第三章靜電場(chǎng)的邊值問題

1、第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容電位微分方程、鏡像法、分離變量法電位微分方程、鏡像法、分離變量法。1. 電位微分方程電位微分方程2. 鏡像法鏡像法 3. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法4. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 5. 球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波1. 1. 電位微分方程電位微分方程已知電位已知電位 與電場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的關(guān)系為的關(guān)系為 E對(duì)上

2、式兩邊取散度，得對(duì)上式兩邊取散度，得 2 E 對(duì)于對(duì)于線性各向同性線性各向同性的的均勻均勻介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度E 的散度為的散度為 E那么，電位滿足的微分方程式為那么，電位滿足的微分方程式為 2泊松方程泊松方程 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波拉普拉斯方程拉普拉斯方程202對(duì)于對(duì)于無源區(qū)無源區(qū)， ，上式變?yōu)?，上式變?yōu)?VVd|)(41)( rrrr 已知分布在已知分布在V 中的電荷中的電荷 在在無限大無限大的自由的自由空間產(chǎn)生的電位為空間產(chǎn)生的電位為)(r上式為上式為泊松方程泊松方程在在自由空間自由空間的的特解特解。 利用利用格林函數(shù)格林函數(shù)可

3、以求出可以求出泊松方程在泊松方程在有限空間有限空間的的通解通解。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 靜電場(chǎng)與靜電場(chǎng)與時(shí)間時(shí)間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解及拉普拉斯方程的解僅僅決定于決定于邊界條件邊界條件。定解條件定解條件初始條件初始條件邊界條件邊界條件數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨時(shí)間時(shí)間和和空間空間的變化特性。的變化特性。 根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的邊值問題邊值問題。 此處邊界條件實(shí)際上是指給定的此處邊界條件實(shí)際

4、上是指給定的邊值邊值，它不同于，它不同于前一章描述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量前一章描述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量變化變化的邊界條件。的邊界條件。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波邊界條件有邊界條件有三種三種類型：類型： 第第二二類邊界條件是給定邊界上物理量的類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)法向?qū)?shù)值值，這種邊值問題又稱為，這種邊值問題又稱為諾依曼諾依曼問題。問題。 第第三三類邊界條件是給定一部分邊界上的類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量物理量及及另一部分邊界上物理量的另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值法向?qū)?shù)值，這種邊界條件，這種邊界條件又稱為又稱為混合混合邊界條

5、件。邊界條件。 第第一一類邊界條件給定的是邊界上的類邊界條件給定的是邊界上的物理量物理量，這種，這種邊值問題又稱為邊值問題又稱為狄里赫利狄里赫利問題。問題。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波解的解的存在存在、穩(wěn)定穩(wěn)定及及惟一性惟一性問題。問題。 泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到經(jīng)得到證明證明。 惟一性惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否是指在給定的定解條件下所求得的解是否是惟一的。是惟一的。 穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否變化很大

6、。的解是否變化很大。存在存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。是指在給定的定解條件下，方程是否有解。 靜電場(chǎng)是靜電場(chǎng)是客觀客觀存在的，因此電位微分方程解的存在存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。確信無疑?？梢宰C明電位微分方程解可以證明電位微分方程解具有具有惟一性。惟一性。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 若靜電場(chǎng)的邊界為導(dǎo)體，此時(shí)給定導(dǎo)體上的若靜電場(chǎng)的邊界為導(dǎo)體，此時(shí)給定導(dǎo)體上的電位電位就是就是第一類第一類邊界。邊界。已知已知Sn 因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的電位電位，或電位，或電位的的法向?qū)?shù)法向?qū)?shù)給定時(shí)，

7、或?qū)w給定時(shí)，或?qū)w表面電荷表面電荷給定時(shí)，空間的給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定靜電場(chǎng)即被惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱為。這個(gè)結(jié)論稱為靜電場(chǎng)惟一性靜電場(chǎng)惟一性定理定理。可見，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值?？梢姡砻骐姾山o定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，若給定導(dǎo)體表面上的因此，若給定導(dǎo)體表面上的電荷量電荷量就是就是第二類第二類邊界。邊界。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的邊值問題邊值問題 根據(jù)給定的根據(jù)給定的邊界條件邊界條件求求解靜電場(chǎng)的解靜電場(chǎng)的電位分布電位分布。 對(duì)于對(duì)于線性各向同性線性各向同性的的均勻均勻介質(zhì)，介質(zhì)，有源

