高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))教案15-函數(shù)的極值與最值

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值與最值 【教學(xué)目的】：1. 理解函數(shù)的極值的概念；2. 掌握求函數(shù)的極值的方法；3. 了解最大值和最小值的定義；4. 掌握求函數(shù)的最值的方法；5. 會(huì)求簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的最值?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：1. 函數(shù)極值的第一充分條件，第二充分條件；2. 導(dǎo)數(shù)不存在情況下極值的判定；3. 函數(shù)最值的求解方法；4. 函數(shù)的最值的應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：1. 導(dǎo)數(shù)不存在情況下極值的判定；2. 區(qū)分函數(shù)的駐點(diǎn)、拐點(diǎn)、極值點(diǎn)以及最值點(diǎn)；3. 區(qū)分極值點(diǎn)與極值，最值點(diǎn)與最值；4. 函數(shù)的最值的應(yīng)用。【教學(xué)時(shí)數(shù)】：2學(xué)時(shí)【教學(xué)過(guò)程】：3.3.1函數(shù)的極值圖3-7從圖3-7可

2、以看出，函數(shù)在點(diǎn)、處的函數(shù)值、比它們近旁各點(diǎn)的函數(shù)值都大；在點(diǎn)、處的函數(shù)值、比它們近旁各點(diǎn)的函數(shù)值都小，因此，給出函數(shù)極值的如下定義： 一般地， 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于鄰域內(nèi)不同于的所有，均有，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極大值，稱(chēng)為極大值點(diǎn)；若對(duì)于鄰域內(nèi)不同于的所有，均有，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極小值，稱(chēng)為極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).注意 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn)，但反過(guò)來(lái)是不成立的，即可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是它的極值點(diǎn).極值的第一充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)且，則（1）如果當(dāng)取左側(cè)鄰近的值時(shí)，；當(dāng)取右側(cè)鄰近的值時(shí)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為極大值；（

3、2）如果當(dāng)取左側(cè)鄰近的值時(shí)，；當(dāng)取右側(cè)鄰近的值時(shí)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，為極小值；（3）如果當(dāng)取左右兩側(cè)側(cè)鄰近的值時(shí)，不改變符號(hào)，則函數(shù)在處沒(méi)有極值.根據(jù)上述定理，求可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出函數(shù)的全部駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）列表考察每個(gè)駐點(diǎn)（及不可導(dǎo)點(diǎn)）左右鄰近的符號(hào)情況以及不可導(dǎo)點(diǎn)的情況，根據(jù)定理2.12判定極值點(diǎn)和極值.例2 求函數(shù)的極值.解（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋唬?）；（3）令，得駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在；（4）列表討論如下：不存在極大值 極小值由上表知，函數(shù)的極大值為，極小值為.極值的第二充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且

4、，則（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值.注意 當(dāng)，且時(shí)，則上述方法失效，此時(shí)仍用第一充分條件來(lái)判定.3.3.2 函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的步驟如下： （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出所有的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值；（3）將這些值加以比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.注意 （1） 在求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，如果已知該函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么在包含該極值點(diǎn)的此區(qū)間內(nèi)，極大值就是最大值，極小值就是最小值（2） 在求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，如果已知該函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)完全單調(diào)，則兩個(gè)端點(diǎn)即為最值點(diǎn)，兩端點(diǎn)處的函數(shù)值較大的為最大值，較小的為最小值。例6 用一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面積相等的小正方形，做成無(wú)蓋的鐵盒.問(wèn)截去的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，做出的鐵盒容積最大？解 設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為，鐵盒的容積為.根據(jù)題意，得 ，于是，問(wèn)題歸結(jié)為：求為何值時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得最大值. ，令，解得，.因此，在區(qū)間內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，又由問(wèn)題的實(shí)際意義知，函數(shù)的最大值在內(nèi)取得.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.即當(dāng)所截去的正方形邊長(zhǎng)為時(shí)，鐵盒的