誤差理論與數(shù)據(jù)處理教程

1、緒 論一、物理實驗課程的地位1、科學(xué)實驗是人們根據(jù)研究的目的，運用科學(xué)儀器，人為地控制、創(chuàng)造或純化某種自然過程，使之按預(yù)期的進程發(fā)展，同時在盡可能減少干擾的情況下進行定性的或定量的觀測，以探求該自然過程變化規(guī)律的一種科學(xué)活動?？茖W(xué)實驗是整個自然科學(xué)的基礎(chǔ)。2、實驗和理論是物理學(xué)的兩大支柱，實驗理論再實驗的模式是物理學(xué)發(fā)展所遵循的基本規(guī)律。物理規(guī)律的研究都以嚴格的實驗事實為基礎(chǔ)，并且不斷受到實驗的檢驗。3、物理實驗的作用：發(fā)現(xiàn)新事實，探索新規(guī)律；檢驗理論，判定理論的適用范圍；測定常數(shù)；推廣應(yīng)用，開拓新領(lǐng)域。實驗是科學(xué)理論的源泉，是工程技術(shù)的源泉。3、地位：大學(xué)物理實驗是對高等學(xué)校學(xué)生進行科學(xué)實驗

2、基本訓(xùn)練的一門獨立的必修基礎(chǔ)實驗課程，是教育部確定的六門主要基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)生進入大學(xué)后受到系統(tǒng)實驗方法和實驗技能訓(xùn)練的開端，是后續(xù)實驗課程的基礎(chǔ)，它在培養(yǎng)學(xué)生用實驗手段去發(fā)現(xiàn)、觀察、分析和研究問題，最終解決問題的能力方面，在培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實驗素質(zhì)和創(chuàng)新能力方面將起重要的作用。二、物理實驗課程的目的和任務(wù)通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，學(xué)習(xí)物理實驗知識，加深對物理學(xué)原理的理解，提高對科學(xué)實驗重要性的認識。培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實驗?zāi)芰ΑＦ渲邪ǎ耗軌蛲ㄟ^閱讀實驗教材或資料，作好實驗前的準備；能夠借助教材或儀器說明書正確使用常用儀器；能夠運用物理學(xué)理論對實驗現(xiàn)象進行初步的分析判

3、斷；能夠正確記錄和處理實驗數(shù)據(jù)，繪制實驗曲線，說明實驗結(jié)果，撰寫合格的實驗報告；能夠完成簡單的具有設(shè)計性內(nèi)容的實驗。培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實驗素養(yǎng)，要求學(xué)生具有理論聯(lián)系實際和實事求是的科學(xué)作風(fēng)，嚴肅認真的工作態(tài)度，主動研究的探索精神，遵守紀律、團結(jié)協(xié)作和愛護公共財產(chǎn)的優(yōu)良品德。三、物理實驗課程的三個主要教學(xué)環(huán)節(jié)1.實驗預(yù)習(xí)實驗?zāi)芊袢〉弥鲃拥年P(guān)鍵明確實驗?zāi)康?，預(yù)習(xí)實驗原理，了解實驗注意事項。預(yù)習(xí)報告是實驗工作的前期準備，是寫給自己參考用的，故要求簡單明了。實驗前應(yīng)清楚本次實驗應(yīng)達到什么目的，通過什么實驗方法和測量哪些數(shù)據(jù)才能實現(xiàn)實驗的目的。預(yù)習(xí)報告內(nèi)容：實驗名稱；原理簡圖（電路圖或光路圖）；列出記

4、錄數(shù)據(jù)表格（分清已知量、指定量、待測量和單位）。未完成預(yù)習(xí)和預(yù)習(xí)報告者，教師有權(quán)停止其實驗或成績降檔！2.實驗操作遵守實驗室規(guī)則；了解實驗儀器的使用及注意事項；正式測量之前可作試驗性探索操作；仔細觀察和認真分析實驗現(xiàn)象；如實記錄實驗數(shù)據(jù)和現(xiàn)象(用鋼筆或圓珠筆記錄數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)不得改動?。?；上機處理核驗實驗數(shù)據(jù)；整理儀器，清掃實驗室。進實驗室做實驗，其實驗者序號必須與儀器組號一一對應(yīng)！離開實驗室前，數(shù)據(jù)記錄須經(jīng)教師審閱簽名。3.實驗報告實驗的簡明總結(jié)實驗報告是寫給同行看的，所以必須充分反映自己的工作收獲和結(jié)果，反映自己的能力水平，要有自己的特色，要有條理性，并注意運用科學(xué)術(shù)語，一定要有實驗的結(jié)論

5、和對實驗結(jié)果的討論、分析或評估。實驗原理要簡明扼要，要有必要的電路圖或光路圖，要有主要的數(shù)據(jù)處理過程，一定要列出實驗結(jié)果，尤其是利用作圖求得的一些物理量。實驗報告內(nèi)容為：實驗名稱；實驗?zāi)康?；原理簡述（原理圖、電路圖或光路圖，以及主要計算公式等）；主要實驗儀器設(shè)備；實驗數(shù)據(jù)表格、數(shù)據(jù)處理計算主要過程、作圖及實驗結(jié)論；實驗現(xiàn)象分析、誤差評估、小結(jié)和討論。實驗報告（含預(yù)習(xí)報告）必須在下一次實驗時交教師批閱！預(yù)習(xí)報告、數(shù)據(jù)記錄和實驗報告均用實驗報告紙!第一章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理物理實驗的任務(wù)不僅是定性地觀察各種自然現(xiàn)象，更重要的是定量地測量相關(guān)物理量。而對事物定量地描述又離不開數(shù)學(xué)方法和進行實驗數(shù)據(jù)的