8、有源區(qū)中的區(qū)中的電位電位滿足滿足泊松方程泊松方程方程方程 2在在無源無源區(qū)，電位滿足區(qū)，電位滿足拉普拉斯拉普拉斯方程方程02利用利用格林函數(shù)格林函數(shù)，可以求解，可以求解泊松方程。泊松方程。利用利用分離變量法分離變量法可以求解可以求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。求解靜電場(chǎng)邊值問題的另一種求解靜電場(chǎng)邊值問題的另一種簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單方法是方法是鏡像法鏡像法。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2. 鏡像法鏡像法 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 以一個(gè)或幾個(gè)以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷等效電荷代替邊界的影響，代替邊界的影響，將原來具有邊界的將原來具有邊界的非均勻非均勻空間變成無限大的空間變成無限

9、大的均勻均勻自自由空間，從而使計(jì)算過程大為由空間，從而使計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化。 這些等效電荷通常處于原電荷的這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置鏡像位置，因，因此稱為此稱為鏡像電荷鏡像電荷，而這種方法稱為，而這種方法稱為鏡像法鏡像法。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 依據(jù)：惟一性依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉淼脑瓉淼倪吔鐥l件邊界條件。關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：局限性：僅僅對(duì)于某些僅僅對(duì)于某些特殊特殊的的邊界邊界以及以及特殊特殊的的電荷分布電荷分布才有可能確定其

10、鏡像電荷。才有可能確定其鏡像電荷。 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波（1）點(diǎn)電荷）點(diǎn)電荷與與無限大的導(dǎo)體平面無限大的導(dǎo)體平面 介質(zhì)介質(zhì) 導(dǎo)體導(dǎo)體 q r P 介質(zhì)介質(zhì) q r P hhrq 介質(zhì)介質(zhì) 以一個(gè)以一個(gè)鏡像鏡像點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q代替邊界的影響，使整個(gè)空間代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成變成均勻均勻的介電常數(shù)為的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點(diǎn)的空間，則空間任一點(diǎn) P 的電的電位由位由 q 及及 q 共同產(chǎn)生，即共同產(chǎn)生，即 rqrq 4 4qq無限大無限大導(dǎo)體平面的電位為零導(dǎo)體平面的電位為零第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁

11、波電磁場(chǎng)與電磁波（1）點(diǎn)電荷）點(diǎn)電荷與與無限大的導(dǎo)體平面無限大的導(dǎo)體平面 介質(zhì)介質(zhì) 導(dǎo)體導(dǎo)體 q r P 介質(zhì)介質(zhì) q r P hhrq 介質(zhì)介質(zhì) 以一個(gè)以一個(gè)鏡像鏡像點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q代替邊界的影響，使整個(gè)空間代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成變成均勻均勻的介電常數(shù)為的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點(diǎn)的空間，則空間任一點(diǎn) P 的電的電位由位由 q 及及 q 共同產(chǎn)生，即共同產(chǎn)生，即 rqrq 4 4qq無限大無限大導(dǎo)體平面的電位為零導(dǎo)體平面的電位為零第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 電場(chǎng)線電場(chǎng)線與與等位面等位面的分布特性與的分布特性與電偶極子電偶極子的的上半

12、上半部分部分完全相同。完全相同。電場(chǎng)線電場(chǎng)線等位線等位線 z 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波* * 根據(jù)根據(jù)電荷守恒定律電荷守恒定律，鏡像點(diǎn)電荷的電荷量應(yīng)該，鏡像點(diǎn)電荷的電荷量應(yīng)該等等于于導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的總電荷量。（怎么去證明）導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的總電荷量。（怎么去證明）* * 上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間上半空間成立，因成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，為在上半空間中，源源及及邊界條件邊界條件未變。未變。 介質(zhì)介質(zhì) 導(dǎo)體導(dǎo)體 q r P 介質(zhì)介質(zhì) q r P hhrq 介質(zhì)介質(zhì) 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問

