高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第四節(jié) 無窮小與無窮大

1、一、一、無無 窮窮 小小二、二、無無 窮窮 大大三、小三、小 結(jié)結(jié)2/15一、無窮小一、無窮小(infinitesimal)1、定義定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮?。浚o窮小（量）.3/15例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).4/152、無窮小

2、與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證：證：必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx 5/150)(lim)(lim00 xAxfxxxx （則則.)(lim0Axfxx 故故有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)即即,0,0,00 xx 0)()(AxfAxf6/15意義：意義： （1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(20 xAxfxxf 誤差為誤差為式式附近的近似表達(dá)附近的近

3、似表達(dá)在在）給出了函數(shù)）給出了函數(shù)（ 7/15二、無窮大二、無窮大(infinite)絕對(duì)值無限增大的變量稱為絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.8/15特殊情形：特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx9/15xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是

4、一個(gè)無界變量是一個(gè)無界變量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，10/15.11lim1 xx證明證明證：證：. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy.)(,)(lim:00的的圖圖形形的的鉛鉛直直漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如

5、果果xfyxxxfxx 定義定義1例例11/15三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx 12/15. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1Mxf 從而從而.)(1,0為為無無窮窮大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

6、xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論的討論.13/15四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.（1） 無窮?。o窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小；無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮?。唬?） 無界變量未必是無窮大；

7、無界變量未必是無窮大；（4）無窮小無窮小( (大大) )都是極限范疇，是兩種特殊情況都是極限范疇，是兩種特殊情況. .用時(shí)用時(shí)1課時(shí)課時(shí)14/15思考題思考題若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，問：能否保證有問：能否保證有0 A的結(jié)論？試舉例說明的結(jié)論？試舉例說明.15/15思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx16/15一、填空題一、填空題: :1 1、 凡無窮小量皆以、 凡無窮小量皆以_為極限為極限. .)(,_2的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線條條件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是無窮小是無窮小則則是無窮大是無窮大若若、在同一過程中、在同一過程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件問問是是無無窮窮大大函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)二二、根根據(jù)據(jù)定定義義證證明明練練 習(xí)習(xí) 題題17/15.,0,1,0(1sin1這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)不