6、處理。因此，誤差分析和數(shù)據(jù)處理是物理實驗課的基礎(chǔ)。本章將從測量及誤差的定義開始，逐步介紹有關(guān)誤差和實驗數(shù)據(jù)處理的方法和基本知識。誤差理論及數(shù)據(jù)處理是一切實驗結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門獨立的學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)事業(yè)的發(fā)展，近年來誤差理論基本的概念和處理方法也有很大發(fā)展。誤差理論以數(shù)理統(tǒng)計和概率論為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究誤差性質(zhì)、規(guī)律及如何消除誤差。實驗中的誤差分析，其目的是對實驗結(jié)果做出評定，最大限度的減小實驗誤差，或指出減小實驗誤差的方向，提高測量質(zhì)量，提高測量結(jié)果的可信賴程度。對低年級大學(xué)生，這部分內(nèi)容難度較大，本課程盡限于介紹誤差分析的初步知識，著重點放在幾個重要概念

7、及最簡單情況下的誤差處理方法，不進行嚴密的數(shù)學(xué)論證，減小學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有利于學(xué)好物理實驗這門基礎(chǔ)課程。第一節(jié)測量與誤差物理實驗不僅要定性的觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。因此就需要進行定量的測量，以取得物理量數(shù)據(jù)的表征。對物理量進行測量，是物理實驗中極其重要的一個組成部分。對某些物理量的大小進行測定，實驗上就是將此物理量與規(guī)定的作為標準單位的同類量或可借以導(dǎo)出的異類物理量進行比較，得出結(jié)論，這個比較的過程就叫做測量。例如，物體的質(zhì)量可通過與規(guī)定用千克作為標準單位的標準砝碼進行比較而得出測量結(jié)果；物體運動速度的測定則必須通過與二個不同的物理量，即長度和時間的標準單位進行比

8、較而獲得。比較的結(jié)果記錄下來就叫做實驗數(shù)據(jù)。測量得到的實驗數(shù)據(jù)應(yīng)包含測量值的大小和單位，二者是缺一不可的。國際上規(guī)定了七個物理量的單位為基本單位。其它物理量的單位則是由以上基本單位按一定的計算關(guān)系式導(dǎo)出的。因此，除基本單位之外的其余單位均稱它們?yōu)閷?dǎo)出單位。如以上提到的速度以及經(jīng)常遇到的力、電壓、電阻等物理量的單位都是導(dǎo)出單位。一個被測物理量，除了用數(shù)值和單位來表征它外，還有一個很重要的表征它的參數(shù)，這便是對測量結(jié)果可靠性的定量估計。這個重要參數(shù)卻往往容易為人們所忽視。設(shè)想如果得到一個測量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測量結(jié)果還有什么價值呢？因此，從表征被測量這個意義上來說，對測量結(jié)果可靠性的定

9、量估計與其數(shù)值和單位至少具有同等的重要意義，三者是缺一不可的。測量可以分為兩類。按照測量結(jié)果獲得的方法來分，可將測量分為直接測量和間接測量兩類，而從測量條件是否相同來分，又有所謂等精度測量和不等精度測量。根據(jù)測量方法可分為直接測量和間接測量。直接測量就是把待測量與標準量直接比較得出結(jié)果。如用米尺測量物體的長度，用天平稱量物體的質(zhì)量，用電流表測量電流等，都是直接測量。間接測量借助函數(shù)關(guān)系由直接測量的結(jié)果計算出所謂的物理量。例如已知了路程和時間，根據(jù)速度、時間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進，很多原來只能間接測量的量，現(xiàn)在

10、可以直接測量了。比如電能的測量本來是間接測量，現(xiàn)在也可以用電度表來進行直接測量。物理量的測量，大多數(shù)是間接測量，但直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。根據(jù)測量條件來分，有等精度測量和非等精度測量。等精度測量是指在同一（相同）條件下進行的多次測量，如同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環(huán)境條件相同，等精度測量每次測量的可靠程度相同。反之，若每次測量時的條件不同，或測量儀器改變，或測量方法、條件改變。這樣所進行的一系列測量叫做非等精度測量，非等精度測量的結(jié)果，其可靠程度自然也不相同。物理實驗中大多采用等精度測量。應(yīng)該指出：重復(fù)測量必須是重復(fù)進行測量的整個操作過程，而不是僅僅為重復(fù)讀數(shù)。測量儀器是進行測量的

11、必要工具。熟悉儀器性能。掌握儀器的使用方法及正確進行讀數(shù)，是每個測量者必備的基礎(chǔ)知識。如下簡單介紹儀器精密度、準確度和量程等基本概念。儀器精密度是指儀器的最小分度相當?shù)奈锢砹?。儀器最小的分度越小，所測量物理量的位數(shù)就越多，儀器精密度就越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般來講應(yīng)在儀器最小分度范圍內(nèi)再進行估計讀出一位數(shù)字。如具有毫米分度的米尺，其精密度為1毫米，應(yīng)該估計讀出到毫米的十分位；螺旋測微器的精密度為0.01毫米，應(yīng)該估計讀出到毫米的千分位。 儀器準確度是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。它一般標在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學(xué)儀表所標示的級別就是該儀器的準確度。對于沒有標明準確度的儀器，可粗略