13、題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波q 對(duì)于半無限大導(dǎo)體平面形成的對(duì)于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界劈形邊界也可應(yīng)用也可應(yīng)用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入須引入幾個(gè)幾個(gè)鏡像電荷。鏡像電荷。例如，夾角為例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入的導(dǎo)電劈需引入 5 個(gè)鏡像電荷。個(gè)鏡像電荷。3/3/3q第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 位于無限大的導(dǎo)體平面附近的位于無限大的導(dǎo)體平面附近的線電荷線電荷，根據(jù)疊，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。 僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

14、僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于 的的整數(shù)整數(shù)分之一時(shí)，分之一時(shí)，才可求出其鏡像電荷。才可求出其鏡像電荷。為什么為什么？lll第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波（2）點(diǎn)電荷）點(diǎn)電荷與與導(dǎo)體球?qū)w球 若導(dǎo)體球若導(dǎo)體球接地接地，導(dǎo)體球，導(dǎo)體球的電位為的電位為零零。令鏡像點(diǎn)電荷。令鏡像點(diǎn)電荷q 位于球心與點(diǎn)電荷位于球心與點(diǎn)電荷 q 的連的連線上，那么球面上任一點(diǎn)電線上，那么球面上任一點(diǎn)電位為位為 rqrq 4 4 為了保證球面上任一點(diǎn)電位為為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零零，必須選擇鏡，必須選擇鏡像電荷為像電荷為 qrrqqfOPadrqr第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜

15、電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 為了使鏡像電荷具有一個(gè)為了使鏡像電荷具有一個(gè)確定確定的值，必須要求的值，必須要求比值比值 對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。rr 若若 OPq OqP ，則，則常數(shù)farr鏡像電荷離球心的距離鏡像電荷離球心的距離d 應(yīng)為應(yīng)為 fad2qfaq求得鏡像電荷為求得鏡像電荷為qfOPadrqr第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波qfaq利用球面和軸相交的點(diǎn)（利用球面和軸相交的點(diǎn)（A，B）電位相）電位相等，直接求等，直接求d和和q方法方法2：A點(diǎn)電位：點(diǎn)電位：4 ()4 ()Aqqfaad

16、B點(diǎn)電位：點(diǎn)電位：4 ()4 ()Bqqfaad 聯(lián)立解二個(gè)方程得到：聯(lián)立解二個(gè)方程得到：2adf第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波球面感應(yīng)電荷面密度和感應(yīng)電荷總量球面感應(yīng)電荷面密度和感應(yīng)電荷總量：P點(diǎn)電位：點(diǎn)電位：124 4 qqrr 由余弦定理得：由余弦定理得：22122222222cos2cos2cosrfrfrrfrdraarrff第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波212222221(2cos )2cos4qaaafafrrrfff 對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電荷密度為：對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電荷密度為：223222()4(2cos

17、)snnrr aDEEq afa fafr感應(yīng)電荷則對(duì)整個(gè)金屬球表面積分：感應(yīng)電荷則對(duì)整個(gè)金屬球表面積分：2200(sin)ssSadSad dqf 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷2200(sin)ssSadSad dqf qfaq說明感應(yīng)電荷恰好為鏡像電荷說明感應(yīng)電荷恰好為鏡像電荷q。由于用。由于用q代替代替接地導(dǎo)體球后，導(dǎo)體球外的電場(chǎng)、電位分布不接地導(dǎo)體球后，導(dǎo)體球外的電場(chǎng)、電位分布不發(fā)生任何改變，因此，緊靠導(dǎo)體球（但是在球外）發(fā)生任何改變，因此，緊靠導(dǎo)體球（但是在球外）做一個(gè)封閉面，那么，不論閉合面的是鏡像前做一個(gè)封閉面，那么，

