隨機過程及其應(yīng)用

1、實用標準文案§ 4.5 隨機過程的功率譜密度當(dāng)我們在時間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時，如果確定起來不方便，在數(shù)學(xué)上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進行研究，最終目的是使問題簡化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時間域的問題轉(zhuǎn)換到頻率域，進而使問題簡化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個信號有“高”頻成分，我們 在頻率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號分析和電路理論等方面應(yīng)用 極廣。是不是任何一個時間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當(dāng)時間函數(shù)x(t)(<t <")滿足絕對可積條件

2、時可以。x(t) dt <必然而，隨機過程的樣本函數(shù)，即X(t)=Xi(t),川,Xn(t)/(, Xi(t)，H|,Xn(t)HL般不滿足絕對條件,因此隨機過程不能直接進行傅氏變換。此外，很多隨要過程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無法用方程描述。這樣， 若想直接對隨要過程進行譜分解，顯然也不行。但是，對隨機過程進行某種處理后，同樣可 對隨機過程施行傅里葉變換。§ 4.5.1 功率譜密度為了研究隨機信號的傅氏變換，我們首先簡單復(fù)習(xí)一下確定信號S(t)的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機過程的功率譜密度概念。定理 設(shè)S(t)是一個確定信號且時間在(-m,十無)上滿足絕對可積條件，則S

3、(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜S( ) - J-S(t)e t dt S(t)=1 . S( )ej td S一FFL s(。對于定理的物理解釋是，S(t)代表電流或電壓，則定理條件要求f Js(t) dt<°°，即是要求S(t)的總能量必須有限。由積分變換的巴塞伐公式二 2二 1 二j tfjS(t) dt = fS(t) QSe心d6dt1= S( )S ( )d 2 二1、吸j.t= 2T -S( ),：Sej tdtd即：；S(t)2dt =21；S( )2d，下面我們來解釋一下公式的物理含義：若把S(t)看作是通過1 電阻上的電流或電壓，則左邊的積分表

4、示消耗在1 電阻上，,、八一一 > 一、，一一 一*12的總能量，故右邊的被積函數(shù)恰(8)|相應(yīng)地稱為能譜密度。然而，工程技術(shù)上有許多重要的時間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦或余弦函數(shù)就是。我們要研究的隨機過程，由于持續(xù)時間是無限的， 所以其總能量往往也是無限的，所以隨機過程的頻譜不存在。一個隨機過程那么該如何應(yīng)用傅氏變換工具來對隨機過程進行研究呢？我們是這樣考慮的，X(X)=Xi(t), |,Xn(t),|,盡管它的樣本函數(shù)總能量是無限的，但它的平均功率是有限,r一1 T 2的，即：We =1而亓x(t) dt :二這是隨機過程的樣本函數(shù)在時間域上的平均功率表

5、示。這樣，對隨機過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率的傅氏變換卻有意義。怎樣具體表示隨機過程一個樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義X(t)的一個樣本函數(shù)，不妨設(shè)為x(t),再將本函數(shù)x(t)任意截取一段，長度為2T,并記為Xt (t)。稱Xt (t)為原樣本函數(shù) x(t)的截取函數(shù)，如右圖用公式表示即為XT(t) = ：°)|t|;T|t| T于是< 滿足絕對可積條件。所示。,、一一 二 一一 f t - T Xt 存在付氏變換，即Xt(o)=JXr(t)edt =XT(t)e->0dtT1 二j tXT(t). Xt( )e d

6、t2-這里Xtg )稱Xt (t)為的頻譜函數(shù)。又由于隨機過程 X(t) =Xi(t),|,Xn(t),|H在隨機試驗中取哪一個樣本函數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗結(jié)果，就意味著隨機過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進一步表示為 X(t,e),當(dāng)然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為XT(t, e),顯然它的傅氏變換也可表示為xt (t, e)。1 T 21 T2又We =lim f X(t) dt =lim X X(t, e) dte T>02T，二 '，T>C2T 二1 T1 二一=lim 二XT(t,e) .Xt( ,e)e d