12、地取儀器最小的分度數(shù)值或最小分度數(shù)值的一半，一般對連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小分度數(shù)值的一半，對非連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小的分度數(shù)值。在制造儀器時，其最小的分度數(shù)值是受儀器準確度約束的，對不同的儀器準確度是不一樣的，對測量長度的常用儀器米尺、游標卡尺和螺旋測微器它們的儀器準確度依次提高。量程是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時也將所能測量的最大值稱量程）測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。誤差與偏差測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多種因素的限制，只

13、能獲得該物理量的近似值，也就是說，一個被測量值N與真值N0之間總是存在著這種差值，這種差值稱為測量誤差，即NNN0顯然誤差N有正負之分，因為它是指與真值的差值，常稱為絕對誤差。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！誤差存在于一切測量之中，測量與誤差形影不離，分析測量過程中產(chǎn)生的誤差，將影響降低到最低程度，并對測量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計，是實驗中的一項重要工作，也是實驗的基本技能。實驗總是根據(jù)對測量結(jié)果誤差限度的一定要求來制定方案和選用儀器的，不要以為儀器精度越高越好。因為測量的誤差是各個因素所引起的誤差的總合，要以最小的代價來取得最好的結(jié)果，要合理的設(shè)計實驗方案，選擇儀器，確定采用這種或那種測

14、量方法。如比較法、替代法、天平復(fù)稱法等，都是為了減小測量誤差；對測量公式進行這樣或那樣的修正，也是為了減少某些誤差的影響；在調(diào)節(jié)儀器時，如調(diào)儀器使其處于鉛直、水平狀態(tài)，要考慮到什么程度才能使它的偏離對實驗結(jié)果造成的影響可以忽略不計；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起誤差的大小。在測量過程中某些對結(jié)果影響大的關(guān)鍵量，就要努力想辦法將它測準；有的測量不太準確對結(jié)果沒有什么影響，就不必花太多的時間和精力去對待，在進行處理數(shù)據(jù)時，某個數(shù)據(jù)取到多少位，怎樣使用近似公式，作圖時坐標比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等，都要考慮到引入誤差的大小。由于客觀條件所限、人們認識的局限性，測量不可能獲得待測

15、量的真值，只能是近似值。設(shè)某個物理量真值為x0 ，進行n 次等精度測量，測量值分別為x1，x2， xn，（測量過程無明顯的系統(tǒng)誤差）。它們的誤差為 求和 即 當測量次數(shù)n，可以證明0, 而且是的最佳估計值，稱為測量值的近似真實值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實值的差值為偏差：即 。偏差又叫做“殘差”。實驗中真值得不到，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準確知道，實驗誤差分析中要經(jīng)常計算這種偏差，用偏差來描述測量結(jié)果的精確程度。相對誤差絕對誤差與真值之比的百分數(shù)叫做相對誤差。用表示：由于真值無法知道，所以計算相對誤差時常用代替。在這種情況下，可能是公認值，或高一級精密儀器的測量值，或測量值

16、的平均值。相對誤差用來表示測量的相對精確度，相對誤差用百分數(shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。系統(tǒng)誤差與隨機誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。系統(tǒng)誤差 是指在一定條件下多次測量的結(jié)果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個方面：（1）儀器誤差。它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差；（2）理論誤差。它是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒灄l件不能達到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。它是由于觀測者本人生理或心理特點造成的誤差。例如，用“落球法”測量重力加速

17、度，由于空氣阻力的影響，多次測量的結(jié)果總是偏小，這是測量方法不完善造成的誤差；用停表測量運動物體通過某一段路程所需要的時間，若停表走時太快，即使測量多次，測量的時間t總是偏大為一個固定的數(shù)值，這是儀器不準確造成的誤差；在測量過程中，若環(huán)境溫度升高或降低，使測量值按一定規(guī)律變化，是由于環(huán)境因素變化引起的誤差。在任何一項實驗工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減、小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對測量結(jié)果進行修正。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實驗條件和實驗方法，反復(fù)進行對比，系統(tǒng)誤差的消除或減小是比較復(fù)雜的一個問題，沒有固定不變的方法，要具體問題具體分析各個擊破。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因可能不止

18、一個，一般應(yīng)找出影響的主要因素，有針對性地消除或減小系統(tǒng)誤差。以下介紹幾種常用的方法。檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗取得修正值，以便對某一物理量測量后進行修正的一種方法。替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標準量替換被測量來減小系統(tǒng)誤差的一種方法。如消除天平的兩臂不等對待測量的影響可用此辦法。異號法：指對實驗時在兩次測量中出現(xiàn)符號相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動180°再進行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負的附加誤差。兩次測量結(jié)果平均，正負誤差可以抵消，從中可以

19、減小系統(tǒng)誤差。隨機誤差 在實際測量條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值符號的變化，時大時小、時正時負，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機誤差，有時也叫偶然誤差。當測量次數(shù)很多時，隨機誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實踐和理論都已證明，隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布），其特點是：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱性）；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機誤差，但不能完全消除。引起隨機誤差的原因也很多。儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。