18、不論閉合面的是鏡像前還是鏡像后的變化情況，通過閉合面的總的通量還是鏡像后的變化情況，通過閉合面的總的通量都是相等的。都是相等的。即接地球面上的感應(yīng)電荷量與鏡像電荷量相等即接地球面上的感應(yīng)電荷量與鏡像電荷量相等第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 若導(dǎo)體球若導(dǎo)體球不接地不接地，則其電，則其電位位不為零不為零。q 的的位置位置和和量值量值應(yīng)該如何應(yīng)該如何? ? 由由q 及及 q 在球面邊界上在球面邊界上形成的電位為形成的電位為零零，因此必須再，因此必須再引入一個(gè)鏡像電荷引入一個(gè)鏡像電荷q 以產(chǎn)生一以產(chǎn)生一定的電位定的電位。q0第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電

19、場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波以保證導(dǎo)體球表面上總電荷以保證導(dǎo)體球表面上總電荷量為量為零值零值。 為了保證球面邊界是一個(gè)為了保證球面邊界是一個(gè)等位面等位面，鏡像電荷，鏡像電荷 q 必須位于必須位于球心球心。qq 為了滿足為了滿足電荷守恒定律電荷守恒定律，第二個(gè)鏡像電荷第二個(gè)鏡像電荷q 必須為必須為導(dǎo)體球的電位導(dǎo)體球的電位? ?fqaq 4 4 qq q第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波l（3）線電荷）線電荷與與帶電的導(dǎo)體圓柱帶電的導(dǎo)體圓柱 在圓柱軸線與線電在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離荷之間，離軸線的距離d 處，平行放置一根鏡處，平行放置

20、一根鏡像線電荷像線電荷 。l因此，離線電荷因此，離線電荷 r 處，以處，以 為參考點(diǎn)的電位為為參考點(diǎn)的電位為 0r0 0 dln2rlrrE rr PafdrlOrlreE 2已知無限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為已知無限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ， 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 若令鏡像線電荷若令鏡像線電荷 產(chǎn)生的電位也取產(chǎn)生的電位也取相同相同的的 作為參考點(diǎn)，則作為參考點(diǎn)，則 及及 在圓柱面上在圓柱面上P點(diǎn)共同產(chǎn)點(diǎn)共同產(chǎn)生的生的電位電位為為l0rllrrrrllP00ln2ln2rrlln2已知導(dǎo)體圓柱是一個(gè)已知導(dǎo)體圓柱是一個(gè)等位體等位體，必須要求比

21、值，必須要求比值rr常數(shù)adfarr與前同理，可令與前同理，可令fad2第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 （4）點(diǎn)電荷）點(diǎn)電荷與與無限大的介質(zhì)平面無限大的介質(zhì)平面 E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2 2q0r nE tE E 1 2qeten=+ 對(duì)于對(duì)于上半空間上半空間，可用鏡像電荷，可用鏡像電荷 q 等效邊界上束縛電等效邊界上束縛電荷的作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為荷的作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的的均勻均勻空間?？臻g。 對(duì)于對(duì)于下半空間下半空間，可用位于原點(diǎn)電荷處的，可用位于原點(diǎn)電荷處的 q 等效原來等效原來的點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷q與邊界

22、上束縛電荷的共同作用，將整個(gè)空間變與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為為介電常數(shù)為2 的的均勻均勻空間?？臻g。 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 必須迫使所求得的場(chǎng)符合必須迫使所求得的場(chǎng)符合邊界條件邊界條件，即電場(chǎng)切，即電場(chǎng)切向分量和電通密度的法向分量應(yīng)該保持連續(xù)，即向分量和電通密度的法向分量應(yīng)該保持連續(xù)，即 1t1t2tEEEn21n1nDDD 已知各個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為已知各個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：代入上述邊界條件，求得鏡

23、像電荷如下：qq2121qq2122 第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 例例 已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電壓為，電壓為U，外導(dǎo)外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場(chǎng)強(qiáng)度。函數(shù)以及電場(chǎng)強(qiáng)度。 解解 對(duì)于該邊值問題，鏡像法對(duì)于該邊值問題，鏡像法不不適適用，只好求解電位方程。用，只好求解電位方程。0dddd12rrrr21lnCrC求得求得UbaO 選用選用圓柱圓柱坐標(biāo)系。由于場(chǎng)量?jī)H坐標(biāo)系。由于場(chǎng)量?jī)H與坐標(biāo)與坐標(biāo) r 有關(guān)，因此，電位所滿足有關(guān)，因此，電位所滿足的

