換元積分法與分部積分法

1、(4時(shí))【教學(xué)目的】熟練掌握換元積分法和分步積分法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】換元積分法和分步積分法?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用換元積分法和分步積分法?！窘虒W(xué)過程】一換元積分法由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，可以導(dǎo)出換元積分法.定理8. 4(換元積分法)設(shè)g(u)在,上有定義，u (x)在a,b上可導(dǎo)，且(x), x a,b ,并記(i)若g(u)在, 上存在原函數(shù)G(u),則f(x)在a,b上也存在原函數(shù)F(x), F(x) G( (x) C ,即(ii) 又若(x) 0,x a,b,則上述命題(i)可逆，即當(dāng)f (x)在a,b上存在原函數(shù)F( x) 時(shí)，g(u)在，上也存在原函數(shù)G(u),且G(u)= F( 1(u) C,

2、即g(u)du g( (x) (x)dx f(x)dx.證 (i)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行驗(yàn)證：所以f(x)以G( (x)為其原函數(shù)，(1)式成立.(ii ) 在(x) 0的條件下，u(x)存在反函數(shù)x 1(u),且于是又能驗(yàn)證(2)式成立：g( (x) g(u) .口上述換元積分法中的公式(1)與(2)反映了正、逆兩種換元方式，習(xí)慣上分別稱為第一換元 積分法和第二換元積分法(公式(1)與(2)分別稱為第一換元公式與第二換元公式).下面的例1至例5采用第一換元積分法求解.在使用公式(1)時(shí)，也可把它寫成如下簡便 形式：例 1 求 tanxdxsinx (cosx)角牛 由 tan xdx dx -

3、dx,cosxcosx一人11udxfa0).x可令u cosx, g(u) 一,則得xd -a2xa對(duì)換元積分法比較熟練后，可以不寫出換元變量 u ,而直接使用公式(1).0)dx , 求(a22 ' a xdx,a2 x2dx2 xadx2 xadx /求-12(ax a0).dx 1-22 丁x a2adx x a求 secxdx.解解法一利用例4的結(jié)果可得解法二, secx(secx secxdx=secx tan x ln secx tanx C.tan x), dx這兩種解法所得結(jié)果只是形式上的不同，請(qǐng)讀者將它們統(tǒng)一起來.從以上幾例看到，使用第一換元積分法的關(guān)鍵在于把被積表

4、達(dá)式f (x)dx湊成g xxdx的形式，以便選取變換u (x),化為易于積分的 g u du .最終不要忘記把新引入的變量u還原為起始變量x第二換元公式(2)從形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是為了化為容易求得原函數(shù)的形式 (最終同樣不要忘記變量還原)，以下例6至例9采用第二換元積分法求解.duvuVu解 為去掉被積函數(shù)中的根式，取根次數(shù)2與3的最小公倍數(shù)6,并令u定積分化為簡單有理式的積分：2/U 33后6VU 6ln|6/u 1 C.例 7 求<a2 x2dx （a 0）解 令x asint, t （這是存在反函數(shù)t arcsin 的一個(gè)單調(diào)區(qū)問）. 2a例8 求 dx a 0

5、 .22x a解 令x asect, 0 t 5 （同理可考慮t 0的情況），于是有借助輔助直角三角形，便于求出sect -, a22.x a tant ,故得a例 9 求 2 dx2 2 （a 0）（x2 a2）2解令x atant, t ,于是有 2有些不定積分還可采用兩種換元方法來計(jì)算.例10求dxx2 x2 1解解法一采用第一換元積分法：解法二采用第二換元積分法（令x sect）：二分部積分法由乘積求導(dǎo)法，可以導(dǎo)出分部積分法.定理8.5 （分部積分法）若u x與v x可導(dǎo)，不定積分u x v x dx存在,并有 u x v x dx = u x v x u x v x dx證 由 u

6、x v x u x v x u x v xx6,則可把原來的不于是u xv x dx也存在,(3)或 u x v x u x v x uxvx, 對(duì)上式兩邊求不定積分，就得到（3）式.(4)公式(3)稱為分部積分公式，常簡寫作udv uv vdu例 11 求 xcosxdx.解 令u x , v cosx ,則有u 1,v sin x.由公式(3)求得例 12 求 arctanxdx.1解 令u arctanx , v 1 ,貝U u 2 , v x ,由公式(3)求得1 x例 13 求 x3 In xdx.解 令u In x,vx3,由公式(4)則有需經(jīng)移有時(shí)需要接連使用幾次分部積分才能求得結(jié)果；有些還會(huì)出現(xiàn)與原不定積分同類的項(xiàng), 項(xiàng)合并后方能完成求解.現(xiàn)分別示例如下例 14 求 x2e xdx.解x2e xdxx2d e xx2e x 2 xe xdx例 15 求 11 e x cosbxdx和 I2eax sinbxdx.-121解 11 cosbxd e e cosbx b e sin bxdx aa1 _ax一 e cosbx b