20、如儀器顯示數(shù)值的估計讀數(shù)位偏大和偏??；儀器調(diào)節(jié)平衡時，平衡點確定不準；測量環(huán)境擾動變化以及其他不能預(yù)測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾，電源電壓波動引起測量的變化等。由于測量者過失，如實驗方法不合理，用錯儀器，操作不當，讀錯數(shù)值或記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采用嚴肅認真的態(tài)度，過失誤差是可以避免的。實驗中，精密度高是指隨機誤差小，而數(shù)據(jù)很集中；準確度高是指系統(tǒng)誤差小，測量的平均值偏離真值??；精確度高是指測量的精密度和準確度都高。數(shù)據(jù)集中而且偏離真值小，即隨機誤差和系統(tǒng)誤差都小。測量的精密度、準確度和精確度測量的精密度、準確度和精確度都是評價測量結(jié)果的

21、術(shù)語，但目前使用時其涵義并不盡一致，以下介紹較為普遍采用的意見。測量精密度表示在同樣測量條件下，對同一物理量進行多次測量，所得結(jié)果彼此間相互接近的程度，即測量結(jié)果的重復(fù)性、測量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測量精密度是測量偶然誤差的反映。測量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。測量準確度表示測量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系統(tǒng)誤差的反映。測量準確度高，則測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶然誤差的大小不確定。測量精確度則是對測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評定。精確度高，測量數(shù)據(jù)較集中在真值附近，測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小。隨機誤差的估算對某一測量進行多次

22、重復(fù)測量，其測量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，也就是正態(tài)分布（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個參量（x和）來估算隨機誤差。設(shè)在一組測量值中，n 次測量的值分別為：1算術(shù)平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測量的算術(shù)平均值 （1）是待測量真值的最佳估計值。稱為近似真實值，以后我們將用來表示多次測量的近似真實值。2標準偏差誤差理論證明，平均值的標準偏差 （貝塞爾公式） （2）其意義表示某次測量值的隨機誤差在之間的概率為68.3。算術(shù)平均值的標準偏差當測量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標準偏差為 （3）其意義是測量平均值的隨機誤差在之間的概率為68.3%?；蛘哒f，待測量的真值在范圍內(nèi)的概率為68.3。因此

23、反映了平均值接近真值的程度。標準偏差 標準偏差小表示測量值密集，即測量的精密度高；標準偏差大表示測量值分散，即測量的精密度低。估計隨機誤差還有用算術(shù)平均誤差、2、3等其它方法來表示的。異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標準有幾種，有3準則、肖維準則、格拉布斯準則等。13準則統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差超過3的概率已小于1。因此，可以認為偏差超過3的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差 和標準偏差，把其中最大的與3比較，若3，則認為第j個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除后，對余下的各測量值重新計算偏差和標準偏差，并繼續(xù)審查

24、，直到各個偏差均小于3為止。2肖維準則假定對一物理量重復(fù)測量了n次，其中某一數(shù)據(jù)在這n次測量中出現(xiàn)的幾率不到半次，即小于，則可以肯定這個數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不合理的，應(yīng)當予以剔除。根據(jù)肖維準則，應(yīng)用隨機誤差的統(tǒng)計理論可以證明，在標準誤差為的測量列中，若某一個測量值的偏差等于或大于誤差的極限值，則此值應(yīng)當剔出。不同測量次數(shù)的誤差極限值列于下表。表1 肖維系數(shù)表nnn41.53101.96162.1651.65112.00172.1861.73122.04182.2071.79132.07192.2281.86142.10202.2491.92152.13302.39 格拉布斯（Grubbs）準則若有一組

25、測量得出的數(shù)值，其中某次測量得出數(shù)值的偏差的絕對值|與該組測量列的標準偏差之比大于某一閾值，即|>·則認為此測量值中有異常數(shù)據(jù)，并可予以剔除。這里中的n為測量數(shù)據(jù)的個數(shù)。而 p為服從此分布的置信概率。一般取 p為0.95和0.99（至于在處理具體問題時，究竟取哪個值則由實驗者自己來決定）。我們將在表2中給出p0.95和0.99時或1p0.05和0.01時，對不同的n值所對應(yīng)的g0值。表2 值表1p n0.050.011p n0.050.0131.151.15172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.532.8561.821.94202.

26、562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70452.913.29162.442.75502.963.34第二節(jié) 測量結(jié)果的評定和不確定度測量的目的是不但要測量待測物理量的近似值，而且要對近似真實值的可靠性做出評定（即指出誤差范圍），這就要求我們還必須掌握不確定度的有關(guān)概念。下面將結(jié)合對測量結(jié)果的評

27、定對不確定度的概念、分類、合成等問題進行討論。一、不確定度的含義在物理實驗中，常常要對測量的結(jié)果做出綜合的評定，采用不確定度的概念。不確定度是“誤差可能數(shù)值的測量程度”，表征所得測量結(jié)果代表被測量的程度。也就是因測量誤差存在而對被測量不能肯定的程度，因而是測量質(zhì)量的表征，用不確定度對測量數(shù)據(jù)做出比較合理的評定。對一個物理實驗的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個范圍，測量值與真值之差（誤差）可能落于其中，不確定度小，測量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測量結(jié)果可信賴程度低。在實驗和測量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質(zhì)疑，是作為估計而言的；因為誤差是未知的，不