7、dtt_ 2T 二 _2-1+1- T1= lim 1 XT(®,e) J xt (t, e) e ' dt d8 ti2T *2n 1 r 1J.11 111 1,、* ,、,"im- xT( -,e)xT(- ,e)d =lim xT( - ,e)xT( ,e)dt- 2T - 2J 2T 21 二.1 .、2 .1= limxT( ,e) d = Gx( ,e)d'2 二 二 t 二 2T l2 二二 x由于引入隨機過程樣本函數(shù)的截取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表布形式。1 .2在上式中，令Gx(s,e)=叫亓|xT(

8、s,e)則稱上式為隨機過程 X(t)的樣本函數(shù)的 功率譜密度函數(shù)。1 .定義樣本函數(shù)的功率譜密度：GX( .,e) = lim xT( - ,e)式中，XT(0,e)為截取函數(shù)XT(t,e)的頻譜。又;隨機過程是由一族樣本函數(shù)組成，即X(t)=x1(t),|,xn(t),H|顯然對每一個樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都可以求出它的一個樣本函數(shù)的功率譜密 度，于是對所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計平均就可給出隨機過程的功率譜密度定義。定義隨機過程的功率譜密度：同樣定義 丫 一、 X (t) |t |：:;Tx T ( t )=，0It | .T:_T.Gx(T);：i-XT(t)e tdt =XT(t)eT

9、tdt,12T-一J；|X(t)|2dt為 x(t)的平均定義：X(t)為均方連續(xù)隨機過程，稱W2 _lim E JIIIT .7|功率；稱l為X(t)的功率譜密度，簡稱譜密度。_1_ 2Sx ( ) = lim E Gx ( ,T) 1 2T根據(jù)帕塞伐公式及傅氏反變換，有T2X(t) dt =二2二Gx( ,T) d ,精彩文檔所以:2 = lim ET -=limT _ :12T1 E 2T 21JI2x (t) dt,2一二 1Gx (，T ) d 二1,2LelLA7TElGx9，T)|d®-二 TcdS2 二 二二x ( ) d - 求隨機過程的平均功率可用兩種方法，一種方

10、法是求出Sx(w),即過程的功率譜密度,然后再積分，另一種方法是先求出過程的均方值EX2(t)|, 再積分。特別地，當(dāng)我們研究的隨機過程是平穩(wěn)過程時，此時的平穩(wěn)過程平均功率可表示為: X(t)平穩(wěn)EX2(t)=屋=Rx(0)2 =Tim；：1 T=Tim；：:：JX2dt =：二,2T X.1-2 =屋=Rx(0)例題 隨機過程X為X(t)=o( cos(00t+” 式中，2,缶0是常數(shù)，中是在(0,5) 上均勻分布隨機變量，求X (t)的平均功率。21T _2解：.7 2=iim - E EX2(t)dttt： 2T .222又 EX (t) =E a cos ( -ot)J_2a2十萬 c

11、os(2® 0t +2中)22a2ji顯然該過程不平穩(wěn)。 因止匕§ 4.5.2不22cos(2,0t 2 )- d :' 0 ' '二sin(2 0t)-sin(2®0t) dt = a-ji功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系通過對隨機過程的分析，我們知道隨機過程的相關(guān)函數(shù)是從時間角度度描述了過程的重二者是異曲同要統(tǒng)計特性，而隨機過程的功率譜密度是從頻率角度描述了過程的統(tǒng)計特性,工，研究的都是同一個對象，于是人們自然提出一個問題，隨機過程的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是否存在一定關(guān)系 ？我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隨機過程平穩(wěn)且滿足一定條件時，它們之間存在一定關(guān)

12、系。定理 如果平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)Rx(e)絕對可積，即則過程X(t)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即SX儂)=jERX(7)e_j*dERx()=.Gx( )ej d . -Rx()> Gx( ')FRx( ) =Gx(。F,Gx( ,) =Rx( )例題設(shè)X(t)是平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù) Rx。)=ue一瓦，其中口、P是正數(shù)，X(t)的功率2- -譜號度Sx8)。答案：Sx=32 +02§ 4.5.3 功率譜密度性質(zhì)Jgx 缸t)1由隨機過程的功率譜密度定義，即SX ( ) = lim ET <2T可得如下幾個常用的性質(zhì) 性質(zhì)1 SX(o)>

