拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理引言眾所周至拉格朗日中值定理是幾個中值定理中最重要的一個，是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在高等數(shù)學(xué)的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用研究拉格朗日中值定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，是十分必要的拉格朗日中值定理證明的關(guān)鍵在于引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)實(shí)際上，能用來證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)有無數(shù)個，因此如果以 引入輔助函數(shù)的個數(shù)來計算，證明拉格朗日中值定理的方法可以說有無數(shù)個但事實(shí)上若從思想方法上分，我們僅發(fā)現(xiàn)五種引入輔助函數(shù)的方法首先對羅爾中值定理拉格朗日中值定理及其幾何意義作一概述1羅爾Rolle 中值定理如果函數(shù)f x滿足條件：1在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)；2在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)；（3

2、）f a ：嚴(yán)f b，則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn) ',使得f '：0羅爾中值定理的幾何意義：如果連續(xù)光滑曲線 y = f x在點(diǎn)A, B處的縱坐標(biāo)相等，那么，在弧 AB上至少有一點(diǎn)C ，,曲線在C點(diǎn)的切線平行于x軸，如圖1，注意 定理中三個條件缺少其中任何一個，定理的結(jié)論將不一定成立；但不能認(rèn)為定理條件不全具備，就一定不存在屬于a,b的，使得f'卜i： 0 .這就是說定理的條件是充分的，但非必要的 12拉格朗日lagrange 中值定理若函數(shù)f x滿足如下條件：1在閉區(qū)間la,b 1上連續(xù)；2在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)；則 在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f' 二f b -

3、f ab -a拉格朗日中值定理的幾何意義：函數(shù)y二f x在區(qū)間db 1上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C，曲線在C點(diǎn)的切線平行于弦 AB 如圖2,從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見， 若f x在閉區(qū)間a,b 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等， 即fa二f b，則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理 換句話說，羅爾中值定理是拉格 朗日中值定理的一個特殊情形 正因為如此，我們只須對函數(shù) f x作適當(dāng)變形，便可借助羅 爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理 3證明拉格朗日中值定理3.1教材證法證明作輔助函數(shù)F ( x)= f( x_ f(巧一 f a xb a顯然，函數(shù)F x滿足在閉區(qū)間 a ,b上連續(xù)，在開區(qū)間a,

4、 b內(nèi)可導(dǎo)，而且Fa =F b .于 是由羅爾中值定理知道， 至少存在一點(diǎn)'a .；：廣.；： b ，使F ' = f ' i. f b 一 f日=0 .b a即 f'= f b -f a .b a3.2用作差法引入輔助函數(shù)法證明 作輔助函數(shù)x = f x - f a -丄匚已x - a-b -a顯然，函數(shù):x在閉區(qū)間a,b 1上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，a = b = 0，因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點(diǎn)a,b，使得'=f''-丄丄=0，即b -af'= f b -f ab a推廣1如圖3過原點(diǎn)O作OT / AB，由f x

5、與直線OT對應(yīng)的函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù) x，因為直線OT的斜率與直線 AB的斜率相同，即有：KOT二 K abf (b f (a )OT 的直線方程為：yx，于是引入的輔助函數(shù)為b a：x二f X -丄衛(wèi)(證明略)b -a推廣2 如圖4過點(diǎn)a,O作直線a'b' / AB ,直線A B '的方程為：y二 x -a ，由f x與直線函 AB'數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù):x，于是有:b -a：；ix = f x _a x - a . (證明略)b _a推廣3 如圖5過點(diǎn)作b,O直線ABH AB ，直a'b'線的方程為2# 3y二丄衛(wèi)x b，由f X與直線AB 函

6、b -a數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù) x ，于是有：,f (b ) f (a - xf xx - b .b -a事實(shí)上，可過y軸上任已知點(diǎn)O,m作A/ B / H AB 得直線為 y =x - m，從b -a而利用f x與直線的a'b'函數(shù)之差構(gòu)成滿足羅爾中值定理的輔助函數(shù):x都可以用來證明拉格 朗日中值定理.因m是任意實(shí)數(shù)，顯然，這樣的輔助函數(shù)有無多個3.3用對稱法引入輔助函數(shù)法在第二種方法中引入的無數(shù)個輔助函數(shù)中關(guān)于x軸的對稱函數(shù)也有無數(shù)個，顯然這些函數(shù)也都可以用來證明拉格朗日中值定理.從幾何意義上看，上面的輔助函數(shù)是用曲線函數(shù)f x減去直線函數(shù)，反過來，用直線函數(shù)減曲線函數(shù) f x

