高三導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題題型1.高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x) =eXln(x+m). (2013全國新課標(biāo)II卷)(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m,并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng) m0.解 f(x) =exln(jv+z?)/ (x)=e*(0) =e=0卬=1,x+m。十卬1 d v-4- 1 1定義域?yàn)閤x 1, f U)=eT. X十卬X十JL顯然f(x)在(-1,0上單調(diào)遞減，在0, +8)上單調(diào)遞增.(2)證明 g(x) =e,一 ln(x+2),則 g(x)=e，4(x 2).x十2h(x)=g (x)=ex三(x-2)6 (x)=e“H-工0，x+2x十 2所以Mx)是增函數(shù)，從x

2、)=o至多只有一個實(shí)數(shù)根，又 g (_J)=4=_Jo, S (0)=1-10,4 ye 3/2(1 所以4x)=g(x)=0的唯一實(shí)根在區(qū)間一5, 0內(nèi)，設(shè) (x) =0 的根為，則有(?) =er-二=。(一)K0， r I / i 乙 /所以，e t + 2 e f C I 乙當(dāng) t)時(shí),g (x) )=0, g(x)單調(diào)遞增；1 1+ j-所以 g(x)=g( t) =e -In(t+ 2) = ) + t= 0, v i 乙C I 乙當(dāng)卬-x1 +ax+b,求(a +1)的最大值。 2 f(x)=/(0) + 白2 =八幻=/W-1_/(O) + X令 x = l 得：/(0) =

3、1得：J (x)- + x2 = g(x) = fx = ex - + x2gx) = +1 0 = y = g(x)在 X e R 上單調(diào)遞增得：/(a)的解析式為/(x) = e -x + ；x2 乙且單調(diào)遞增區(qū)間為。y)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)(2) f(x)x2+ax+b h(x) =，一 (a + l)x N 0 得 (x) = e* (a +1)當(dāng)“ + l0 =)，=力(幻在工/?上單調(diào)遞增x -GO 時(shí)，(x) -O0 與 h(x) 0 矛盾當(dāng)a +1 0時(shí)，(x) 0xln(a +0xQ令 F(x) = x2-x2 In x(x 0)；則 Fx) = x(l-2Inx)當(dāng)

4、X = 4時(shí)，當(dāng) =ye-,b = e時(shí),(a+ 1)6的最大值為 2例3已知函數(shù)/*)= 以 + ,曲線)，= /*)在點(diǎn)(1J)處的切線方程為x + 2v-3 = 0。 X + 1 X(2011全國新課標(biāo))(I )求a、。的值；(II)如果當(dāng)且“Ml時(shí)，/- + -,求攵的取值范圍。 x-1 Xa(上Tnx) ,1解(I) fx) = 一一；由于直線x + 2)，-3 = 0的斜率為-，(x + 1廠廠2/=1, e=1,且過點(diǎn)(1,1)，故，r 1即41解得4 = 1, b = l o/=一二， 二 一 b = 一 二,(H)由(I )知f(x) =l + ,，所以 X+l X/一揮勺=

5、占皿考慮函數(shù)/?*) = 2Inx+(1兒二7)(x0),則/?(x)=(J) +)+ 2” Xr設(shè)攵。，由力,(幻=、+” =( 7匚知,當(dāng)1時(shí)，hx)0, h(x)遞減。而力=0當(dāng)乂 ( 1, +oO )時(shí)，h(X)01-x2從而當(dāng)x0,且xw 1 H寸，f (x)-In x k、八 口“ 八 / 、Inx k+-)0,即 f (x) +-x -1 Xx -1 X故當(dāng) a e (。, 1)時(shí)，h(x) 0 ,可得一二 /?(x) 0 ； 一片(ii)設(shè)00,對稱軸 x 二一!一1 當(dāng) xe(l, !)時(shí)，(kT) (x:+l) +2x0, T-kl-k* 11故h (x) 0,而 h (1