13、; 0；性質(zhì)2 SX (M是實函數(shù)；性質(zhì)3對于實過程，SX (G)是偶函數(shù)；§ 4.5.4 互譜密度1 .互譜密度的定義類似于一個隨機過程功率譜密度的研究方法，我們可以引入兩個隨機過程的互譜密度概念。設(shè)有兩個聯(lián)合平穩(wěn)隨機過X(t)和Y(t),若設(shè)他們相應(yīng)的截取函數(shù)設(shè)為XT(t刑YT(t),而Xt(1),Yt(1)的付氏變換分別為的付氏變換分別為Gx (5T),Gy9,T)。E Gx( ,T)Gy(1T)1定義X(t)和Y(t)的互譜密度為:SXY ( ) = lim - T :2T1SYXCTE GY( ,T)GX( ,T)2 .互譜密度和互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系類似研究平穩(wěn)過程X( t

14、)的自相關(guān)函數(shù)與譜密度之間的關(guān)系一樣，我們可給出聯(lián)合平穩(wěn)過程互相關(guān)函數(shù)與互譜密度函數(shù)之間的關(guān)系表達式。若聯(lián)合平穩(wěn)過程 X(t)、Y(t)的兩個互相關(guān)函數(shù)滿足RXYK) df ，那么SXY( ) -. .RXY ()ed，SYX ( ) -.RYX ()eJ d3 .互譜密度的性質(zhì)下面我們簡要給出互譜密度的性質(zhì)如下：SxY ( ' ) = SYX ( ' ) ; 若X(t)與Y(t)為實過程，則：Sxy(0)的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)若平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)相互正交，則：SYX儂)=SYX 9) = 0 ; 若X(t)和Y(t)是兩個不相關(guān)的平穩(wěn)過程，分別有非零均值MX,

15、MY ,則SXY( ) =SYX( ) 二2 二 MXMY' ()Sxy< SX68)習(xí)題”21 .已知平穩(wěn)過程 X(t)的譜密度為 SX (切)=1一，求X(t)的均方值EX2(t)。4 - 3 -2 22 .已知平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 RX (工)=4e*| cos* + cos型 求sx(®)。單邊功率譜一一實平穩(wěn)過程的譜密度sX (0)是偶函數(shù)，因而可將負的頻率范圍內(nèi)的值折算到正頻率范圍內(nèi)。1 T 12 1c /、,2lim -E I X Xe 的dt ,缶 >0Gx 儂)=t5t 0Gx()23x9), 0 , ,0 ： 00 ,- co <

16、; 0§ 4.6窄帶過程和白噪聲過程1、窄帶過程窄帶隨機過程一一譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。Sx(S)=<S00,其它譜密度:相關(guān)函數(shù)：一，、1 二RX ( ) = sX ( ) cos( )d 二02s0仆i +©2 .餐2 -®i =cos. psin Rm I 2 J k 22、白噪聲過程定義： 設(shè) X (t), q < t < 吧為實平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即SX(o)= N0(-« <co <=o),則稱X (t)為白噪聲過程。相關(guān)函數(shù):1 二i.R x ( ) = 2

17、T- . . s x ( 1 ) e d '二 N-0-ei ' d = N °：()2定義：稱均值為零、相關(guān)函數(shù) SX(T) = N0S(Q的實平穩(wěn)過程為 白噪聲過程。第5講隨機信號通過線性系統(tǒng)在大系統(tǒng)分析中，如在電子通信系統(tǒng)中，當(dāng)我們給定系統(tǒng)在一個輸入信號(可以是確定 性信號或隨機信號)，該輸入信號通過系統(tǒng)作用總會產(chǎn)生一輸出信號，我們經(jīng)常需要分 析研究輸入與輸出信號之間的關(guān)系，特別當(dāng)輸入信號是一個隨機平穩(wěn)信號，那么輸出是 什么信號呢，于是我們自然會提出下列問題：1 .若輸入是平穩(wěn)信號，其輸出信號是否平穩(wěn)。2 .若已知輸入信號的統(tǒng)計數(shù)字特征，如何求出輸出信號的統(tǒng)計數(shù)