28、可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測量結(jié)果的性質(zhì)和測量的質(zhì)量。用不確定度評定實驗結(jié)果的誤差，其中包含了各種來源不同的誤差對結(jié)果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準確地表述了測量結(jié)果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。二、測量結(jié)果的表示和合成不確定度在做物理實驗時，要求表示出測量的最終結(jié)果。在這個結(jié)果中既要包含待測量的近似真實值，又要包含測量結(jié)果的不確定度，還要反映出物理量的單位。因此，要寫成物理含意深刻的標準表達形式，即（單位）式中x為待測量；是測量的近似真實值,是合成不確定度，一般保留一位有

29、效數(shù)字。這種表達形式反應(yīng)了三個基本要素：測量值、合成不確定度和單位。在物理實驗中，直接測量時若不需要對被測量進行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術(shù)平均值作為近似真實值；若在實驗中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就為被測量的近似真實值。如果要求對被測量進行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對值和符號都確定的可估計出的誤差分量）從算術(shù)平均值或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結(jié)果的近似真實值。例如，用螺旋測微器來測量長度時，從被測量結(jié)果中減去螺旋測微器的零誤差。在間接測量中, 即為被測量的計算值。在測量結(jié)果的標準表達式中，給出了一個范圍，它表示待測量的真值在范圍之間

30、的概率為68.3, 不要誤認為真值一定就會落在之間。認為誤差在之間是錯誤的。在上述的標準式中，近似真實值、合成不確定度、單位三個要素缺一不可，否則就不能全面表達測量結(jié)果。同時，近似真實值的末尾數(shù)應(yīng)該與不確定度的所在位數(shù)對齊，近似真實值與不確定度的數(shù)量級、單位要相同。在開始實驗中，測量結(jié)果的正確表示是一個難點，要引起重視，從開始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實驗習(xí)慣，才能逐步克服難點，正確書寫測量結(jié)果的標準形式。在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機誤差等方面進行綜合考慮的，提出了統(tǒng)計不確定度和非統(tǒng)計不確定度的概念。合成不確定度是由不確定度的兩類分量（A類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡

31、化，本書只討論簡單情況下（即A類、B類分量保持各自獨立變化，互不相關(guān)）的合成不確定度。A 類不確定度（統(tǒng)計不確定度）用表示，B類不確定度（非統(tǒng)計不確定度）用表示，合成不確定度為 三、合成不確定度的兩類分量物理實驗中的不確定度，一般主要來源于測量方法、測量人員、環(huán)境波動、測量對象變化等等。計算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類，即用統(tǒng)計方法計算的不確定度（A類）和非統(tǒng)計方法計算的不確定度（B類）。A類 統(tǒng)計不確定度，是指可以采用統(tǒng)計方法（即具有隨機誤差性質(zhì)）計算的不確定度，如測量讀數(shù)具有分散性，測量時溫度波動影響等等。這類統(tǒng)計不確定度通常認為它是服從正態(tài)分布規(guī)

32、律，因此可以像計算標準偏差那樣，用“貝塞爾公式”計算被測量的A類不確定度。A類不確定度為 式中i1 , 2 , 3 , n , 表示測量次數(shù)。在計算A類不確定度時，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數(shù)分散對應(yīng)的不確定度。用“貝塞爾公式”計算A類不確定度，可以用函數(shù)計算器直接讀取，十分方便。B類 非統(tǒng)計不確定度，是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，如實驗室中的測量儀器不準確，量具磨損老化等等。評定B類不確定度常用估計方法，要估計適當，需要確定分布規(guī)律，同時要參照標準，更需要估計者的實踐經(jīng)驗、學(xué)識水平等。因此，往往是意見紛紜，爭論頗多。本書對B類

33、不確定度的估計同樣只作簡化處理。儀器不準確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準確對應(yīng)的B類不確定度為 為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數(shù)值誤差。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計量檢定部門給定。物理實驗教學(xué)中，由實驗室提供。對于單次測量的隨機誤差一般是以最大誤差進行估計，以下分兩種情況處理。已知儀器準確度時，這時以其準確度作為誤差大小。如一個量程150mA，準確度0.2級的電流表，測某一次電流，讀數(shù)為131.2mA。為估計其誤差，則按準確度0.2級可算出最大絕對誤差為0.3mA，因而該次測量的結(jié)果可寫成I131.2±0.3mA。又如用物理天平

34、稱量某個物體的質(zhì)量，當天平平衡時砝碼為P145.02克，讓游碼在天平橫梁上偏離平衡位置一個刻度（相當于0.05克），天平指針偏過1.8分度，則該天平這時的靈敏度為（1.8÷0.05）分度/克，其感量為0.03克/分度，就是該天平稱衡物體質(zhì)量時的準確度，測量結(jié)果可寫成P145.02±0.03克。未知儀器準確度時，這時單次測量誤差的估計，應(yīng)根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力以及觀測時的環(huán)境條件等因素具體考慮，以使估計誤差的大小盡可能符合實際情況。一般說，最大讀數(shù)誤差對連續(xù)讀數(shù)的儀器可取儀器最小刻度值的一半，而無法進行估計的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，