24、拉普拉斯方程變?yōu)榈睦绽狗匠套優(yōu)榈谌碌谌?靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波利用邊界條件：利用邊界條件：arUbr0baUCln1babUClnln2babrUlnlnbaUrrrrlneeE最后求得最后求得12lnCaCU求得求得12ln0CbC第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 為了利用給定的邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)臑榱死媒o定的邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系坐標(biāo)系是非是非常重要的。常重要的。對(duì)于上述一維微分方程，可以采用對(duì)于上述一維微分方程，可以采用直接積分方法直接積分方法。 分離變量法分離變量法是將原先的三維是將原先的三維

25、偏偏微分方程通過變量分微分方程通過變量分離簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的離簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的常常微分方程，從而簡(jiǎn)化求解過程。微分方程，從而簡(jiǎn)化求解過程。 為了求解為了求解三維三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法分離變量法。分離變量法對(duì)于分離變量法對(duì)于11種坐標(biāo)系都是行之有效的。種坐標(biāo)系都是行之有效的。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波3. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法 0222222zyx在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程展開式為在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程展開式為 )()()() , ,(zZyYxXzyx令令0

26、dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX式中的左邊各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)式中的左邊各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變量變量 x 求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零零，求得第一項(xiàng)對(duì)，求得第一項(xiàng)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項(xiàng)等于的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項(xiàng)等于常數(shù)常數(shù)。代入上式，兩邊再除以代入上式，兩邊再除以 ，得得 ( ) ( ) ( )X x Y y Z z第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 同理，再分別對(duì)變量同理，再分別對(duì)變量 y 及及 z 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)

27、常數(shù)。222 , ,zyxkkk令各項(xiàng)的常數(shù)分別為令各項(xiàng)的常數(shù)分別為 ，求得，求得0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中，式中，kx ，ky ，kz 稱為稱為分離常數(shù)分離常數(shù)，它們可以是，它們可以是實(shí)實(shí)數(shù)或數(shù)或虛虛數(shù)。數(shù)。三個(gè)分離常數(shù)不是獨(dú)立的，必須滿足下列方程三個(gè)分離常數(shù)不是獨(dú)立的，必須滿足下列方程0222zyxkkk第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏偏微分方程式被簡(jiǎn)微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維化為三個(gè)一維常常

28、微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便，而且三個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們便，而且三個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。解的形式也一定相同。xkDxkCxXxxcossin)(或者或者式中，式中，A, B, C, D為為待定常數(shù)待定常數(shù)。0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZzxkxkxxBAxXjjee)(例如，含變量例如，含變量 x 的常微分方程的的常微分方程的通解通解為為第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波當(dāng)當(dāng)kx為虛數(shù)時(shí)，令為虛數(shù)時(shí)，令 ，則上述通解變?yōu)?，則上述通解

29、變?yōu)?jxkxxBAxXee)(xDxCxX cosh sinh)(或者或者含變量含變量 x 或或 y 的的常微分方程的解完全相同。常微分方程的解完全相同。解中解中待定常數(shù)待定常數(shù)也取決于給定的也取決于給定的邊界條件邊界條件。解的解的形式形式的選擇決取于給定的的選擇決取于給定的邊界條件邊界條件。 這些解的這些解的線性組合線性組合仍然是方程的解。通常為仍然是方程的解。通常為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。方程的解。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波例例 兩個(gè)相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距兩

30、個(gè)相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為為 d ，其有限端被電位為其有限端被電位為 0 的導(dǎo)電平面封閉，且的導(dǎo)電平面封閉，且與半無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三與半無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽中電位槽中電位分布。分布。 Odxy = 0 = 0 = 0電位滿足的拉普拉斯方程變?yōu)殡娢粷M足的拉普拉斯方程變?yōu)?02222yx解解 選取選取直角直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。槽中電位分布與槽中電位分布與 z 無無關(guān)，這是一個(gè)關(guān)，這是一個(gè)二維場(chǎng)二維場(chǎng)的問題。的問題。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波)()() ,(yYxX