18、字特征。3 .輸入信號與輸出信號的數(shù)字特征之間的關(guān)系如何？為了回答上述三個問題，我們就特殊的線性系統(tǒng)進行分析。首先介紹一下線性系統(tǒng)的基本理論知識。§ 6.1線性系統(tǒng)的基本理論1、線性系統(tǒng)介紹一般地，系統(tǒng)輸出、輸入之間的關(guān)系可表示為：Y(t) = LX(t)式中，X(t)為輸入信號(又稱激勵信號)，丫為輸出信號(又稱為X(t)的響應(yīng)信號)；L表 示是對輸入信號進行某種運算，稱為算子，它可以代表各種數(shù)字運算方法，如加法、乘法、微分、積分等，用圖表示為：X(t)ll Y(t) >定義線性系統(tǒng)：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，而此日的L為線性算子。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達 為：若 y

19、i(t)=Lxi(t),川，yn(t)=LXn(t),n n那么潴足 L歸akxk(t) =£ %yk則L為線性算子，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。ILk 4J k4定義時不變系統(tǒng)：如果y(t)=Lx(t),并對任意一時間平移一都有y(t + T ) = Lx(t + T )，則稱系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。例題：證明當(dāng)算子是微分算子l="d時，系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。 dt2. LTI系統(tǒng)沖激響應(yīng)和頻率響應(yīng)線性系統(tǒng)的6(t)函數(shù)(沖激函數(shù))的 沖激響應(yīng)：由沖激函數(shù)的性質(zhì)，有'(t - ) x( )d = x(t)Y(t) =LX(t) =L " X( ) (t - )d =

20、9; X ( ) L (t - )d而L 6 (t-T)表示有個6 (t -t)的輸入函數(shù)通過線性系統(tǒng)，其輸出可記為h (t -)= L 、(t -)顯然，h(t-T)可稱為6(t-E)函數(shù)(沖激函數(shù))的 沖激響應(yīng)(和脈沖響應(yīng)區(qū)別)y(t) =. x( )h(t- )d從上式可以看出：LTI系統(tǒng)的輸出等于輸入與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。記為： y (t) =x(t)* h(t)通過變量代換上式又可寫為：y(t);i -h( )x(t - )d上式表明，線性時不變系統(tǒng)的輸出完全由系統(tǒng)的輸入與系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)卷積確定這是在時間域給出了系統(tǒng)輸出表示形式。當(dāng)信號比較復(fù)雜時，我們同樣考慮通過付氏變換將其變換到頻

21、域去研究，進而使問題得以簡化。 頻率響應(yīng)：設(shè)線性系統(tǒng)的算子為l,若系統(tǒng)輸入一諧波信號x(t) = ej8 ,則輸出為y(t) =L ej的卜Hej的其中H(® ) = L 一葭* ，稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)。3.線性時不變系統(tǒng)輸出信號的傅氏變換對于一個線性時不變系統(tǒng)，x(t),h(t), y(t)設(shè)其相應(yīng)的付氏變換為 X(3), H ,Y(g),則:則:y(t)=Y( )ej tdt2 二 二,1y(t) =Llx(t)=L 2ej«dco 1 JJX儂)LejtJds.'X( )H( )ej td .一二1r一經(jīng)過對照得到：Y( .) =X()H()1 5.2 隨機信號通

22、過線性系統(tǒng)2 .討論系統(tǒng)的輸出一般隨機信號作為輸入通過線性系統(tǒng)， 要研究它的輸入與輸出之間的數(shù)字特征及相互關(guān) 系比較復(fù)雜，為了方便說明問題起見，我們只就有界的隨機信號通過特殊的線性系統(tǒng)來討論， 即假設(shè)該系統(tǒng)為穩(wěn)定的時不變線性系統(tǒng)，所謂過程有界即它們每一個樣本函數(shù)有界。顯然當(dāng)過程的每一個樣本函數(shù)通過時不變系統(tǒng)時，可表示為：y1(t) =. h( )x1(t - ) dyn(t) = h( ) xn(t - )d此時系統(tǒng)的輸出可表示為Y(t)=y1(t), IH,yn(t)J”J2Q即系統(tǒng)的輸入與輸出可表示為Y(t) = ： h( )X(t- )dY(t) =h(t)* X(t)3 .系統(tǒng)輸出的均