35、則取其最末位數(shù)的一個最小單位。四、直接測量的不確定度在對直接測量的不確定度的合成問題中，對A類不確定度主要討論在多次等精度測量條件下，讀數(shù)分散對應(yīng)的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計算A類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器不準確對應(yīng)的不確定度，將測量結(jié)果寫成標準形式。因此，實驗結(jié)果的獲得，應(yīng)包括待測量近似真實值的確定，A、B兩類不確定度以及合成不確定度的計算。增加重復(fù)測量次數(shù)對于減小平均值的標準誤差，提高測量的精密度有利。但是注意到當次數(shù)增大時，平均值的標準誤差減小漸為緩慢，當次數(shù)大于十時平均值的減小便不明顯了。通常取測量次數(shù)為五至十為宜。下面通過兩個例子加以說明。例1采用感量為0.1g的物

36、理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g ,求物體質(zhì)量的測量結(jié)果。解：采用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進行單次測量即可。單次測量的讀數(shù)即為近似真實值，m35.41g。物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即 0.05（g）測量結(jié)果為 m35.41±0.05（g）在例1中，因為是單次測量（n1）,合成不確定度中的0 ,所以即單次測量的合成不確定度等于非統(tǒng)計不確定度。但是這個結(jié)論并不表明單次測量的就小，因為 n 1時,發(fā)散。其隨機分布特征是客觀存在的，測量次數(shù)n越大，置信概率就越高，因而測量的平均值就越接近真值。例2用螺旋測微器測量小

37、鋼球的直徑，五次的測量值分別為d（mm）11.922,11.923,11.922,11.922,11.922螺旋測微器的最小分度數(shù)值為0.01mm 試寫出測量結(jié)果的標準式。解：（1）求直徑 d 的算術(shù)平均值 （2）計算B類不確定度螺旋測微器的儀器誤差為0.005（mm） 0.005（mm）（3）計算A類不確定度 （4）合成不確定度 式中，由于0.0005×0.005 , 故可略去,于是： 0.005（mm）5測量結(jié)果為 從上例中可以看出，當有些不確定度分量的數(shù)值很小時，相對而言可以略去不計。在計算合成不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的，則這一項就可以略去不計。這一

38、結(jié)論叫做微小誤差準則。在進行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準則可減少不必要的計算。不確定度的計算結(jié)果，一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則進行取舍。評價測量結(jié)果，有時候需要引入相對不確定度的概念。相對不確定度定義為 的結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。此外，有時候還需要將測量結(jié)果的近似真實值與公認值進行比較，得到測量結(jié)果的百分偏差B。百分偏差定義為 百分偏差其結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。測量不確定度表達涉及到深廣的知識領(lǐng)域和誤差理論問題，大大超出了本課程的教學(xué)范圍。同時，有關(guān)它的概念、理論和應(yīng)用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，我們在教學(xué)中也在進行摸索，以期在保證科學(xué)性的前提下，盡量把方法簡化

39、，為初學(xué)者易于接受。教學(xué)重點放在建立必要的概念，有一個初步的基礎(chǔ)。以后在工作需要時，可以參考有關(guān)文獻繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。 五、間接測量結(jié)果的合成不確定度間接測量的近似真實值和合成不確定度是由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計算出來的，既然直接測量有誤差，那么間接測量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測量值及其誤差來計算間接測量值的誤差之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測量的函數(shù)式為 NF（x , y , z , ）N為間接測量的量，它有K個直接測量的物理量x , y , z , ，各直接觀測量的測量結(jié)果分別為（1）若將各個直接測量量的近似真實值代入函數(shù)表達式中，即可得到間接測量的近似真實值。 （2）求間

40、接測量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對函數(shù)式NF（x , y , z , ）求全微分，即得 式中dN , dx , dy , dz , 均為微小量，代表各變量的微小變化，dN 的變化由各自變量的變化決定,為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù),記為。將上面全微分式中的微分符號d改寫為不確定度符號，并將微分式中的各項求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度 （4）K為直接測量量的個數(shù)，A代表 x , y , z , 各個自變量（直接觀測量）。上式表明，間接測量的函數(shù)式確定后，測出它所包含的直接觀測量的結(jié)果，將各個直接觀測量的不確定度乘以函數(shù)對各變量（直測量）的偏導(dǎo)數(shù)，求“方和根

41、”，即就是間接測量結(jié)果的不確定度。當間接測量的函數(shù)表達式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時，為了使運算簡便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即 同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度，即 （5）已知、，由（5）式可以求出合成不確定度 （6）這樣計算間接測量的統(tǒng)計不確定度時，特別對函數(shù)表達式很復(fù)雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。今后在計算間接測量的不確定度時，對函數(shù)表達式僅為“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出間接測量的合成不確定度，若函數(shù)表達式為積和商（或積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（5）式，先求出相對不確定度，再

42、求出合成不確定度。例1已知電阻50.2±0.5（）, 149.8±0.5（）, 求它們串聯(lián)的電阻R和合成不確定度。解：串聯(lián)電阻的阻值為R50.2149.8200.0（）合成不確定度 相對不確定度 測量結(jié)果為 R200.0±0.7（）在例1中，由于 R的總合成不確定度為各個直接觀測量的不確定度平方求和后再開方。間接測量的不確定度計算結(jié)果一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，相對不確定度一般應(yīng)保留2 位有效數(shù)字。例2測量金屬環(huán)的內(nèi)徑2.880±0.004（cm），外徑3.600±0.004（cm）, 厚度 h2.575±0.004（cm）。試求環(huán)的體積