6、)=0,故當(dāng) xw (1, )時(shí)，h (x) 0,可得-h (x) 0=h (x) 0,而 h (1) =0,故當(dāng)xe (1, +oo )時(shí)，h (x) 0,可得一二 h (x)0,與題設(shè)矛盾。1-x2綜合得，k的取值范圍為(-s, 0例 4 已知函數(shù) f (x) = (x+Bx+ax+b)e (2009 寧夏、海南)(1)若a=b=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；若f(x)在(-8, a),P)單調(diào)增加，在(a,2), (B,+8)單調(diào)減少，證明P - a 6.解：(1)當(dāng) a=b=-3 時(shí),f (x) = (x3+3x2-3x-3)e-x, 114f (x) = (x3+3x23x3) e +(

7、3x:+6x 3)e =e (x39x) = x(x3) (x+3) e s.當(dāng) xV3 或 0VxV3 時(shí),f (x)0;當(dāng)一3VxV0 或 x3 時(shí),f (x) 0.從而f(x)在(-8, -3), (0, 3)單調(diào)增加，在(一3, 0), (3,+8)單調(diào)減少.(2)f (x) = (x3+3x2+ax+b) e +(3x2+6x+a) e x = e x2+ (a 6) x+b a .由條件得 f (2) =0,即 2s+2 (a-6) +b-a=0,b=4-a.從而 f (x)=-ef V+(a-6)x+42a.因?yàn)?f (a)=f (B)=0,所以 x、(a6)x+4 2a= (x

8、 2) (xa ) (xB ) = (x 2) x( a + B )x+a P .將右邊展開，與左邊比較系數(shù)，得a+B=-2, a 0=a 2.故一一2 = J(/7 + a)2鉆尸=J12 - 4”.又(B 2) (a 2) V0,即 a 0 2 ( a +。)+4 V0.由此可得 a6.2.在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(1)曲線y = /(x)在x =q處的切線的斜率等于/(%),且切線方程為y = fW（x-xQ）+f（xQ）o若可導(dǎo)函數(shù)y = /（x）在x = /處取得極值，則:（%） = 0。反之，不成 立。對于可導(dǎo)函數(shù)/（X）,不等式/V）0（0）的解集決定函數(shù)/（X）的遞增 （減）區(qū)間

9、。（4）函數(shù)/在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：Vxe/（工）20住。）恒 成立（廣（x）不恒為0）.（5）函數(shù)/*）（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于/*）在區(qū)間I上有極 值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程/（x） =。在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若 /*）為二次函數(shù)且I二R,則有（）。（6） /（X）在區(qū)間I上無極值等價(jià)于/*）在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到尸（為之0或廣（工）0在I上恒成立若Vxw/ , /（X）0恒成立，則/（A-）min 0；若Eve / , f（x） 0恒成立, 則（8）若 m ,使得則/（，”。；若三 /，使得/（X。）V0,(9)設(shè)與g(x)的定義域的交集為D,若Vx

10、WD /(x)g(x)恒成立，則有fM-sMmn0.(10)若對 V X /、，”X)8(工2)恒成立，則/(X)ming(X)max若對 VX/，3 X2el2f 使得/(X)g(X2)，則/(min g(X)min若對 VX/，3 X2 e/2，使得/(X)Vg*2)，則/(X)maxg(X)maL(11)已知/W在區(qū)間L上的值域?yàn)锳, , g(x)在區(qū)間上值域?yàn)锽,若對V%/1,三馬七八，使得/(再)二g()成立，則(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)，則方程/(x) = O有兩個不等實(shí)根須、，且極大值大于0,極小值小于0.(13)證題中常用的不等式：XX 1lnx0) W In (x+