7、 ,即可得與之對稱的輔助函數(shù)如 下:x 二 f aH X 一 a - f x-b -at f(b)f(a)X 二X - f X/、f fb )_ f fa )' - xx - a - f xb _a小zf (b ) f (a ):xx _ b ；- f xb _a等等這類能用來證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)顯然也有無數(shù)個這里僅以為例給出拉格朗日中值定理的證明證明 顯然，函數(shù)x滿足條件：1在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)；2在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo);。嚴(yán)(a 戶申(b = af(b ”bf 但) 由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)U (a,b )，使得b a.j 二丄丄La_f'=o，從而有f&#

8、39; 二f b 一f a，顯然可用其它輔助函數(shù)b _ab _a作類似的證明3.4轉(zhuǎn)軸法由拉格朗日中值定理的幾何圖形可以看出，若把坐標(biāo)系xoy逆時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得新直角坐標(biāo)系XOY，若0X平行于弦AB，則在新的坐標(biāo)系下f x滿足羅爾中值定理，由此得拉格朗日中值定理的證明證明 作轉(zhuǎn)軸變換 x = X cos - Y sin、丄，y = X sin黒亠丫 cos :，為求出爲(wèi)，解出X ,Y得X = x c o s：£ 亠 y s in: = x c o s：£ 亠 f x s in: = X xY - -xs in 啓亠 y c o s = x s i nx 亠 f x

9、c o s 二 Y x由 Y a 二Yb得一 a sin a + f (a pos a = -b sin a + f (b Jcos a，從 而t趙申f(bL "a)，取o滿足上式即可由f(x )在閉區(qū)間k,b】上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b )內(nèi) b a可導(dǎo)，知Y x在閉區(qū)間la,b上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，且Y ai=Y b，因此，由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)】三a,b ，使得、-si nt亠f - cos : = 0 ，即f b - f a If - i： tan :b a3.5用迭加法引入輔助函數(shù)法讓f x迭加一個含待頂系數(shù)的一次函數(shù)y = kx m，例如令x = f ikx

10、 m或'：；jx = - f x 1亠kx - m，通過使:莓a(chǎn) = b，確定出k , m，即可得到所需的輔助函數(shù).例如由X = f X - kx m ，令 a b得 f a |. ka m = f b |. kb-m，從而 f b f a，而m可取任意實(shí)數(shù)，這樣 b _a我們就得到了輔助函數(shù):x = f b - f a x _m，由m的任意性易知迭加法可構(gòu)造出無數(shù)b _ a個輔助函數(shù)，這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理3.6用行列式引入輔助函數(shù)法證明 構(gòu)造一個含f x且滿足羅爾中值定理的函數(shù):x，關(guān)鍵是滿足:3=沖我們從行列式的性質(zhì)想到行列式的值在x二a, x二b時恰恰均為0，因此

11、可設(shè)易，展開得f b x bf aa 亠 af x - af b - f a x - bf因為f x在閉區(qū)間la, b I上連續(xù)，在開區(qū)間a, b內(nèi)可導(dǎo)，所以':遼x在閉區(qū)間la, b I上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，且a二b =0 ,所以由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)】三a,b ，使得;:''=0因為''二 f a - f b - a b f' '=0即:f'. f b -f ab a3.7數(shù)形相結(jié)合法引理在平面直角坐標(biāo)系中，已知- ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A a, f a ，1B b, f b i， C c, f c ，則二

12、ABC 面積為 S -ABC21af(a1bf(bacf(cj這一引理的證明在這里我們不做介紹， 下面我們利用這一引理對拉格朗日中值定理作出一種 新的證明這種方法是將數(shù)形相結(jié)合， 考慮實(shí)際背景刻意構(gòu)造函數(shù)使之滿足羅爾中值定理的條件.如圖，設(shè)c, f c j 是直線AB與y = f x1af(a：1cf(c1xf(x)易驗證x滿足羅爾中值定理的條件：在閉區(qū)間la,c 上連續(xù)，在開區(qū)間a,c內(nèi)可導(dǎo)，而且a j： "b，則至少存在一點(diǎn)三a,b，使1af (a1cf (c 即:a f(a)c f(c)G但是(a【(c) (J=0，這是因為,如果5f (a :f (c【f (幼則f 鼻-c，這

13、樣使得 , f 1 成為直線 AB與y = f x從A點(diǎn)c a#的第一個交點(diǎn)，與已知矛盾）1 af (a j故1 cf (c)1匚f(H=0,即 f' J b -f a f c a.若只從滿足羅爾中值定理的要求出發(fā)，我們可以檳棄許多限制條件,完全可以構(gòu)造f a f b i來解決問題,f x從而使形式更簡潔，而且啟發(fā)我們做進(jìn)步的推廣：可構(gòu)造#否則，直線M丄!不平行于直線 MaMb.由于曲線，則曲線必在直線M，的一側(cè).-rlb明柯西中值定理3.8區(qū)間套定理證法證明 將區(qū)間I = l.a, b I二等分，設(shè)分點(diǎn)為t，作直線x = !，它與曲線y = f x 相 交于M !，過M !作直線M丄