43、V和測量結(jié)果。解：環(huán)體積公式為 （1）環(huán)體積的近似真實值為 （2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分 則相對不確定度為 （3）總合成不確定度為（4）環(huán)體積的測量結(jié)果為 V9.440.08V的標準式中，應(yīng)與不確定度的位數(shù)取齊，因此將小數(shù)點后的第三位數(shù)6，按照數(shù)字修約原則進到百分位，故為9.44。 間接測量結(jié)果的誤差，常用兩種方法來估計：算術(shù)合成（最大誤差法）和幾何合成（標準誤差）。誤差的算術(shù)合成將各誤差取絕對值相加，是從最不利的情況考慮，誤差合成的結(jié)果是間接測量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計算較為簡單，它常用于誤差分析、實驗設(shè)計或粗略的誤差計算中；上面例子采用幾何合成的方法，計

44、算較麻煩，但誤差的幾何合成較為合理。 第三節(jié) 有效數(shù)字及其運算法則物理實驗中經(jīng)常要記錄很多測量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)當是能反映出被測量實際大小的全部數(shù)字，即有效數(shù)字。但是在實驗觀測、讀數(shù)、運算與最后得出的結(jié)果中。哪些是能反映被測量實際大小的數(shù)字應(yīng)予以保留，哪些不應(yīng)當保留，這就與有效數(shù)字及其運算法則有關(guān)。前面已經(jīng)指出，測量不可能得到被測量的真實值，只能是近似值。實驗數(shù)據(jù)的記錄反映了近似值的大小,并且在某種程度上表明了誤差。因此，有效數(shù)字是對測量結(jié)果的一種準確表示，它應(yīng)當是有意義的數(shù)碼，而不允許無意義的數(shù)字存在。如果把測量結(jié)果寫成54.2817±0.05（cm）是錯誤的，由不確定度0.05（c

45、m）可以得知，數(shù)據(jù)的第二位小數(shù)0.08 已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多大意義，正確的寫法應(yīng)當是：54.28±0.05（cm）。測量結(jié)果的正確表示，對初學(xué)者來說是一個難點，必須加以重視，多次強調(diào)，才能逐步形成正確表示測量結(jié)果的良好習(xí)慣。一、有效數(shù)字的概念任何一個物理量，其測量的結(jié)果既然都或多或少的有誤差，那么一個物理量的數(shù)值就不應(yīng)當無止境的寫下去，寫多了沒有實際意義，寫少了有不能比較真實的表達物理量。因此，一個物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的某一個數(shù)就有著不同的意義，這就引入了一個有效數(shù)字的概念。若用最小分度值為1mm的米尺測量物體的長度，讀數(shù)值為5.63cm。其中5和6這兩個數(shù)字是從米

46、尺的刻度上準確讀出的，可以認為是準確的，叫做可靠數(shù)字。末尾數(shù)字3是在米尺最小分度值的下一位上估計出來的，是不準確的，叫做欠準數(shù)。雖然是欠準可疑，但不是無中生有，而是有根有據(jù)有意義的，顯然有一位欠準數(shù)字，就使測量值更接近真實值，更能反映客觀實際。因此，測量值應(yīng)當保留到這一位是合理的，即使估計數(shù)是0，也不能舍去。測量結(jié)果應(yīng)當而且也只能保留一位欠準數(shù)字，故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位欠準數(shù)字稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字數(shù)字的個數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)，如上述的5.63cm稱為三位有效數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點的位置無關(guān)。因此，用以表示小數(shù)點位置的0不是有效數(shù)字。當0

47、不是用作表示小數(shù)點位置時，0和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字。顯然，在有效數(shù)字的位數(shù)確定時，第一個不為零的數(shù)字左面的零不能算有效數(shù)字的位數(shù)，而第一個不為零的數(shù)字右面的零一定要算做有效數(shù)字的位數(shù)。如0.0135 m是三位有效數(shù)字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不過是分別采用了米、厘米和毫米作為長度的表示單位；1.030m是四位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測量的。因此，正確掌握有效數(shù)字的概念對物理實驗來說是十分必要的。二、直接測量的有效數(shù)字記錄物理實

48、驗中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計讀數(shù)）都應(yīng)讀出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0時，此0也要讀出并記錄。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。在記錄直接測量的有效數(shù)字時，常用一種稱為標準式的寫法，就是任何數(shù)值都只寫出有效數(shù)字，而數(shù)量級則用10的n次冪的形式去表示。1根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，測量值的最末一位一定是欠準確數(shù)字，這一位應(yīng)與儀器誤差的位數(shù)對齊，儀器誤差在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的欠準位就記錄到哪一位，不能多記，也不能少記，即使估計數(shù)字是0，也必須寫上，否則與有效數(shù)字的規(guī)定不相符。例如，用米尺測量物體長為52.4 mm 與52.40 m

49、m 是不同的兩個測量值，也是屬于不同儀器測量的兩個值，誤差也不相同，不能將它們等同看待，從這兩個值可以看出測量前者的儀器精度低，測量后者的儀器精度高出一個數(shù)量級。2根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，凡是儀器上讀出的數(shù)值，有效數(shù)字中間與末尾的0，均應(yīng)算作有效位數(shù)。例如，6.003 cm , 4.100 cm 均是四位有效數(shù)字；在記錄數(shù)據(jù)中，有時因定位需要，而在小數(shù)點前添加0，這不應(yīng)算作有效位數(shù)，如0.0486 m是三位有效數(shù)字而不是四位有效數(shù)字，有效數(shù)字中的0有時算做有效數(shù)字，有時不能算做有效數(shù)字，這對初學(xué)者也是一個難點，要正確理解有效數(shù)字的規(guī)定。3根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，在十進制單位換算中，其測量數(shù)據(jù)的有效位數(shù)

