這時發(fā)動機的功率為 .2-14 一個物體先沿著與水平方向成15°角的斜面由靜止下滑，然后繼續(xù)在水平面上滑動。如果物體在水平面上滑行的距離與在斜面上滑行的距離相等，試求物體與路面之間的摩擦系數(shù)。解 設(shè)物體在水平面上滑行的距離和在斜面上滑行的距離都是l，斜面的傾角a = 15°，物體與地球組成的系統(tǒng)是我們研究的對象。物體所受重力是保守內(nèi)力，支撐力N不作功，物體所受摩擦力是非保守內(nèi)力，作負功。以平面為零勢能面

13、，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式,其中 , , 將它們代入上式，可得,所以.圖2-72-15 有一個勁度系數(shù)為1200 N×m-1 的彈簧被外力壓縮了5.6 cm，當(dāng)外力撤除時將一個質(zhì)量為0.42 kg的物體彈出，使物體沿光滑的曲面上滑，如圖2-7所示。求物體所能到達的最大高度h。解 將物體、彈簧和地球劃歸一個系統(tǒng)，并作為我們的研究對象。這個系統(tǒng)沒有外力的作用，同時由于曲面光滑，物體運動也沒有摩擦力，即沒有非保守內(nèi)力的作用，故系統(tǒng)的機械能守恒。彈簧被壓縮狀態(tài)的彈力勢能應(yīng)等于物體達到最大高度h時的重力勢能，即,.2-16 如圖2-8所示，一個質(zhì)量為m = 1.0 kg的木塊，在水平桌

14、面上以v = 3.0 m×s-1 的速率與一個輕彈簧相碰，并將彈簧從平衡位置壓縮了x = 50 cm。如果木塊與桌面之間的摩擦系數(shù)為m = 0.25，求彈簧的勁度系數(shù)k。圖2-8解 以木塊和彈簧作為研究對象，在木塊壓縮彈簧的過程中，系統(tǒng)所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根據(jù)功能原理，可列出下面的方程 ,其中 , 代入上式，并解出彈簧的勁度系數(shù)，得.2-17 一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端懸掛一個質(zhì)量為m的小球，這時平衡位置在點A，如圖2-1所示。現(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸Dx并達到點B的位置，由靜止釋放后小球向上運動，試求小球第一次經(jīng)過點A時的

15、速率。解 此題的解答和相應(yīng)的圖2-1，見前面例題分析中的例題2-1。2-18 一個物體從半徑為R的固定不動的光滑球體的頂點滑下，問物體離開球面時它下落的豎直距離為多大？圖2-9 解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，離開球面時速度為v，此時它下落的豎直距離為h。對于由物體、球體和地球所組成的系統(tǒng)，沒有外力和非保守內(nèi)力的作用，機械能守恒，故有.  (1)在物體離開球體之前，物體在球面上的運動過程中，應(yīng)滿足下面的關(guān)系, (2)式中N是球面對物體的支撐力，q是物體所處位置到球體中心連線與豎直方向的夾角。在物體離開球體的瞬間，由圖2-9可見,并且這時應(yīng)有 ，于是式(2)成為,即.將上式代入式(1)，得

16、60;. 圖2-102-19 已知質(zhì)量為m的質(zhì)點處于某力場中位置矢量為r的地方，其勢能可以表示為，其中k為常量。(1)畫出勢能曲線；(2)求質(zhì)點所受力的形式；(3)證明此力是保守力。解 (1)勢能曲線如圖2-10所示。(2)質(zhì)點所受力的形式可如下求得.可見，質(zhì)點所受的力是與它到力心的距離r的n+1次方成反比的斥力。(3)在這樣的力場中，質(zhì)點沿任意路徑從點P移到點Q，它們的位置矢量分別為rP和rQ，該力所作的功為.這表明，該力所作的功只決定于質(zhì)點的始末位置，而與中間路徑無關(guān)，所以此力是保守力。2-20 已知雙原子分子中兩原子的相互作用的勢能函數(shù)可近似表示為 ,其中m和n都是大于零的常量，r是兩原子中心的距離。試求：(1)&