31、yx應(yīng)用應(yīng)用分離變量法分離變量法，令，令為了滿足為了滿足 及及 ，Y(y) 的解應(yīng)為的解應(yīng)為 0) ,(dx0) 0 ,(xykBykAyYyycossin)(槽中電位滿足的邊界條件為槽中電位滿足的邊界條件為0) , 0(y0) ,(y0)0 ,(x 0) ,(dx因?yàn)橐驗(yàn)?y = 0 時(shí)，電位時(shí)，電位 = 0，因此上式中常數(shù)因此上式中常數(shù) B = 0。為了滿足為了滿足 ，分離常數(shù)，分離常數(shù) ky 應(yīng)為應(yīng)為 0) ,(dx 3, 2, 1, ,ndnky第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波ydnAyYsin)(求得求得已知已知 ，求得，求得022yxkkd

32、nkxj可見，分離常數(shù)可見，分離常數(shù) kx 為為虛數(shù)虛數(shù)，故，故 X(x) 的解應(yīng)為的解應(yīng)為xdnxdnDCxXee)(式中的常數(shù)式中的常數(shù) C 應(yīng)為零應(yīng)為零？ydnCyxxdnsine),(那么那么式中的常數(shù)式中的常數(shù) C = AD 。xdnDxXe)(求得求得第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波因因 x = 0 時(shí)，時(shí)，電位電位 = 0 ，得，得 ydnCsin0上式右端為上式右端為變量變量，但左端為，但左端為常量常量，因此不能成立。這，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取因此，必須取上式的上式

33、的線性組合線性組合作為電位方程的解。作為電位方程的解。為了滿足為了滿足 x = 0， = 0 ，由上式得由上式得 dyydnCnn0 ,sin10ydnCyxnxdnnsine),(1即即第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波Odxy = 0 = 0 = 0利用傅里葉級(jí)數(shù)的利用傅里葉級(jí)數(shù)的正交性正交性，求出系數(shù)，求出系數(shù) Cn 為為04 0 nnCnn為數(shù)為數(shù)奇偶041( , )esin, 1,3,5,nxdnnx yynnd求得槽中電位分布函數(shù)為求得槽中電位分布函數(shù)為 電場(chǎng)線電場(chǎng)線等位面等位面dyydnCnn0 ,sin10第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜

34、電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波4. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 在圓柱坐標(biāo)系中，電位微分方程展開式為在圓柱坐標(biāo)系中，電位微分方程展開式為 01122222zrrrrr令令)()()(),(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr求得求得上式中只有第二項(xiàng)為變量上式中只有第二項(xiàng)為變量 的函數(shù)，因此將上式對(duì)的函數(shù)，因此將上式對(duì) 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對(duì)求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為零零，可見第二項(xiàng)應(yīng)為，可見第二項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)常數(shù)。222dd1k令令第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波0dd222k即即式中的式中

35、的 k 為分離常數(shù)，為分離常數(shù)，它可以是它可以是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)或或虛數(shù)虛數(shù)。令令 ，m 為整數(shù)，則上式的解為為整數(shù)，則上式的解為mkmBmAcossin)(考慮到考慮到 ，以及上式，則前述方程可表示為，以及上式，則前述方程可表示為mk0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr02 變量變量 的變化范圍為的變化范圍為 ，因此，上式的解，因此，上式的解一定是一定是三角三角函數(shù)，且常數(shù)函數(shù)，且常數(shù) k 一定為整數(shù)。一定為整數(shù)。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波上式第一項(xiàng)僅為變量上式第一項(xiàng)僅為變量 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量 z 的的函數(shù)，

36、因此，它們應(yīng)為常數(shù)。函數(shù)，因此，它們應(yīng)為常數(shù)。式中的分離常數(shù)式中的分離常數(shù) kz 可可為為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)或或虛數(shù)虛數(shù)，其解可為，其解可為三角三角函數(shù)、函數(shù)、雙曲雙曲函數(shù)或函數(shù)或指數(shù)指數(shù)函數(shù)。函數(shù)。式中的式中的C, D 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 zkDzkCzZzzcossin)(當(dāng)當(dāng)kz為實(shí)數(shù)時(shí)，可令為實(shí)數(shù)時(shí)，可令222dd1zkzZZ令令0dd222ZkzZz0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波將變量將變量 z 的的方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222RmrkrRrrRrz若令若令 ，則上