11、D -l)ex l + x(4) e ) 之 1 xInx x 1 / 八 rD x+12 In x 11 z八、 i )3.題型歸納 （構(gòu)造函數(shù)，最值定位）（分類討論，區(qū)間劃分）（極值比較）（零點(diǎn)存在性定理應(yīng)用） （二階導(dǎo)轉(zhuǎn)換）例1 （切線）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)。=1時(shí),求函數(shù)以外=（2在區(qū)間上的最小值;（2）當(dāng)。時(shí)，曲線廣八力在點(diǎn)PG（陽）而處的切線為L /與軸交于點(diǎn) 4%2,）求證：例2 （最值問題，兩邊分求）已知函數(shù)/（x） = lnx-仆+上工-1 （oeR）. X當(dāng)時(shí)，討論了（X）的單調(diào)性；設(shè)g（x） = xJ2+ 4.當(dāng)4 =1時(shí)，若對任意不（0，存在el,2,使內(nèi)）g（）,求實(shí)數(shù)一取

12、值范圍.例3 （切線交點(diǎn)）已知函數(shù)x） = a?+加3x（awR）在點(diǎn)（1J。）處的切線方程為y + 2 = 0.求函數(shù)“X）的解析式；若對于區(qū)間卜2,2上任意兩個自變量的值對都有|/（5）-/（七）歸。，求實(shí)數(shù)C的最小值:若過點(diǎn)M（2,i）（/工2）可作曲線），= /（/）的三條切線，求實(shí)數(shù)?的取值范圍.3/（X）= 111（2+ 3幻一二 /例4 （綜合應(yīng)用）已知函數(shù)-2求f（x）在0,1上的極值；不等式 I tt-lnxl +ln/（x） + 3x 0若對任意6 3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若關(guān)于x的方程/（）= -2 +匕在0, 1上恰有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)6的取值范 圍.（p（x）

13、=例5 （變形構(gòu)造法）已知函數(shù)x + 1, a為正常數(shù).=9若Mln*）,且廣5,求函數(shù)”刈的單調(diào)增區(qū)間;（2）在中當(dāng)“=。時(shí)，函數(shù)尸八外的圖象上任意不同的兩點(diǎn)8a2，%）,線段A3的中點(diǎn)為08。），記直線AB的斜率為試證明：八/）.8（）一儀8）.若g（%）= |lnx| + 9（x）,且對任意的修，與日2產(chǎn)%，都有 必一修 ，求且 的取值范圍.例6 （高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧）已知函數(shù)八幻二/皿G）90）（1）若/（）&/對任意的x。恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍;（%） = XA,Xy e（-+X 1J t 4（2）當(dāng)“ =1時(shí)，設(shè)函數(shù) x ,若 一 e -,求證再匕區(qū)+/）例7 （絕

14、對值處理）已知函數(shù)/。） = /+/+/* + c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x = l處取得 極大值.（I）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；（II）若方程/（） = -坦寧恰好有兩個不同的根，求人幻的解析式；（III）對于（II）中的函數(shù)/。），對任意a、/3eR,求證：l/（2sina）-/（2sin月）K81.例8 （等價(jià)變形）已知函數(shù)= l-lnx（aeR）.（I）討論函數(shù)/。）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)：（II ）若函數(shù)/（X）在x = l處取得極值，對Vxe （。,+8）, /（x）之以-2恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（III）當(dāng)0cx），且xwe時(shí)，試比較上與上2的大小.x 1 - In x例10

15、(整體把握，貫穿全題)已知函數(shù))=叱-1.X(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)心0,求/(X)在加上的最大值；(3)試證明：對任意”N*,不等式皿臼)， 舊都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).n n(ill)證明：.6 a2 cin n +1例11(數(shù)學(xué)歸納法)已知函數(shù)/(x) = ln(x + l) + z,當(dāng)x = 0時(shí)，函數(shù)/W取得極大值.(1)求實(shí)數(shù)用的值；(2)已知結(jié)論：若函數(shù)/(x) = ln(x + l) + z在區(qū)間(,/?)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且”一1,則存在xe(4。)，使得廣“。)=山型.試用這個結(jié)論證明：若-1玉, b-a函數(shù) g (X) = /()二 0(X 內(nèi))+