23、值與自相關(guān)函數(shù)在實際工程問題中，我們總是希望當(dāng)知道輸入信號的某些統(tǒng)計特征時能夠得到系統(tǒng)的輸 出統(tǒng)計特征。 系統(tǒng)的輸出均值確定。Y(t) =-h(T)x(t -T)dT這里假設(shè)輸入信號為有界平穩(wěn)過程EY= h( ) EX(t -) d .3 .joO= h( )Mxd =Mx "h( )d而是一個與時間無關(guān)的數(shù)。EY(t)=My 系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)若X(t)為有界平穩(wěn)過程，系統(tǒng)輸出自相關(guān)函數(shù)由定義知，可表示為RY(t,t) = EY(t)Y(t )=Ef %(T1)h(T2)X(t-T1)X(t +T-T2) dT1dT2I -CO _oQ=E 0 fh(T1) h(T2)X(t -

24、T1)X(t +t -T2)di1dT2=：i i_h( i)h(.2)EX(t - i)X(t - 2)d id 2-be -be二一 一h( i)h( 2)Rx(1 - 2) d id 2rO GO由該式知，當(dāng)輸入為平穩(wěn)，輸出Y(t)也為平穩(wěn)。3 .系統(tǒng)的輸入與輸出之間的互相關(guān)聯(lián)函數(shù)X(t)由于系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，所以輸入與輸出之間是相關(guān)的。由隨機過程的互相關(guān)函數(shù)定義,知RXY(t,t) = EX(t)Y(t )X(t) "h( )X(t . - )d ' 11J=E J X(t) h(九)X(t+t 九)d 九1J= i -EX(t)X(t- ) h( ) d _O0若 X

25、 (t)為平穩(wěn)過程，則有 J “Rx” ->'.) h(>.) d，u = RxyG)此時有：Rxy( ) =RX( )* h()H3c同理可得：Ryx( ) =一Rx (-,)h(*)d ,_OQ即：Ryx( ) =Rx( )* h(-)4 .系統(tǒng)輸出的功率譜密度對于平穩(wěn)過程，當(dāng)我們知道了自相關(guān)函數(shù)RY&),取付氏變換就可得 Sx(6),已知Rxy (T )可得Sxy(。)。下面我們給出另一種方法來確定系統(tǒng)輸出譜密度與輸入譜密度的關(guān)系。性質(zhì) 設(shè)輸入X(t)為平穩(wěn)過程，那么通過線性系統(tǒng)后的輸出Y(t)平穩(wěn)，且X(t) , Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，如果輸入X(t)的譜密度為

26、Sx心),輸出Y的譜密度SY,H)為系統(tǒng)的頻率 ,、.2響應(yīng)，那么SY=SX(0)H(o)。H )(稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)(又稱系統(tǒng)的功率傳遞函數(shù))。證：Sy()二 i-RY( .) eJ d . J=J J RRx (t+7-還)h(。)h«2) d7dT2 ejdi=J - h( 1) . .h( 2) . . Rx(1 - 2)e-j d .d id .2令九=F 十% T2,則：&(); h(i)h(2)RX()e-j(2-1)d d2d1_o0_o0_o0二j. 1 二j. 1二j.1= h( 1)e d 1 h( 2)ed 2RX( )e d_ _ *=H (-

27、)H ( )Sx( ) =Sx( -)H ( )H()-Sx ( 1) Hi”5.系統(tǒng)的輸入輸出的互譜密度類似討論有：SXY ( ) = SX ( 1 ) H (1)Sx( ) =Sx( )H(-)時間連讀平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)分析時城分析頰域分新Mr =Rr <T)= J 先-藥=匚Jis內(nèi)(巧的十巧一不)廿勺n叼 尺立 0r) =h 位.)& (r - 5 ) drkcC77) =丘+ G)H(生但)-備(聞1Ho) “6=與8方口 耳注 O)=暖時間誨散平穩(wěn)隨機過程逋過線性系統(tǒng)分機時域新頻段析Afp = Jkf工E同傘、 g- V KgR* 在一 Q%= £ &

