誤差分析與處理基礎(chǔ)

1、第章 誤差分析與處理基礎(chǔ)測量：人們借助于檢測儀表通過實驗方法對客觀事物取得數(shù)量信息的過程。真值：在一定時間、空間條件下客觀存在的被測量的確定數(shù)值。測量值：檢測儀表指示或顯示被測參量的數(shù)值即儀表讀數(shù)或示值。測量誤差：測量值與真值的差。在科學(xué)研究及科學(xué)實驗中，精度是首要的；在工程實際中，穩(wěn)定性是首要的，精度只要滿足工藝指標范圍即可。3.1 誤差的概念與分類測量誤差的概念及表達方式一、絕對誤差測量值與真值之差 X檢測儀表指示或顯示被測參量的數(shù)值即儀表讀數(shù)或示值（測量值） X0在一定時間、空間條件下客觀存在的被測量的真實數(shù)值（真值），一般情況下，理論真值是未知的，在工程上，通常用高一級標準儀器的測量值

2、來代替真值。二、相對誤差（評定測量的精確度）1、實際相對誤差 2、示值相對誤差 為了減小測量中的示值誤差，當(dāng)選擇儀器、儀表量程時，應(yīng)使被測量的數(shù)值接近滿度值，一般使這類儀器、儀表工作在不小于滿度值23以上的區(qū)域。三、引用誤差1、引用誤差示值絕對誤差x與儀表量程L之比值q 2、最大引用誤差儀表量程內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該儀器儀表量程L之比值，即 儀表在出廠檢驗時，其示值的最大引用誤差qmax不能超過其允許誤差Q（以百分數(shù)表示）即 3、精度等級工業(yè)檢測系統(tǒng)常以允許誤差Q作為判斷精度等級的尺度。規(guī)定：取允許誤差百分數(shù)的分子作為精度等級的標志，也即用最大引用誤差中去掉百分號（%）后的數(shù)字來表示精度等級

3、，其符號是G， 精度等級為G的儀表在規(guī)定的條件下使用時，它的絕對誤差的最大值的范圍是 例3-1-1 檢定一個滿度值為5A的1.5級電流表，若在2.0A刻度處的絕對誤差最大，xmax+0.1A，問此電流表精度是否合格?解 按式(3-1-6)求此電流表的最大引用誤差 2.01.5即該表的基本誤差超出1.5級表的允許值。所以該表的精度不合格。但該表最大引用誤差小于2.5級表的允許值，若其它性能合格可降作2.5級表使用。例-1-2 測量一個約80 V的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表：一塊量程300 V、0.5級，另一塊量程l00 V、1.0級。問選用哪一塊為好?解 如使用300 V、0. 5級表、按式(3-1-

4、4)、(3-1-9)求出其示值相對誤差為 如使用100V、1.0級表，其示值相對誤差為 測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)及產(chǎn)生的原因，可分為三類：一、隨機誤差隨機誤差是測量結(jié)果與在重復(fù)條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值A(chǔ)之差。即 式中 隨機誤差是測量值與數(shù)學(xué)期望之差，它表明了測量結(jié)果的分散性，經(jīng)常用來表征測量精密度的高低。隨差越小，精密度越高。二、系統(tǒng)誤差在相同測量條件下，對同一被測量進行無限多次重復(fù)測量所得結(jié)果的平均值A(chǔ)與被測量的真值A(chǔ)0之差。即系統(tǒng)誤差表明了測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系統(tǒng)誤差越小，測量就越準確。所以，系統(tǒng)誤差經(jīng)常用來表征測量準確度的高低。三、粗大誤差在

5、相同的條件下，多次重復(fù)測量同一量時，明顯地歪曲了測量結(jié)果的誤差，稱粗大誤差，簡稱粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不當(dāng)，或測量條件的超常變化而引起的。含有粗大誤差的測量值稱為壞值，所有的壞值都應(yīng)去除，但不是主觀或隨便去除，必須科學(xué)地舍棄。正確的實驗結(jié)果不應(yīng)該包含有粗大誤差。四、準確度、精密度和精確度測量中發(fā)現(xiàn)了粗大誤差，數(shù)據(jù)處理時應(yīng)將其剔除，這樣要估計的誤差就只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。 由上式可見，各次測量值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。精確度又稱為精度，它反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合影響的程度；準確度則是反映系統(tǒng)誤差影響的程度，精密度則是反映隨機誤差影響的程度。因此，精度高說明準確度

