銳角三角函數(shù)—知識講解

1、銳角三角函數(shù)一知識講解撰稿：杜少波 審稿：張曉新【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)的定義；2 .會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確地記住特殊角的三角函數(shù)值;3 .理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在RtABC中，/C= 90°,/ A所對的邊BC記為a,叫做/A的對邊，也叫做/B的鄰邊，/ B所對的邊AC記為b,叫做/ B的對邊，也是/ A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.B銳角銳角銳角cA的對邊與斜邊的比叫做/A的鄰邊與斜邊

2、的比叫做/A的對邊與鄰邊的比叫做/同理sin BB的對邊bA的正弦，記作A的余弦，記作A的正切，記作sinA ,cosA,tanA,即 sin A即 cos A即 tan AcB的鄰邊aB 斜邊 c' BA的對邊斜邊A的鄰邊斜邊A的對邊A的鄰邊B的對邊B的鄰邊從正弦、余弦、正切的定義看到，任意給定一個銳角A,都有唯一的比值 sinA (或cosA、tanA )與它對應(yīng)，因此我們把銳角的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為銳角三角函數(shù).要點詮釋：(1) 正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線 段的比值.角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變

3、化.(2)sinA , cosA, tanA分別是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能寫成 工二t亞'，不能理解成sin與/A, cos與/A, tan與/ A的乘積.書寫時習(xí)慣上省略/ A的角的記號“/但對三個大寫字母表示成的角(如/AEF),其正切應(yīng)寫成“tan /AEF',不能寫成“tanAEF"；另外，3"工)、。血常寫成期工、噂亡如二月(3) 任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在.(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在 0° </A<90° 間變化時，0 < cosj4 &l

4、t;1 , tanA >0.要點二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:銳角比sin acos atan a30°2在45°在160°在工 275要點詮釋：(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若 sin 5 =,則銳角日二d5, .2(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：肘3T、san 60”的值依次為 巫、立、史，而222cos

5、4T> c翻的值的順序正好相反，tan30° >面145°、tan600的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大).(3)在直角三角形中，30。所對的直角邊等于斜邊的一半 .要點三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在 RtABC中，/ C=90°則存在以下關(guān)系：(1)互余關(guān)系：sin月= 8式9(T 一乙4)二匚穌S ,二凸£達(dá)二乳n(9Q°乙4)二第h 8 ；(2)平方關(guān)系：sin3 月 + cos3 A = ;(3)倒數(shù)關(guān)系：tan

6、 月 taii(9(T - /月)二 1 或 tan 上二 一；tan B.“ smA(4)商數(shù)關(guān)系：tan W=.cosZ要點詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算 時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便.【典型例題】類型一、求銳角的三角函數(shù)值如圖所示，在 RtABC中，/ C= 90° , AB= 13, BC= 5,求/ A, / B的正弦、余弦、正切值.11【思路點撥】 先運用勾股定理求出另一條直角邊，再運用銳角三角函數(shù)的定義求解. 【答案與解析】在 RtABC中，Z C= 90° . AB= 13, BC= 5.AC.A

7、B2BC2. 1325212.BC5AC12 BC 5sin A一,cosA,tan AAB13AB13AC 12AC12BC5- AC 12sin B一,cosB,tan BAB13AB13BC 5【總結(jié)升華】本題考察勾股定理以及三角函數(shù)的定義，屬簡單題.舉一反三：【高清課程名稱： 銳角三角函數(shù)高清ID號：395948關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點名稱)：例1 (1) - (2)】【變式】 在 RtABC中，/ C=90° ,若 a=3, b=4,貝U c=,cosB =sinA =, cosA =, sinB =【答案】 c = 5, sinA = 3 , cosA = , sinB =

8、 , cosB = 3 . 5555類型二、特殊角的三角函數(shù)值 2,求下列各式的值:(1)sin30-2cos60。+tan45。； (2) -g；; (3) (1 廚 |1 sin30 |tan 45 g tan 60【答案與解析】原式22(2)原式、,3原式【總結(jié)升華】舉一反三：要熟記特殊角的三角函數(shù)值,先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行化簡.【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點名稱)：例高清ID號：395948(3) - (4)】【變式1】在RtABC中，/ C=90°若/ A=45° ,則 ZB =sinA =, cosA,sinB =cosB =,2【

9、答案】ZB =45 , sinA =,2cosA = -2 , sinB = 2 ,cosB =二 2【變式2計算：sin30+cos30 ° ?tan60【答案】解：原式=1+遮73=2.22類型三、由銳角三角函數(shù)值求銳角的度數(shù). (1) 2匚旌比J5 = 0,求銳角a； (2)已知tai/22t鈿值+1= 0求銳角空.【答案與解析】(1)先將已知方程變形后再求解.2 cos a = tl 二 cos a -2.銳角比=30° .(2)先將已知方程因式分解變形.tan a-2tari +1= 0,.(tan(T- 1)0,.tan a-l = Q,即，銳角比=45

10、6; .【總結(jié)升華】 要求等式中的銳角度數(shù)，只需求得這個角的三角函數(shù)值，運用換元的方法，把角的三角函 數(shù)看作未知數(shù)，解方程求得它的值，然后再求這個銳角.類型四、銳角三角函數(shù)的拓展與應(yīng)用.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定， 因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1，在 ABC中，AB= AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA 作竺 曳.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù) 腰 AB上述角的正對定義，解下列問題

11、:sad60(2)對于0V Av 180° , / A的正對值sadA的取值范圍是如圖1，已知sinA = 3,其中/ A為銳角，試求sadA的值.58【答案與解析】(1)1 ; (2)0 vsadAv 2;(3)如圖2所示，延長AC到設(shè) AA AB= 5a,由 sin AD,使 AD= AR 連接 BD.BC 3得 BC= 3a,AB 5AC ,(5a)2 (3a)2CD=5a-4a = a, BD7a2 (3a)2 7i0a,1A BD 10sadA AD 5【總結(jié)升華】(1)將60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故sadA= 1; (2)在圖中設(shè)想 AB= AC的長固定，并固定 AB讓AC繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/ A接近00時，BC接近0,則sadA接近0但永遠(yuǎn)不會等于 0,故sadA>0,當(dāng)/ A接近180°時，BC接近2AB,則sadA接近2但小于2,故sadAv 2; (3)將/ A放到等腰三角形中，如圖 2所示，根據(jù)定義可求解.如圖，銳角 ABC中，AB=10cmg BC=9crp ABC的面積為 27cm2.求 tanB 的值.【思路點撥】 過點A作AHL