28、#163; 帆%)內(nèi)承q也5%-q0宜電一足。星rCr+后。* »備(的窿才隨機過程通過LTI系統(tǒng)應(yīng)用實例一一無線信道辯識習(xí)題六N01 .右系統(tǒng)輸入為白噪嚴， 其自相關(guān)函數(shù)為 RXH) = 16。)式中N0是正實常數(shù)，求系統(tǒng) 輸出的均方值。2 .理想白噪聲過程 X，其自相關(guān)函Rx(7)= Nj6(D ,通過一個沖激響應(yīng)為h(t)的線性系統(tǒng)，求系統(tǒng)響應(yīng)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。3 . 設(shè)白噪聲 X(t), 有Sx)=Nj, 通過傳輸函數(shù)為H =js 的微分電路,a為實常數(shù)，求電路輸出自相關(guān)函數(shù)。 a j 第5講平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng):y(t) = Lx(t)線性系統(tǒng):LaiX

29、i(t)82X2 (t) =aiLXi(t)azL%。)= a1yi(t)a2 y2。)時不變系統(tǒng):y(t "x) = Lx(t .)頻率響應(yīng)與脈沖響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，輸出 y (t) 等于輸入x (t)與單位脈沖響應(yīng)h (t) 的卷積,y(t) =x(t) h(t) Y( ) = X( ) H()因果系統(tǒng):h(t) =0,當(dāng)t <0穩(wěn)定系統(tǒng)：h(t)dt :二二J-JDO I隨機過程通過線性系統(tǒng)的輸出設(shè)線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h，當(dāng)輸入一個隨機過程X 時，其輸出隨機過程 Y (t)為： Y(t)=X(t)*h(t)= fX(tT)hdEY( ) = X(，) H (，)線

30、性系統(tǒng)輸出的均值='EX(t- )h(.)d.設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X的均值為mX(t),則其輸出過程Y (t)的均值為：mY(t) =EY(t) =E X(t-T)h(T)dT! "J=常數(shù)二 J-mx(t - )h( )d . =mx(t) h(t)當(dāng)輸入過程X (t)為均值平穩(wěn)時,mY = mX J h(T )d t-0線性系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X (t)的相關(guān)函數(shù)為RX(t1,t2)，則其輸出過程Y (t)的相關(guān)函數(shù)為：RY(ti,t2) =EY(ti)Y5 =E I -X (t1 -u)h(u)du jX (t2 -v)h(v)dv=m'

31、;EX(ti -u)X&-v)h(u麗dudv-一 一Rx(ti -u,t2 -v)h(u)h(v)dudv當(dāng)輸入過程X (t)為自相關(guān)平穩(wěn)時,qQ qQ RY( ) ： I i RX( -u v)h(u)h(v)dudv= Rx( ) h( ) a,( =tiY)輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù)Ryx (ti ,t2) = EY(ti)X(t2) = E 晨X (ti -u)h(u)X (t2)du j=.：EX(ti -u)X>h(u)du'J=_ Rx(ti -u,t2)h(u)du當(dāng)輸入過程X為自相關(guān)平穩(wěn)時,Ryx(戶。Rx( -u)h(u)du =Rx( ) h()IJ同

32、理,Rxy( ) =Rx( ) h(-)輸出相關(guān)函數(shù)Ry( ) =Rx( ) h( ) h(- ) =Ryx(.) h(-.) = Rxy( ) h()Ryx( ) =Rx( ) h()Rxy( ) =Rx( ) h(-)RX ()Y的均值my (t)為常數(shù)，相關(guān)函輸出過程的平穩(wěn)特性當(dāng)線性系統(tǒng)輸入一平穩(wěn)過程X (t)時，其輸出過程數(shù)RY(ti，t2)= Ry(t)只與時間差 丁有關(guān)，故輸出過程 Y(t)也是平穩(wěn)的。由于互相關(guān)函數(shù) RYX«)和RxY«)也都只與時間差七有關(guān)，故輸出過程 Y(t) 與輸入過程X (t)之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。例1 (h(t)的估計)設(shè)線性系統(tǒng)輸入一