37、式變?yōu)?，則上式變?yōu)?222xrkz0)(dddd2222RmxxRxxRx上式為標(biāo)準(zhǔn)的上式為標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程貝塞爾方程，其解為，其解為貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)，即，即 )(N)(J)(rkFrkErRzmzm式中，式中， 為為 m 階第階第一一類貝塞爾函數(shù)；類貝塞爾函數(shù)； 為為m階第階第二二類貝塞爾函數(shù)。當(dāng)類貝塞爾函數(shù)。當(dāng)r = 0 時(shí)，時(shí)， 。因此，。因此，當(dāng)場(chǎng)區(qū)包括當(dāng)場(chǎng)區(qū)包括 r = 0 時(shí)，只能取第時(shí)，只能取第一一類貝塞爾函數(shù)。類貝塞爾函數(shù)。 )(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波J2(x)J1(x)J3(x)J0

38、(x)第第一一類貝塞爾函數(shù)類貝塞爾函數(shù)x第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波N3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第第二二類貝塞爾函數(shù)類貝塞爾函數(shù)x第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 至此，我們分別求出了至此，我們分別求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積乘積，或取其，或取其線性組合線性組合。 若靜電場(chǎng)與變量若靜電場(chǎng)與變量 z 無關(guān)，則無關(guān)，則 。那么電位微。那么電位微分方程變?yōu)榉址匠套優(yōu)?zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解為指數(shù)

39、函數(shù)，即此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即 mmFrErrR)( 若又與變量若又與變量 無關(guān)，則無關(guān)，則 m = 0。那么，電位微分方那么，電位微分方程的解為程的解為 00ln)(BrArR第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 考慮到以上各種情況，考慮到以上各種情況，電位微分方程電位微分方程的解可取的解可取下列下列一般形式一般形式 011( , )ln(sincos) (sincos)mmmmmmmmrArrAmBmrCmDm例例 設(shè)一根無限長(zhǎng)的導(dǎo)體圓柱設(shè)一根無限長(zhǎng)的導(dǎo)體圓柱位于均勻靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度位于均勻靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于導(dǎo)體圓柱。試求導(dǎo)方向垂直于導(dǎo)體

40、圓柱。試求導(dǎo)體圓柱體圓柱外外的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。 x yaE0O第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 解解 選取圓柱坐標(biāo)系。令選取圓柱坐標(biāo)系。令 z 軸為軸為圓柱軸線，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與圓柱軸線，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與 x 軸軸一致，即一致，即 xE eE00 當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡靜電平衡時(shí)，圓柱內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，圓柱內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z 無關(guān)。無關(guān)。x yaE0O 解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足兩個(gè)邊

41、界解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足兩個(gè)邊界條件。條件。第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零。圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零。0ar求得求得 無限遠(yuǎn)處的電場(chǎng)未受到擾動(dòng)。無限遠(yuǎn)處的電場(chǎng)未受到擾動(dòng)。 此式表明，無限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為此式表明，無限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為cos 的函數(shù)。的函數(shù)。01arreE即即cos) ,(00rExE因此因此第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波011( , )ln(sincos) (sincos)mmmmmmmmrArrAmBmrCmDm為了滿足為了滿足，系數(shù)，系數(shù)

42、 ，且，且 m = 1。00mmCAAcoscos),(11rDrBr因此電位函數(shù)應(yīng)為因此電位函數(shù)應(yīng)為01EB201aED 那么，根據(jù)邊界條件即可求得系數(shù)那么，根據(jù)邊界條件即可求得系數(shù) B1，D1 應(yīng)為應(yīng)為第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波代入前式，求得圓柱外電位分布函數(shù)為代入前式，求得圓柱外電位分布函數(shù)為 coscos),(200raErEr則圓柱外電場(chǎng)強(qiáng)度為則圓柱外電場(chǎng)強(qiáng)度為 zrrzreeeE12200221cos 1sin raaEErree第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波x yaE0O圓柱外圓柱外電場(chǎng)線