6、和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。3.2 隨機誤差的處理 隨機誤差的概率分布一 、隨機誤差的分布規(guī)律1 、正態(tài)分布正態(tài)分布的測量值的概率密度為（圖321（a）正態(tài)分布的隨機誤差的概率密度為（圖321（b）正態(tài)分布的隨機誤差的統(tǒng)計特點：1)對稱性絕對值相同的正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相同。2)抵償性： 3)單蜂性：在處，概率最大)有界性：隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。隨機誤差在的區(qū)間內(nèi)取值的概率為1。標準偏差越小，正態(tài)分布曲線越陡，則小誤差出現(xiàn)的概率也越大，大誤差出現(xiàn)的概率就越小，這意味著測量值越集中。因此，的大小說明了測量值的離散性，即測量值相對于真值的分散程度。2、均勻分布（圖）特點

7、是誤差均勻地分布在某一區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)誤差出現(xiàn)的概率密度處處相同。而在該區(qū)域以外誤差出現(xiàn)的概率為零。 被測量真值和測量方差的估計值理論上計算被測量的真值（即數(shù)學(xué)期望）與方差需要即有無限多個測量數(shù)據(jù)。但是在實際情況下，只能進行有限次測量，得到有限多個測量數(shù)據(jù)。利用這有限多個測量數(shù)據(jù)我們可以求得被測量的真值（即數(shù)學(xué)期望）的估計值和方差的估計值。這里“”是表示估計值的符號。一 、被測量真值的最佳估計值通常把測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為被測量真值的最佳估計值，即把測量值與算術(shù)平均值之差稱為剩余誤差，簡稱殘差，即二 、方差的估計值方差的估計值： 標準偏差的估計值： 三、算術(shù)平均值的標準偏差及其估計值算術(shù)平均

8、值的標準偏差為 算術(shù)平均值的方差估計值 算術(shù)平均值的標準偏差估計值 在實際測量中，一般取n次左右即可。例3-2-1 甲、乙二人分別用不同的方法對同一電感進行多次測量結(jié)果如下（均無系統(tǒng)誤差及粗差）： 甲 (mH)：1.28，1.31，1.27，1.26 ，1.19 ，1.25 乙 (mH)：1.19，1.23，1.22 ，1.24， 1.25，1.20試根據(jù)測量數(shù)據(jù)對他們的測量結(jié)果進行粗略評價 解按式(3-2-9)分別計算兩組算術(shù)平均值得 按式(313)分別計算兩組測量數(shù)據(jù)的方差估計值(總體方差估計值) 按式（16）計算兩組測量數(shù)據(jù)算術(shù)平均值的方差估計值時，得到的結(jié)果是可見兩人測量次數(shù)雖相同、但

9、算術(shù)平均值方差估計值相差較大，表明乙所進行的測量精密度高。 測量結(jié)果的置信度與表示方法一、 置信區(qū)間與置信概率1、置信度測量結(jié)果值得信賴的程度。隨機變量的“置信度”，通常用隨機變量落于某一區(qū)間（稱“置信區(qū)間”）的概率（稱“置信概率”）來表示。2、置信區(qū)間：測量數(shù)據(jù)的取值范圍即置信區(qū)間為隨機誤差的取值范圍即置信區(qū)間為3、置信概率：隨機變量落于 “置信區(qū)間”的概率。置信概率可用概率密度曲線 與置信區(qū)間橫坐標包圍的面積表示（圖）。測量數(shù)據(jù)落入置信區(qū)間的概率等于隨機誤差落入置信區(qū)間的概率。4、超差概率：隨機變量落在置信區(qū)間以外的概率，又稱為置信水平或顯著性水平。5、置信系數(shù)：置信區(qū)間極限與標準偏差的比

10、值。二、置信度的計算1 、正態(tài)分布之測量數(shù)據(jù)的置信度2、有限次測量情況下的置信度通常采用分布來計算置信概率。 隨機變量的概率密度服從分布。t分布的一個重要特點是其分布與無關(guān)。當(dāng)測量次數(shù)n較小時，t分布與正態(tài)分布的差別較大，但當(dāng)時，分布趨于正態(tài)分布。置信概率： t落在區(qū)間（，）的概率 式中為置信系數(shù)。被測量真值以置信概率處在區(qū)間內(nèi)。 例3-2-2 對某電源電壓進行8次獨立等精密度、無系統(tǒng)誤差的測量，所得數(shù)據(jù)(單位為V)為：12.38，12.40，12.50，12.4812.4312.4512.46，12.42。試按置信概率99.5估計電壓真值在何區(qū)間。解（） 求測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值（）由式(31