50、不變，如4.51 cm 若以米或毫米為單位，可以表示成0.0451 m 或45.1 mm，這兩個數(shù)仍然是三位有效數(shù)字。為了避免單位換算中位數(shù)很多時寫一長串，或計數(shù)時出現(xiàn)錯位，常采用科學(xué)表達式，通常是在小數(shù)點前保留一位整數(shù)，用10n表示，如4.51×102m，4.51×104cm等，這樣既簡單明了，又便于計算和確定有效數(shù)字的位數(shù)。4根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定對有效數(shù)字進行記錄時，直接測量結(jié)果的有效位數(shù)的多少，取決于被測物本身的大小和所使用的儀器精度，對同一個被測物，高精度的儀器，測量的有效位數(shù)多，低精度的儀器，測量的有效位數(shù)少。例如，長度約為3.7cm的物體，若用最小分度值為1mm

51、的米尺測量，其數(shù)據(jù)為3.70cm ，若用螺旋測微器測量（最小分度值為0.01mm ）,其測量值為3.7000cm ,顯然螺旋測微器的精度較米尺高很多，所以測量結(jié)果的位數(shù)也多；被測物是較小的物體，測量結(jié)果的有效位數(shù)也少。對一個實際測量值，正確應(yīng)用有效數(shù)字的規(guī)定進行記錄，就可以從測量值的有效數(shù)字記錄中看出測量儀器的精度。因此，有效數(shù)字的記錄位數(shù)和測量儀器有關(guān)。三、有效數(shù)字的運算法則在進行有效數(shù)字計算時，參加運算的分量可能很多。各分量數(shù)值的大小及有效數(shù)字的位數(shù)也不相同，而且在運算過程中，有效數(shù)字的位數(shù)會越乘越多，除不盡時有效數(shù)字的位數(shù)也無止境。即便是使用計算器，也會遇到中間數(shù)的取位問題以及如何更簡潔

52、的問題。測量結(jié)果的有效數(shù)字，只能允許保留一位欠準確數(shù)字，直接測量是如此，間接測量的計算結(jié)果也是如此。根據(jù)這一原則，為了達到：不因計算而引進誤差，影響結(jié)果；盡量簡潔，不作徒勞的運算。簡化有效數(shù)字的運算，約定下列規(guī)則：1加法或減法運算大量計算表明，若干個數(shù)進行加法或減法運算，其和或者差的結(jié)果的欠準確數(shù)字的位置與參與運算各個量中的欠準確數(shù)字的位置最高者相同。由此得出結(jié)論，幾個數(shù)進行加法或減法運算時，可先將多余數(shù)修約，將應(yīng)保留的欠準確數(shù)字的位數(shù)多保留一位進行運算，最后結(jié)果按保留一位欠準確數(shù)字進行取舍。這樣可以減小繁雜的數(shù)字計算。推論（1）若干個直接測量值進行加法或減法計算時，選用精度相同的儀器最為合理

53、。2乘法和除法運算由此得出結(jié)論：用有效數(shù)字進行乘法或除法運算時，乘積或商的結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算的各個量中有效數(shù)字的位數(shù)最少者相同。推論（2）測量的若干個量，若是進行乘法除法運算，應(yīng)按照有效位數(shù)相同的原則來選擇不同精度的儀器。3乘方和開方運算由此可見，乘方和開方運算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。4自然數(shù) 1,2,3,4,不是測量而得，不存在欠準確數(shù)字。因此，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的0，如D2R，D的位數(shù)僅由直測量R的位數(shù)決定。5無理常數(shù),的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如L2R ，若測量值 時，應(yīng)取為3.142。則6有效數(shù)字的修約。根據(jù)有效

54、數(shù)字的運算規(guī)則，為使計算簡化，在不影響最后結(jié)果應(yīng)保留有效數(shù)字的位數(shù)（或欠準確數(shù)字的位置）的前提下，可以在運算前、后對數(shù)據(jù)進行修約，其修約原則是“四舍六入五看右左”，五看右左即為五時則看五后面若為非零的數(shù)則入、若為零則往左看擬留數(shù)的末位數(shù)為奇數(shù)則入為偶數(shù)則舍，這一說法可以簡述為五看右左。中間運算過程較結(jié)果要多保留一位有效數(shù)字。第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理物理實驗中測量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測量的最終結(jié)果。用簡明而嚴格的方法把實驗數(shù)據(jù)所代表的事物內(nèi)在規(guī)律性提煉出來就是數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到得出結(jié)果為止的加工過程。數(shù)據(jù)處理包括記錄、整理、計算、分析、擬合等多種處理方法，本章主要介紹列表法、作圖法、圖解法、最小二乘法和微機法。一、列表法列表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。欲使實驗結(jié)果一目了然，避免混亂，避免丟失數(shù)據(jù)，便于查對，列表法是記錄的最好方法。將數(shù)據(jù)中的自變量、因變量的各個數(shù)值一一對應(yīng)排列出來，要簡單明了地表