絕對(duì)值與相反數(shù)(提高)知識(shí)講解

1、絕對(duì)值與相反數(shù)(提高)責(zé)編：杜少波 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .借助數(shù)軸理解絕對(duì)值和相反數(shù)的概念；2 .知道間 的絕對(duì)值的含義以及互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系；3 .會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和相反數(shù)，并會(huì)用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大?。? .通過應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問題，體會(huì)絕對(duì)值的意義和作用. 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相反數(shù)1 .定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是0.要點(diǎn)詮釋：(1) “只”字是說僅僅是符號(hào)不同，其它部分完全相同.(2) “0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.(3)相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù).(4)求一個(gè)數(shù)的

2、相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號(hào)即可.2 .性質(zhì)：(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等(這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0. 要點(diǎn)二、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，由數(shù)字前面“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來確定，若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正， 如-(-4)=4;若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)，如-+-(-4)=-4.要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“ + ”，仍然與原數(shù)相同，如+5=5, + ( 5) = 5.(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如(3)就是3的相反數(shù)，因此，一(-3) =3. 要點(diǎn)三、絕對(duì)值 1.定義：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)

3、的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，例如 +2的絕對(duì) 值等于2,記作|+2|=2 ; -3的絕對(duì)值等于3,記作|-3|=3 . 要點(diǎn)詮釋：(1)絕對(duì)值的代數(shù)意義： 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.即對(duì)于任何有理數(shù) a都有：a(a 0)|a | =0(a = 0)a (a<0)(2)絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距 離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小.(3) 一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來確定的.2.性質(zhì)：(1) 0除外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(2)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)(

4、0除外)的絕對(duì)值相等.(3)絕對(duì)值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.要點(diǎn)四、有理數(shù)的大小比較1 .數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如:上的位置如圖所示，則 avb.i_2 .法則比較法：口兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下:兩數(shù)同號(hào)同為正號(hào)：絕對(duì)值大的數(shù)大同為負(fù)號(hào)：絕對(duì)值大的反而小兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0:正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0:負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋：利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：(1)分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值；(2的大?。?3)判定兩數(shù)的大小.3 . 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若 a-b >0,則a>b;若a-b = 0,則

5、a=b; vb;反之成立.a ,a4 .求商法：設(shè)a、b為任思正數(shù)，右 一a1,則ab；右一=1,則a = b； bba cb；反之也成立.若 a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.5 .倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類型一、相反數(shù)的概念1,若m與n互為相反數(shù)，則|m+n - 2|=.【答案】2【解析】 根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的性質(zhì)，可知m + n=0,代入上式可得： 2|=2 .【總結(jié)升華】 若m,n互為相反數(shù)，則 m + n = 0或m = -n.舉一反三：【變式】若|x - 2|與(y+3) 2互為相反數(shù)，則x+y=.【答案】-1. |x - 2|與(y+

6、3) 2互為相反數(shù),.|x 2|+ (y+3) 2=0, ,.x- 2=0, y+3=0,解得 x=2, y=- 3,a與b在數(shù)軸Ib)比較絕對(duì)值若 a-b < 0, a若與< 1,則b|m+n 2|=|0,-x+y=2+ ( 3) = - 1.故答案為：-1.類型二、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)"2 .化簡(jiǎn)下列各數(shù)._(_6)；(%)；-_(+6)；_(與)；_(_6)【答案】6;-6;6;-6 ;6【解析】一(一6)表示-6的相反數(shù)，所以(-6)=6;_(份)表示+6的相反數(shù)，所以-(+6) = -6 ;_(46)前面共有2個(gè)“-”號(hào)，為偶數(shù)個(gè)，而“ +”可以省略，所以-(+6)=

7、6;«_(46)中共有3個(gè)“-”號(hào)，即奇數(shù)個(gè)，而“ +”可以省略，所以«_(+6) =-6;YT(-6)中共有4個(gè)“-”號(hào)，即偶數(shù)個(gè)，而“+”可以省略，所以-(-6) =6【總結(jié)升華】多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類問題較為簡(jiǎn)單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)負(fù)號(hào).若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù).類型三、絕對(duì)值的概念Os.如果 |x| =6, |y| =4,且 xvy.試求 x、y 的值.【思路點(diǎn)撥】6和-6的絕對(duì)值都等于 6, 4和-4的絕對(duì)值都等于4,所以要注意分類討論.【答案與解析】因?yàn)閨x| =6,所以x=6或x=-6;因?yàn)閨y| =4,所以y = 4或y=-4