43、電場(chǎng)線、等位面等位面以及圓柱表面的以及圓柱表面的電荷分布電荷分布電場(chǎng)線電場(chǎng)線等位面等位面第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波)()()(),(rRr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得代入上式，得5. 球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法 在球坐標(biāo)系中，電位微分方程的展開式為在球坐標(biāo)系中，電位微分方程的展開式為0sin1sinsin112222222rrrrrr第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波其其解應(yīng)為解應(yīng)為mBmAcossin)(222dd1m令令若靜電場(chǎng)與變量若靜

44、電場(chǎng)與變量 無關(guān)，則無關(guān)，則 m = 0 。0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR0dd222m0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR將將 代入上式，得代入上式，得222dd1m第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波可見，上式中第一項(xiàng)僅為可見，上式中第一項(xiàng)僅為 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)與的函數(shù)，第二項(xiàng)與 r 無無關(guān)。因此，第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。關(guān)。因此，第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。這是歐拉方程，其通解為這是歐拉方程，其通解為 1)(nnrDCrrR0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR) 1(dddd12nnrRrrR為

45、了便于進(jìn)一步求解，令為了便于進(jìn)一步求解，令即即 , n 為整數(shù)為整數(shù)0) 1(dd2dd222RnnrRrrRr第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波令令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)閤cos01) 1(dd)1 (dd222xmnnxxx上式為上式為連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程，其通解為，其通解為第一類第一類連帶勒讓德連帶勒讓德函數(shù)函數(shù) 與與第二類第二類連帶勒讓德函數(shù)連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里之和，這里 m n 。 )(Pxmn)(Qxmn當(dāng)當(dāng) n 是整數(shù)時(shí)，是整數(shù)時(shí)， 及及 為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。)(Pxmn)(Qxmn0sinsin) 1(dds

46、indd2mnn將將上述結(jié)果代入前式，得上述結(jié)果代入前式，得第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 當(dāng)場(chǎng)區(qū)包括當(dāng)場(chǎng)區(qū)包括 或或 時(shí)，此時(shí)只能取第時(shí)，此時(shí)只能取第一一類連帶類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。勒讓德函數(shù)作為方程的解。0cosxcosx第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波那么，電位微分方程的那么，電位微分方程的通解通解取下列取下列線性組合線性組合)(cosP)( )cossin(),()1(00mnnnnnmnmnmrDrCmBmAr 若靜電場(chǎng)與變量若靜電場(chǎng)與變量無關(guān)，則無關(guān)，則 m = 0 ， 稱稱為第一類為第一

47、類勒讓德函數(shù)勒讓德函數(shù)。此時(shí)，。此時(shí)，電位微分方程電位微分方程的的通解通解為為)(P)(P0 xxnn)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr)(cosP)(P)(mnmnx 通常令通常令第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波 例例 設(shè)半徑為設(shè)半徑為a，介電常數(shù)為介電常數(shù)為 的介質(zhì)球放在無限的介質(zhì)球放在無限大的真空中，受到其內(nèi)均勻電場(chǎng)大的真空中，受到其內(nèi)均勻電場(chǎng) E0 的作用，如圖所的作用，如圖所示。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度。示。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 E0zy 0a解解 取球坐標(biāo)系，令取球坐標(biāo)系，令 。顯。顯然，此時(shí)場(chǎng)分布與然，此時(shí)場(chǎng)分布與 無關(guān)。無關(guān)。zE eE00)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr球內(nèi)、外的電位分布函數(shù)可取為球內(nèi)、外的電位分布函數(shù)可取為第三章第三章 靜電場(chǎng)的邊值問題靜電場(chǎng)的邊值問題電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波則球內(nèi)、外電位分別為則球內(nèi)、外電位分別為0)1(0i)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnrDrCr0)1(0o)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnrBrAr球內(nèi)外電位函數(shù)應(yīng)該滿足下列邊界條件：球內(nèi)外電位函數(shù)應(yīng)該滿足下列邊界條件：因此，系數(shù)因此，系數(shù) Dn 應(yīng)應(yīng)為為零零，即，即0i)(cos),(nnnnPrCr 球心電位球心電位 應(yīng)為有限值。應(yīng)為有限值。i(0,