33、個白噪聲過程X (t)，其相關(guān)函數(shù)為 RX G ) = N06 (T),則odRyx( ) =.No ( -u)h(u)du = Noh()，,、1 一 ，、h()ryx (')No假定過程X (t)和Y (t)是各態(tài)歷經(jīng)的,h()1NoY(t)X(t-)通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。 線性系統(tǒng)的譜密度設(shè)線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H(©),當(dāng)輸入平穩(wěn)過程 X(t)具有譜密度sX(6)時，則輸出平穩(wěn)過程Y(t)的譜密度為:2，、5=HSx因為Ry(t)=RX(T)*h(T)-h(-T)故sy(«) =sx(0) H («) H 伴)2I=

34、H(6) Sx 伴)如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓 X，其相關(guān)函數(shù)為 RX (t) = N06(t),求輸出電壓Y (t)的相關(guān)函數(shù)和平均功率。1解： H3)=,其中二 i .RCh(t) = ；e，tu(t)Sx( ) =FTRx( ) =N。2a2Sy9) = H (q) Sx(o) =-2 Noa +©: N0Ry() =IFTSy( ) = 丁 e-RX 士 Y (t)C= Ry(0)=也2例3 如圖有兩個LTI系統(tǒng)H1(切)和H 2(切)，若輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程X(t),它們的輸出分別為Yi(t)和Y2(t)。如何設(shè)計 Hi侔)和H2®)才能使Yi(t)和

35、Y2(t)互不相關(guān)？解：互不相關(guān)u協(xié)方差為零Y(t) =X(t) h(t) = _X(t - )h( )d-bomYi = mX Hh1( )d =0-bomY2 = mX !. .、h2( )d =0RyiY2( ) =EYl(t)Y2(t -)qQ qQI i Rx( -u v)h1(u)h2(v)dudv= Rx( ) hi( ) h2(-)SyiY2( ) =Sx)Hi( ) RTF)當(dāng) SY1Y2 (E) =0 時，Rym =0CY1Y2 (")-0Yi(t)和Y2(t)互不相關(guān)。例4 (成形濾波器)求一個可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)H(co),使得當(dāng)輸入一具有單位譜高的白噪聲當(dāng)兩個l

36、ti系統(tǒng)的幅頻特性互不重疊時，則它們的輸出X(t)時，其輸出過程 Y(t)的譜密度為sY(co).解：Sy) = H(m);Sx(s)H()2 二 j -(1 j )(3 j )H(.)|24+2_44229 + 106 +切 (1+切)(9+ 8)2，Sy(')44210 9第6講幾種重要的隨機過程§ 6.1獨立增量過程定義設(shè)X(t),tWT是隨機過程，若對任意的正整數(shù)n和t1 <t2父<tnwT ,隨機變量 X(t2)X(t1),X(t3) X(t2)，X(tn)X(tn)是相互獨立的，則稱X (t), t WT 為 獨立增量過程，又稱可加過程。這種過程的特點

37、是：它在任何一個時間間隔上過程狀態(tài)的改變，不影響任何一個與它不相重疊的時間間隔上狀態(tài)的改變。實際中，如電話交換中心在某段時間間隔內(nèi)收到的呼叫總數(shù)可用這種過程來表示。平穩(wěn)獨立增量過程定義設(shè)X(t),tWT是獨立增量隨機過程，若對任意s<t ,隨機變量X (t) X (s)的分布僅依賴于t_s,則稱X,t TT 為平穩(wěn)獨立增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程是是一類重要的隨機過程，后面將提到的維納過程和泊松過程 都是平穩(wěn)獨立增量過程。§ 6.2 正交增量過程定義設(shè)X(t),tWT是零均值的二階矩過程，若對任意的11ct2 Wt3 <t4 W T ，有EX(t2)-X(L)X(t4)-X(t3) =0則稱X (t)為正交增量過程。正交增量過程的協(xié)方差函數(shù)可以由它的方差確定：2 ,CX(s,t) = RX(s,t) =r(min( s,t