8、;由于xv y,故x只能是-6 ,因此x= -6 , y = ± 4.【總結(jié)升華】 已知絕對(duì)值求原數(shù)的方法：(1)利用概念；(2)利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出 來.無論哪種方法但要注意若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個(gè)，且互為相反數(shù).此外,此題 x= -6 , y= + 4,就是 x = -6, y = 4 或 x=-6, y = -4.舉一反三：【變式】如果數(shù)軸上的點(diǎn) A到原點(diǎn)的距離是6,則點(diǎn)A表示的數(shù)為 .如果| x- 2 | = 1,那么x =;如果| x | >3,那么x的范圍是.【答案】6或-6; 1或3; x>3或x<-3類型四、比較大小4Hf 4,比

9、較下列每組數(shù)的大小：(1)-(-5)與-|-5| ; (2)-(+3)與 0; (3) 4 與3 ； (4)五與|3.14| 54【思路點(diǎn)撥】 先化簡(jiǎn)符號(hào)，去掉絕對(duì)值號(hào)再分清是“正數(shù)與零、負(fù)數(shù)與零、正數(shù)與負(fù)數(shù)、兩 個(gè)正數(shù)還是兩個(gè)負(fù)數(shù)”，然后比較.【答案與解析】(1)化簡(jiǎn)彳導(dǎo):-(-5) =5, -|-5| =-5.因?yàn)檎龜?shù)大于一切負(fù)數(shù)，所以 -(-5) >-|-5| .(2)化簡(jiǎn)彳導(dǎo):-(+3) =-3.因?yàn)樨?fù)數(shù)小于零，所以-(+3) <0.化簡(jiǎn)得：33一， 二44這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，”，且16>15.所以/<_3 2020 2054|-兀 | =兀,|-3.14|=

10、(4)化簡(jiǎn)彳導(dǎo)：-|-3.14= -3.14 ,這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)?.14 ,而 兀 >3.14 ,所以-兀 V-|-3.14|【總結(jié)升華】 在比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行： 先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值， 再比 較兩個(gè)絕對(duì)值的大小，最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷.類型五、含有字母的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)5. (2016 春?都勻市校級(jí)月考)若-1VXV4,則 |x+1| - |x - 4|=.【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身 a;當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a,可得|x+1|=x+1 , |x - 4|= - x+

11、4,然后再合并同類項(xiàng)即可.【答案】2x- 3.【解析】解：原式 =x+1 ( x+4),=x+1+x 4,=2x- 3.【總結(jié)升華】 此題主要考查了絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的性質(zhì)，正確判斷出 x+1, x-4 的正負(fù)性.舉一反三：【變式】已知有理數(shù)a, b, c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：c*b.* 4 V>>-W -2-102化簡(jiǎn)：| + |2n+31 忖-8【答案】由圖所示，可得(：.3a-c>0, 2a+b。, c-b40,3a-c-2ab-c-b = (3"0 + (2白+8)一一(”劃= %-c + (2a+b) + (c-3) =3a-c+2a+b+

12、c-b = 5a-原式二 5a.類型六、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用.已知a、b為有理數(shù)，且滿足:-12a+l|+|2-i卜，則【答案與解析】由12a+lR0 , 12T|N0, 12u+1| + |2-可=0 ,f +1 = 0a - -可得；.；92T =。, Jib-2J【總結(jié)升華】 由于任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于或等于0,要使這兩個(gè)數(shù)的和為 0,需要這兩個(gè)數(shù)都為0.幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0,則每一個(gè)數(shù)均為 0.舉一反三：【變式】已知b為正整數(shù),且a、b滿足| 2白一4 |十6=1 ,求/的值.f 2ti - 4 = 0 1n= 2所以，ab_2 a - 4【答案】 由題意得i.，j = 1 j = i類型七、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用C 7.一只可愛的小蟲從點(diǎn)。出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)， 向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路程（單位：cm）依次記為：+5,-3, +10,-8,-6, +12,-10,在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【思路點(diǎn)撥】總路程應(yīng)該為小