16、/(A-),則對任意 x e 區(qū),x,),都有 /(x) g(x)；(3)已知正數(shù)4,4,，4，滿足4+4+ 4=1，求證：當(dāng)之2, 時(shí)，對任意大于-1,且互不相等的實(shí)數(shù)不小,，天，都有/(4萬 +-%2 +4/) 4/(工1)+4/(七)_|例12 (分離變量)已知函數(shù)/)=1+alnx(a為實(shí)常數(shù)).(1)若。=-2,求證：函數(shù)在(1,+8)上是增函數(shù);(2)求函數(shù)A)在1, e上的最小值及相應(yīng)的x值；(3)若存在xe【10,使得x)m + 2)x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例13 (先猜后證技巧)已知函數(shù)/ A(1)求函數(shù)F (x)的定義域(II )確定函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性，并

17、證明你的結(jié)論.(III)若x0時(shí)恒成立，求正整數(shù)如勺最大值. x+l例 14 (創(chuàng)新題型)設(shè)函數(shù) f (x)=e+sinx, g(x)=ax, F(x)=f (x) g(x).(I )若x=0是F(x)的極值點(diǎn)，求a的值；(II)當(dāng) a=l 時(shí),設(shè) P (x：, f(X：),Q(x2, g(x =) (Xi0, x20), 且PQ g(x) = ax2 -2ax + l + b(a 0,b0 x e -1,1 k 2/(I2一11) + %( 3) = 0、,k /(x) = -+ a、b e R x = a j(x) t/ = 0 b aN，如 x3 f(x)b A e R Xp x29 x

18、v x4 %,% ，；，i2 4，乙 123,4 x4 /(x) = lnxg(x) = L./+以(a HO)若a = -2,函數(shù)6(x) =/(x)-g(x)在其定義域是增函數(shù)，求b 2的取值范圍；(2)在的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)p(x) =e2x+be xe 0, ln2,求函數(shù)(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象Q與函數(shù)g(x)的圖象G交于點(diǎn)P、Q,過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸 的垂線分別交a、a于點(diǎn)m、n,問是否存在點(diǎn)r,使a在m處的切線與a在n處 的切線平行若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.V例18 (全綜合應(yīng)用)已知函數(shù)/(x) = l + ln (0vxv2).2-x(1

19、)是否存在點(diǎn)方)，使得函數(shù)y = /(x)的圖像上任意一點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)必對稱的點(diǎn)。也 在函數(shù)y = /(x)的圖像上若存在,求出點(diǎn)物的坐標(biāo);若不存在,請說明理由；2/1-1 :1 oOn 1(2)定義 Sn = /() = /(-) + f (-) + + /()，其中 e N，求 52013; n nn(3)在的條件下,令S“ +1 = 2% ,若不等式2% 尸 1對V” w N且 2 2恒成立，求 實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合例19 (換元替代，消除三角)設(shè)函數(shù)一尸(xeR),其中eR.(I )當(dāng) =1時(shí)，求曲線 = /)在點(diǎn)/)處的切線方程；(II)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)“幻的極大值和極小值；

20、(川)當(dāng)3,攵式-1,0時(shí)，若不等式/一8$冷2/(y_8$。)對任意的工1i恒 成立，求攵的值。創(chuàng)新問題積累例20已知函數(shù)/(幻=瓜二+ .x-4 4I、求/*)的極值.II、求證/(X)的圖象是中心對稱圖形.III、設(shè)/（X）的定義域?yàn)?。，是否存?可。.當(dāng)xe,向時(shí): /的取值范圍是3 )44若存在，求實(shí)數(shù)”、的值：若不存在，說明理由導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納參考答案3，一走例解：4 = 1時(shí)，由*）= 3i1 = 0,解得3 ./的變化情況如下表:010+0極小值/0聲 2出所以當(dāng),一不時(shí)，以、）有最小值*7 一 丁.證明：曲線-v = /在點(diǎn)尸（巧，2葉一 ）處的切線斜率卜=/5）= 2占曲