14、，/弦M a M b 此時，有如下兩種可能：若直線m丄勺與曲線y = f x僅有一個交點(diǎn)M !y = f x在點(diǎn)M!處有切線，根據(jù)曲線上一點(diǎn)切線的定義，直線M,L,就是曲線y = f x在點(diǎn)M ,處的切線，從而f 、二f b 一 f a .由作法知,在區(qū)間a,b內(nèi)部，取打于是有若直線M 1L1與曲線y二f x還有除M i外的其他交點(diǎn)，設(shè)N, X,%為另外一個交點(diǎn)，這時選取以X：為端點(diǎn)的區(qū)間，記作I, = ab,有I n I, b -a £2b1- aif b - f a，把I,作為新的“選用區(qū)間”，將I1二等分，并進(jìn)行與上面同樣的討論，則要么得到所要求的點(diǎn)，要么又得到一個“選用區(qū)間”

15、 |2.如此下去，有且只有如下兩種情形中的一種發(fā)生(a)在逐次等分“選用區(qū)間”的過程中,遇到某一個分點(diǎn)k，作直線x =：.k它與曲線二f x交于M k，過點(diǎn)M k作直線MkLk /弦MM b ,它與曲線y = f x只有一個交點(diǎn)k ,此時取 即為所求.(b)在逐次等分“選用區(qū)間”的過程中,遇不到上述那種點(diǎn)，則得一閉區(qū)間序列In，6#滿足:I 二 I 1 二 I 2bbn _ a n ：-f bnbn _an由知，In構(gòu)成區(qū)間套，根點(diǎn)即為所求事頭上lim ann2n-a0 n t :，存在唯一的一點(diǎn) -三ln n = 1,2,3，此=lim bn 二 , H - i存在 limnr：r ：bn

16、一 anf S 一 f號f ,由f 4 )- f 2n )= f (b )- f 2 )，所以f(b) f(a)limnr'bn annn，從“選用區(qū)間”的取b a#法可知，確在a,b的內(nèi)部3.9旋轉(zhuǎn)變換法證明 引入坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換 A : x = X cos_Ysiny = X s i n： 亠 Y c o因為cos asin asin :cos :-2 2=cos :：£ 亠 sin仆 07#所以 A 有逆變換 A/: X = x cos ：£ 亠 y sin ： = x cos ：£ 亠 f x sin ： = X x Y - -xs i nsi n 亠

17、if xc o s二丫 x由于f x滿足條件：1在閉區(qū)間la,b 1上連續(xù)；2在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，因此式中函亠 y c o： s - -x數(shù)Y x在閉區(qū)間la,b 1上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo).為使丫 x滿足羅爾中值定理的第三#個條件，只要適當(dāng)選取旋轉(zhuǎn)角，使Y a= Y , b即-a sin ：:£ 亠 f a cos : = -b sin ：:£ 亠 f b cos :， 也即這樣，函數(shù)丫 x就滿足了羅爾中值定理的全部條件，從而至少存在一點(diǎn)1 |a <: b，使Y =sin二川'f ' cos = 0即f '= tan.由于所選取旋轉(zhuǎn)角滿

18、足結(jié)論本論文僅是對拉格朗日中值定理的證明方法進(jìn)行了一些歸納總結(jié)其中還有很多方法是我沒有想到的，而且里面還有很多不足之處需要進(jìn)一步的修改與補(bǔ)充通過這篇論文我只是想讓人們明白數(shù)學(xué)并不是純粹的數(shù)字游戲，里面包含了很多深奧的內(nèi)容 而且更重要的是我們應(yīng)該學(xué)會去思考， 學(xué)會凡是多問幾個為什么，不要讓自己僅僅局限于課本上的內(nèi)容，要開動腦筋學(xué)會舉一反三，不要單純?yōu)榱藢W(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，讓自己做知識的主人！總之，數(shù)學(xué)的發(fā)展并非是無可置疑的，也并非是反駁的復(fù)雜過程， 全面的思考問題有助于我們思維能力的提高，也有助于創(chuàng)新意識的培養(yǎng).參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊）（第二版）M.北京：高等教育出版社.1991:153-1612 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）M.北京：人民教育出版社.1979 : 194-1963 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)（第一冊）M.北京：高等教育出版社（第五版）.2004: 143-1534 周性偉，劉立民.數(shù)學(xué)分析M.天津：南開大學(xué)出版社.1986 : 113-124 林源渠，方企勤.數(shù)學(xué)分析解題指南M.北京：北京大學(xué)出版社.2003： 58-67 孫清華等.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）M.武漢：華中科技大學(xué)出版社.2003:98-1067 洪毅