第十一章無窮級數

1、無 窮 級 數教學目的：1 .理解常數項級數收斂、發(fā)散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要 條件。2 .掌握幾何級數與P級數的收斂與發(fā)散的條件。3 .掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4 .掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。5 . 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。6 . 了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。7. 理解幕級數收斂半徑的概念，并掌握幕級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8. 了解幕級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質(和函數的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分)， 會求一些幕級數在收斂區(qū)間內的和函數，并會由此求

2、出某些常數項級數的和。9. 了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。10 .掌握ex,sinx,cosx, ln(1+x)和(1十a產的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成幕級數。11 . 了解傅里葉級數的概念和函數展開為傅里葉級數的狄利克雷定理，會將定義在-1 , 1上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在0, l上的函數展開為正弦級數與余弦級數， 會寫出傅里葉級數的和的表達式。教學重點：1、級數的基本性質及收斂的必要條件。2 、正項級數收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3 、交錯級數的萊布尼茨判別法；4 、幕級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；_-JI J 產.5 、ex ,s

3、in x,cos x , ln(1 + x)和(1 + a產的麥克勞林展開式；6 、傅里葉級數。1'''. | ,教學難點：1、 比較判別法的極限形式；2、 萊布尼茨判別法；3、 任意項級數的絕對收斂與條件收斂；4、 函數項級數的收斂域及和函數；5、 泰勒級數；6、 傅里葉級數的狄利克雷定理。§11? 1常數項級數的概念和性質一、常數項級數的概念常數項級數?給定一個數列Ui ： U2 ： U3-Un :g則由這數列構成的表達式Ui ' U2 ' U3- Un'' '叫做常數項）無窮級數?簡稱常數項）級數？記為三un ?即

4、AziO0、%=Ui U2 U3 Un：n 1其中第n項Un叫做級數的一股項?qQ=._ -級數的部分和?作級數工Un的前n項和 n 1稱為級數£ Un的部分和？n 1廠一“：二：qQ級數斂散性定義?如果級數£ Un的部分和數列Sn有極限s ?即lim sn = s?nWnI g -,-q*1.,則稱無窮級數£ua收斂？這時極限S叫做這級數的和？nV并寫成O0S = " Un =U| ' U2 U3 '''''Un ：n 1 | ry <如果sn沒有極限?則稱無窮級數三Un發(fā)散？ndoOoO余項？當級

5、數£ Un收斂時？其部分和S n是級數Z Un的和S的近似值?它們之間的差值 nTn=1n , S ,Sn , Un 1 , Un 2 ,叫做級數三Un的余項？n 1例1討論等比級數（幾何級數）的斂散性？其中a?0? q叫做級數的公比？例1討論等比級數 Jaqn(aW)的斂散性？nW)解如果q ?1?則部分和Sn ta aq aq2，aqn.二 a aq =a_aq-：1q1-q 1-qoO當| q| ?1時？因為lim?所以此時級數 £ aqn收斂？具和為-a- ?n 吐 1-qn=o1-qqQ當|q|>1時？因為limsn=g ?所以此時級數£aqn發(fā)散

6、？ n 'n =0qQ如果|q|則當q?1時，？ Sn ?na?因此級數£aqn發(fā)散？ n=0qQ當q?1時？級數£ aqn成為n =0 / :; 1f 廣a ：a ：a ：a ： 'I 1 . 'L 、時| q| ?1時，？因為Sn隨著n為奇數或偶數而等于a或零？qQ所以Sn的極限不存在？從而這時級數£aqn也發(fā)散？n=0qQqQ綜上所述？如果| q| ?1?則級數Z aqn收斂？具和為-a- ?如果| q| ?1 ?則級數Z aqn發(fā)散？ n田1-qn田_-JI 匕/ 丁”，qQ僅當| q| ?1時？幾何級數£ aqna?0)

7、收斂？具和為臺? n 斗1- q例2證明級數1：2 3二：二n：:是發(fā)散的：證此級數的部分和為sn=1 2 3n-nn” ：顯然？ lim Sn=8?因此所給級數是發(fā)散的？ n 二例3判別無窮級數的收斂性：精心整理解由于un -n(n 1) n n 1 1因此)=1 :從而lim & = lim (1-n 廠:n_.：:所以這級數收斂？它的和是1?例3判別無窮級數1的收斂性?n；n(n 1)解因為=(1段+岐-g)+耳)=1 :從而lim & = lim (1n )：:nc-;-所以這級數收斂？它的和是1?提示:Unn(n 1) n n 1、收斂級數的基本性質性質1如果級數Z

8、un收斂于和S?則它的各項同乘以一個常數 k所得的級數Z kUn也收斂?且其和為ks :性質1如果級數Z un收斂于和S ?則級數Z kUn也收斂？且其和為ks?8oo性質1如果£ un =s ?則£ kun =ks ?n 1n =1qQqQ?n?則這是因為？設:fun與£kUn的部分和分別為Snn=1n =1lim；=n=lim(ku1 ku2kUn)=klim(U1 U2Un) = klimsn=ks：n )： n n n 二qQ這表明級數Z kUn收斂?且和為ks ?n T性質2如果級數£un、三%分別收斂于和s、?則級數9(un±vn)