21、線 = /）在點(diǎn)P處的切線方程為-（2- ）= 2x6 -匹）.X, = X2 = 71=令y = 0,得-2七 一.-2x,2修a-xj 八-, 2ai ,即與 必 石.例2( 1) /*) = In x-ov + X 1 (x 0),(x) = 1 _q + 匕=二二+-1 慎 0) AX 廠廠令 /?(%) = ax1 - x +1 - a(x 0)當(dāng)。=。時(shí)，/U) = -A + l(X0),當(dāng)X(0)J心)0J(X)0,函數(shù)/(幻單調(diào)遞減；當(dāng)X (l,+oO),/7(A) 0 ,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增.當(dāng)。工0時(shí)，由/W =。，即ax2-x+l-a = 0,解得占=1,左=,一1. a

22、當(dāng)” 時(shí)內(nèi)=，萬*注0恒成立，此時(shí)廣(x)0,函數(shù)x)單調(diào)遞減： 乙當(dāng) 0。10, xe(o,l)時(shí)力(x)0，r(x)。，函數(shù)/6)單調(diào)遞減； 2 aX(1,_L 1)時(shí)，力(x)0,函數(shù)/(t)單調(diào)遞增； al,xo)時(shí)，/?(x)0，r(x)0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減. a當(dāng)。0時(shí)！一1O，r(x)vO,函數(shù)/G)單調(diào)遞減； a當(dāng) xe (l,+oo),A(x) 0 ,函數(shù)x)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(。)單調(diào)遞減，)單調(diào)遞增；當(dāng)=；時(shí)玉=,馬，萬)NO恒成立，此時(shí)廣(x)40,函數(shù)幻在(0,y)單調(diào)遞減；當(dāng)Ov。與（X）矛盾；當(dāng) el,2時(shí)，g*）min=g =4也與（派）矛盾；

23、117當(dāng)2 時(shí)，U）min=（2） = 8-4/7-. Z o17綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是9,+8）. 8例 3 解：（D/（x） = 3o2 +2bx-3 .根據(jù)題意,得即2+-3 = -2,解得不=1所以刈=丁_3%. /=0,3a + 2-3 = 0,b = 07令r（x） = 0，即3/3 = 0. Wx = l .12+增極大值減極小值增則g(0)0 即6 + ?0，解得g(2)2-2 + in 0例4解：/=- 3,-3(： 1)(? - 1), 2 + 3x3x + 2令尸(x) = 0得x = 1或x = -l (舍去)當(dāng)0 X 0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)：v X 1 時(shí)，八x)

24、0 得 a In x In -或a /?(x)或a 0 ,3x (2+ 3x)2x(2 + 3x)一/、31 ,、2 + 6x 八h (x) =-(2 + 6x) = 0 ,2x + 3x 321 + 3廠g)與力(x)都在占上單增，要使不等式成立, o 3當(dāng)且僅當(dāng)a 4(1)或 Ini或“ 0*于是夕(x)在。?上遞增;x e * J再寸，9(x) (0)() 。，/(x) = 21+ 即8(x)=。在05恰有兩個不同實(shí)根等價(jià)于mn 八、1 Q 廠+(2 4)1 + 1例5解：/暇)=二曰=l尸Q11ea=-,令/()。得x2或0x 演，要比較與/(與)的大小，即比較工 與占一百項(xiàng)+巧的大小

25、,_2(i-1)又馬內(nèi)，即比較ln&與此=Y-的大小.X $ + 工2 也 + 1再令/-喑11,，則以V 一品廠含加。，工力在1*）上位增函數(shù).又生1, /臣)1) = 0, 玉玉2(也-1)/. In-,即 /”(而) 再上+ 1W（上）-玉）.一（七）+上一卜3）+ 蟲（）35） 、ux2 7X2 - X由題意得尸。）=8。） +、在區(qū)間（。,2上是減函數(shù).10 當(dāng) 1WXK2,尸(x) = lnx + - + x,工)=1一, :、+1x + 1x 。+1廠由尸(r)W0 = aN( + +(x+l)2 =x2 +3x + + 3 在xwl，2恒成立. XX設(shè)”?(x)= x2 +3x

