高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第四節(jié) 無窮小與無窮大

1、一、一、無無 窮窮 小小二、二、無無 窮窮 大大三、小三、小 結(jié)結(jié)2/15一、無窮小一、無窮小(infinitesimal)1、定義定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小（量）無窮?。浚?3/15例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).4/152、無窮小

2、與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證：證：必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx 5/150)(lim)(lim00 xAxfxxxx （則則.)(lim0Axfxx 故故有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對對即即,0,0,00 xx 0)()(AxfAxf6/15意義：意義： （1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(20 xAxfxxf 誤差為誤差為式式附近的近似表達(dá)附近的近

3、似表達(dá)在在）給出了函數(shù)）給出了函數(shù)（ 7/15二、無窮大二、無窮大(infinite)絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.8/15特殊情形：特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx9/15xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是

4、一個(gè)無界變量是一個(gè)無界變量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，10/15.11lim1 xx證明證明證：證：. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy.)(,)(lim:00的的圖圖形形的的鉛鉛直直漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如

5、果果xfyxxxfxx 定義定義1例例11/15三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx 12/15. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1Mxf 從而從而.)(1,0為為無無窮窮大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

6、xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論的討論.13/15四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。o窮小（ 大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮??；無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮??；（3） 無界變量未必是無窮大；

7、無界變量未必是無窮大；（4）無窮小無窮小( (大大) )都是極限范疇，是兩種特殊情況都是極限范疇，是兩種特殊情況. .用時(shí)用時(shí)1課時(shí)課時(shí)14/15思考題思考題若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，問：能否保證有問：能否保證有0 A的結(jié)論？試舉例說明的結(jié)論？試舉例說明.15/15思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx16/15一、填空題一、填空題: :1 1、 凡無窮小量皆以、 凡無窮小量皆以_為極限為極限. .)(,_2的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線條條件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是無窮小是無窮小則則是無窮大是無窮大若若、在同一過程中、在同一過程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件問問是是無無窮窮大大函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)二二、根根據(jù)據(jù)定定義義證證明明練練 習(xí)習(xí) 題題17/15.,0,1,0(1sin1這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)不