11、4)可計算出標準偏差估計值 （）由式（17）求算術(shù)平均值的標準偏差估計值（）由給定的置信概率及測量次數(shù)n8（用自由度n-1=7）查表2得(5)估計電壓真值即所處區(qū)間，以，代入得 12.38，12.50。故電壓真值三 、測量結(jié)果的數(shù)字表示方法、如果已知測量儀器的標準偏差，作一次測量，測得值為X，則通常將被測量X的大小表示為 、當(dāng)用n次等精度測量的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果時，其表達式為 3.3 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的分類一、恒定系差在整個測量過程中，誤差的大小和符號固定不變。二、變化系差 是一種按照一定規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)變化的持點又可分為1、累積性系差2、周期性系差及3、復(fù)雜變化系差判斷系統(tǒng)

12、誤差的方法一、實驗對比法只適用于發(fā)現(xiàn)恒定系差。二、剩余誤差觀察法主要適用于發(fā)現(xiàn)變值系差三、馬利科夫判據(jù)用于發(fā)現(xiàn)累積性系差。四、阿卑赫梅特判據(jù)用以發(fā)現(xiàn)周期性系差。 系統(tǒng)誤差的消除方法一、消除產(chǎn)生誤差的根源二、對測量結(jié)果進行修正在測量之前，用上一級標準（或基準）對儀器儀表進行檢定, 取得受檢儀器的修正值。在用受檢儀器測量時，將修正值C加入測量值x中，即可消除系統(tǒng)誤差，求出實際值 三、采用特殊測量法1、恒定系差消除法(1）零值法零值法（又稱平衡法）是把被測量與作為計量單位的標準已知量進行比較，使其效應(yīng)相互抵消，當(dāng)兩者的差值為零時，被測量就等于已知的標準量。(2)替代法替代法（又稱置換法）是先將被測量

13、x接入測量裝置使之處于一定狀態(tài)，然后以已知量A代替x，并通過改變A的值使測量裝置恢復(fù)到x接入時的狀態(tài)，于是x=A。(3)交換法交換法又稱對照法。在測量過程中，將測量中的某些條件（如被測物的位置等）相互交換，使產(chǎn)生系差的原因?qū)ο群髢纱螠y量結(jié)果起反作用。將這兩次測量結(jié)果加以適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理（通常取其算術(shù)平均值或幾何平均值），即可消除系統(tǒng)誤差或求出系統(tǒng)誤差的數(shù)值。(4)補償法補償法是替代法的一種特殊運用形式，在兩次測量中，第一次令標準器的量值N與被測量x相加，在N+x的作用下，測量儀器給出一個示值；然后去掉被測量x，改變標準器的量值為N，使儀器在N的作用下給出與第一次同樣的示值，則x=N-N（5）微差

14、法（虛零法）微差法只要求標準量與被測量相近，而用指示儀表測量標準量與被測量的差值。這樣，指示值表的誤差對測量的影響會大大減弱。2、變值系差消除法(1)等時距對稱觀測法可以有效地消除隨時間成比例變化的線性系統(tǒng)誤差。（2）半周期偶數(shù)觀測法可以消除周期性的系統(tǒng)誤差。3.4 粗大誤差的處理 粗大誤差的判別設(shè)為含有粗大誤差的異常測量值，為包含此異常值在內(nèi)的所有測量值的算術(shù)平均值，為包括此異常值在內(nèi)的所有測量值的標準誤差的估計值，為置信系數(shù)，則判斷在置信區(qū)間之外即屬于異常數(shù)據(jù)的依據(jù)是，其殘余誤差大于，即 （3-4-1）因此，凡大于K倍標準偏差的剩余誤差可認為是粗差，它所對應(yīng)的測量值就是壞值，應(yīng)予以舍棄。拉依達準則拉依達準則表達式為： 當(dāng)某個可疑數(shù)據(jù)Xb符合上式時，則認為該數(shù)據(jù)是壞值，應(yīng)予剔除。拉依達準則只適用于測量次數(shù)較多（例如以上），測量誤差分布接近正態(tài)分布的情況。格拉布斯準則格拉布斯準則表達式為： 式中的判別值是和測量次數(shù)、超差概率相關(guān)的數(shù)值，可通過查表獲得。例3-4-1 對某電源電壓進行5次等精