26、 + + 3 , xe1,2,則/0 x尸.mix)在1,2上為增函數(shù)，m(2)=號.2 當(dāng)0xl,E(x) = - lnx + - + x,工 廠(外二一，一,“一+1 x + X (x + 1)-由小。）工0 = 4之一 +。+1）2=/+不一上一1在不（0,1）恒成立 XX設(shè) /（X）= Y + X 一 , 一 1 , X6 （0,1）為增函數(shù)， 4 2 f =。 X27綜上：a的取值范圍為例6解：(1) /*(x) = 2xn(ax) + x, f(x) = 2aln(av) + x0上恒成立2設(shè)(x) = 21nax + l-x /(x) = -l = 0.x = 2 , x2 時(shí)，

27、單調(diào)減，x2 單調(diào)增, ， x所以工=2時(shí)，有最大值M(2)0,21n2 + l2,所以?！肮I(yè).2(2)當(dāng) =1 時(shí)，(x) = -= xlnx, xg(x) = l + lnx = O,x = L所以在(，M)上g(x)是增函數(shù)，(0)上是減函數(shù). eee因?yàn)閘ex1 內(nèi)+月(內(nèi))=匹Inxi e即 In $ + ln(xj + as) 同理 In 八 :n(x + as ).MX2所以 InX + Inx7 ( + + + )皿 + ) = (2 + + )n(x1 +x7) X2 X- X2 x又因?yàn)? + 3 + &N4、當(dāng)且僅當(dāng)“匹=”時(shí)，取等號.X2 X又看,修 e(-J),x.

28、 + / 1, n(x +4)0, e所以(2 + + )ln(x+ x2)4ln(X + x2)所以In由 + hix2 4ln(x, + x2)X2 x一. ,所以：xAx2 c = 0,fx) = 3.V + 2ov + b,(I) = 0 = A = - 2a 3由f(x) = 0 = x = 1或r = 一二，二：,因?yàn)楫?dāng)x = 1時(shí)取得極大值,所以一次土2 1 = 0 時(shí)，ff(x) 0 得 x 1, aa，f(x)在(0)上遞減，在(L2)上遞增，即/(幻在x = 1處有極小值. aa4，當(dāng)0時(shí)/(X)在。+oc)上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)4 0時(shí)，f(x)在(O,+oc)上有一個極值點(diǎn).

29、(II) ;函數(shù)/(V)在x = l處取得極值，“ =1, /*)之反一2 = 1 +!一處之, X X令g(x) = l + 1-處，可得g(x)在短“上遞減，在卜,+3)上遞增， X Xe g(X)min =g(J)= l -* 即人e夕(HI)證明：產(chǎn) o,ln(y + 1) ln(x+ 1) ln(y+ 1)令g(、)= lF則只要證明g在(一+上單調(diào)遞增，ex In(x+ 1)-又: gW =.x + h?(x + l)顯然函數(shù)心)山川)-內(nèi)在上單調(diào)遞增./. /?(%) 1- 0,即 g(x) 0,，g(x)在(e-L+oo)上單調(diào)遞增,即ln(x +1) ln(y + 1)當(dāng)、，

30、一時(shí)有| 帶/例9解：(I) 0(x) =，,./=1；.直線/的斜率為L x且與函數(shù)/(X)的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0), 直線/的方程為)，= x-1.y = x-1乂.直線/與函數(shù)y = g的圖象相切，.方程組1 ,7有一解。y = x+ mx + I 22由上述方程消去y,并整理得Y+2(?-l)x + 9 = 0依題意，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，. = 2(?-l)f-4x9 = 0解之，得m=4或m=-2,。？ -l) :.h x) = -1 =. ，x+1x+.當(dāng)xe(-l,0)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào),當(dāng)xe(0,x)時(shí),翅x)0J?(x)單減。.當(dāng)x=0時(shí)，萬取最大值，其

31、最大值為2。(III) f(a + b)-f(2a) = n(a + b)-n2a = In +=ln(l + -). 2a2ab a b a證明，當(dāng) x e (- 1,。)時(shí)，ln(l + x) x,. ln(l + ) 0 ;當(dāng)時(shí)，/(x)0.所以函數(shù)/(x)在(0.可上單調(diào)遞增，在怙,2)上單調(diào)遞減.(2 )由(1 )可知當(dāng)*We ,即1 4：時(shí),/(x)在m,2m上單調(diào)遞增，所以小)心=八癡)=用-1,2m當(dāng)/心c時(shí)，/(X)在上單調(diào)遞減，所以/心=出生-1.當(dāng)帆vev2;，即;eIn 2ni 八 J。 -1. 0 7W -2m2-1, nt e mm2時(shí)，= /(e) = -* 綜上

32、所述，/心=、 e(3 )由(1 )知當(dāng) xg(O.-hxj) Hl f (x)mx = /(e) = - -1 .所以在 xg(O,-ko)時(shí)恒有 e3 當(dāng)且僅當(dāng)x = e時(shí)等號成立.因此對任意XG(0,xc)恒有x ex elnx0,區(qū)“，所以in 0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞增;當(dāng)工(0,+8寸，/(A) 0 , h(x)單調(diào)遞增，/?(x) /z(x, ) = 0；,當(dāng)xeQo，/)時(shí),(x)v0, (x)單調(diào)遞減，./(x)/?(%2)=。；故對任意口(42)，都有/(x)g(x).(3 )用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng) =2時(shí)，,-4+4 = 1，且4o，40,.,.4%+再 (卬

33、再)，二由(II)得/(X)g(X)，即+.)(4 $ +4石一為)+ /(為)=4/(司)+4/12)，王一石，當(dāng) =2時(shí).，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n = k(k 2)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)4+4+ 4=1時(shí)，/(4芭+4%2仁F 4/)4/(，1)+ 4/32)+當(dāng) H = k + 時(shí)，設(shè)正數(shù)4.4, ,4+1 滿 足 4 + 小 + 4+i = 1 令 m = + Aq + + A,k Ni=、氏=工, 則6 + 4+1“=1，且i+2 + 4 = 1 m mm，當(dāng)=攵+ 1時(shí)，結(jié)論也成立.綜上由，對任意心2, N,結(jié)論恒成立.例12 解：當(dāng)” =一2時(shí)，/(x) = 1 21nx,當(dāng)xe(l,+8

34、),廣=n)0, x故函數(shù)/(X)在(1，田)上是增函數(shù).(2) f (x) =+a (x0),當(dāng)2x2 +aea + 2ta + 2e2.X若心-2,八）在UM上非負(fù)（僅當(dāng)” =-2, X=1時(shí)，/（%） = 0）,故函數(shù)/在U上是增函數(shù),此時(shí)/（刈皿=A1）= 1.若-2/-2,當(dāng) =舊時(shí)，/（、）= ；當(dāng)叱、 |，時(shí)，,廣（x）0,此時(shí)/G）是減函數(shù)；當(dāng)jc時(shí)，ru）o,此時(shí)/是增函數(shù).故l/(x)lmin =yln(-)-y 若心一2入 /）在U,e上非正（僅當(dāng)” =-2r，x=e時(shí)，（=。），故函數(shù)/。） 在上是減函數(shù),此時(shí)/（Mmm =f（e）=a + e2.不等式/*)(4 +

35、2)X,可化為a(x-Inx)x2 -2x.InxWlWx且等號不能同時(shí)取,所以lnxx,B|J x - lnx 0 ,因而一 2 (xeU，H)x- Inx令雙外二二一入（A-el,6）,又g（x） = x-nx(x-l)(x + 2-21nx)(x - In x)2當(dāng)時(shí)，x-l0Jnx0,從而(x)2 0 (僅當(dāng)x=l時(shí)取等號)，所以g(x)在U0上為增函數(shù), 故g(x)的最小值為8=-1,所以a的取值范圍是-1，+8).例 13 解：(1)定義域(-1,。)(0,+8)(2 ) ffM =+ ln(x + l)當(dāng) x 。時(shí)，/(X) 0 單調(diào)遞減。廠x + 111X當(dāng) x e (-1,0

36、),令 g(幻=-+ ln(x + 1)短) = - - + -=x + 1(x + 1 廠 x + 1 (x+1)-g(x) = - + lna + l) ，(.)=-r + - = -Tg(0) = l。，故此時(shí)廣。)=-1- + 11* + 1)在(-1, 0)和(0, +8)上都是減函數(shù) 廠X+1(3)當(dāng)x0時(shí)，/(幻 上恒成立，令x = l有A0時(shí) (x + 1)In* +1) +1 - 2x 0恒成立令 g(x) =(X +1) ln(x +1) +1 - 2x 則 gx) = n(x +1)-1,當(dāng)x g 1時(shí)gf(x) = ln(x + l)-h 當(dāng)xe-l時(shí)，g(x) 0 當(dāng)

37、0xe 1時(shí)，g，(x) 0當(dāng)x0時(shí)，(x + l)ln(x + l) + l-2x0恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例 14 解：(I )尸(才)= e +sinx ax, F x) = ex + cos x - a.因?yàn)锳-0是尸(x)的極值點(diǎn)，所以尸(0) = 1 + 1-4 = 0m = 2.乂當(dāng) a=2 時(shí)，若 XO, F *(x) = ex + cos x-a 0.卡0是尸(x)的極小值點(diǎn)，aW符合題意.(II) Va=l, 且 PQ x2 =ex +sinXj x2-x= ex + sin x - xx 令 h(x) = ex + sin x-x,h (x) = ex + cos

38、x-1 0 當(dāng) x0 時(shí)恒成立.:,xG 0, +8)時(shí),方 J)的最小值為 A(0)=l. A | PQ/l.(Ill)令3(x) = F(x) - F(-x) = ex - ex + 2 sin x - lax.則 0,(p(x)在0, +8)單調(diào)遞增，即叭x) 0(0) = 0.故aW2時(shí)尸(x) NF( x)恒成立.例15 解：(I ) (l)g(x) = a(x l)2 + l + b 當(dāng) 0時(shí)、雇工)在2, 3上為增函數(shù)g=2g(2) = 59。一 6。+ 2 + = 5 a = 1= =4。一 4。+ 2 + /? = 2/? = 09。一 6+ 2 + /? = 24。4。+

39、2 + /7 = 5當(dāng)。0H寸,g(x)在2, 3上為減函數(shù)g=2g(2) = 2 ./?! :.a = b = 0 即 g(x) = x2 - 2x + l. /(x)(II )方程/(2)-220化為2+， 23八2、1 + (工)2-2晨酊 令=，kr-2t + 2X 2X2XV x e -1 J ：.te-,2 記2(pt = r -2z + l A 0(f)1nhi = 0：.k 0(III)方程/(I2、1I) + A(不3) = 0化為 12=ll+點(diǎn)三 (2 + 3k) = 012111211I2V-1I2 一(2 + 3k) 12V11+(1+ 2k) = 0, I2X -1

40、10令I(lǐng) 2”-11=/,則方程化為產(chǎn)一(2 + 3+ (1 + 2)= 0 (t0)1 + 2k方程I2-ll+77r(2 + 3幻=0有三個不同的實(shí)數(shù)解, I 2 - 1 I由f =12，-11的圖像知,產(chǎn)一(2 + 3幻/ + (1 + 2幻=。有兩個根小，KOt, lt2 或 0 1, t2 =1 記或0、Bv 49= _k0奴 l) = k = 0k 0八 2 + 3k t00 ,設(shè)Xj a2是g (x) = 0的兩個根,(1)當(dāng)M=?；蛘?。時(shí)，則工=。不是極值點(diǎn)，不合題意；(2)當(dāng)天產(chǎn)。且占。時(shí)，由于x =。是“X)的極大值點(diǎn)，故占。在.g(0)0,即 2b0,h0 ,于是，假設(shè)如通是g(x) =。的兩個實(shí)根,且再4由（I ）可知,必有且石、。、是/（X）的三個極值點(diǎn)，則+_（u-b-3） + yJ（i+b-l）2+8、玉二2，%=2假設(shè)存在及滿足題意，（1 ）當(dāng)孫a,石等差時(shí)，即修一一再時(shí)，則工4 =2工2-4或工4