9、也收斂？且其和為s? n =1n=1n=1COooOO性質 2 如果 £ un =s、£ vn =仃？則 £ (un±vn) =s±仃？n=1n =1n 1OQqQqq這是因為？如果£un、Zvn、£ (un±vn)的部分和分別為Sn、？n、？n?則n 1 n 1 ndTim (與二;二 n) =s二二： n )性質3在級數中去掉、加上或改變有限項?不會改變級數的收斂性?比如？級數1 1 +二+ 1一 +是收斂的？1 2 2 3 34 n(n 1)級數10000+1+,+1一+也是收斂的？1 2 23 34 n(n

10、 1)級數。+，+1+也是收斂的？34 4 5 n(n 1)qQ性質4如果級數£ Un收斂？則對這級數的項任意加括號后所成的級數仍收斂？且其和不變？n=1應注意的問題?如果加括號后所成的級數收斂？則不能斷定去括號后原來的級數也收斂?例如?級數1 力)+1 ?1) + ? ?叫攵斂于零？但級數1?1?1?1? ?。卻是發(fā)散的？推論？如果加括號后所成的級數發(fā)散？則原來級數也發(fā)散？ 級數收斂的必要條件？ _-iI k/ .產，Q性質5如果£un收斂？則它的一般項Un趨于零？即limun = 0?ndn >0oO性質5如果Z un收斂？則lim un =0 ? ndn.

11、76;證 設級數Eun的部分和為sn?且lim sn = s?則nTn一二lim un = lim (務sn)=lim *一 lim sn=s s=0 :n；0 n n ：n，二n一應注意的問題？級數的一般項趨于零并不是級數收斂的充分條件？例4證明調和級數11 =1+1+1+ . 1- + 是發(fā)散的?n”2 3 n例4證明調和級數 三是發(fā)散的？n -1n證 假若級數占1收斂且其和為S? Sn是它的部分和？ n =1n顯然有 lim 4=s 及 lim s2n =s ?于是 lim (s2n -sn) = 0 ?n j 二二n )二二n >但另一方面：1111111、S2n -Sn2n n

12、 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2故lim (S2n-Sn)#0?矛盾？這矛盾說明級數工工必定發(fā)散?n，二n = n§11? 2常數項級數的審斂法一、正項級數及其審斂法正項級數？各項都是正數或零的級數稱為正項級數？定理1正項級數Eun收斂的充分必要條件它的部分和數列Sn有界？n 1qQqQCQ定理2(比較審斂法)設£un和£vn都是正項級數？且助加(口?1? 2? ? ? ? ) ?若級數£vn收 n 1 n 1n=1qQqQqQ斂？則級數Z Un收斂？反之？若級數Z Un發(fā)散？則級數£ Vn發(fā)散？% I : J .*11ndn1nd定理

13、2(比較審斂法)cOQO設£ un和Z Vn都是正項級數？且UnRn( k ?0? ?n?N) ? n 1n 1qQqQqQOQ若£Vn收斂？則£un收斂？若£ Un發(fā)散？則£ 片發(fā)散？nWn=1nTnT設？Un和Wn都是正項級數？且Un?kVn(k?0? ?n，時？若級數Wn收斂，？則級數？Un收斂，？反之？若級數?Un發(fā)散？則級數？Vn發(fā)散.？qQqQ證 設級數f Vn收斂于和？則級數f Un的部分和nWn4Sn ：U1 / ： ： ： ： ：Un 丫1 : V2 ： ： ： ： ：Vn ： ： ( n ：1,2,:：)：即部分和數列Sn有

14、界？由定理1知級數三Un收斂？n反之？設級數£ Un發(fā)散？則級數Vn Vn必發(fā)散?因為若級數n=1Vn Vn收斂?由上已證明的結論?將有級數Un Un也收斂?與假設矛盾?n=1n=1證僅就Un?Vn (n?1 ? 2 ? ? ? ?)情形證明?設級數Wn收斂？具和為?則級數？Un的部分和SnU ： U2： ： ： ： ： Un M：V2： ： ： ： ：Vn： ( n ：1,2,:)：即部分和數列Sn有界？因此級數？Un收斂？反之？設級數 心 發(fā)散？則級數？Vn必發(fā)散？因為若級數Wn收斂，？由上已證明的結論?級數？Un也收斂？與假設矛盾？推論設£ Un和£ Vn都

15、是正項級數?如果級數V： Vn收斂?且存在自然數 N使當n?N時有n =1n=1UnTkVn(kR)成立？則級數£ un收斂？如果級數£Vn發(fā)散？且當n?N時有Un?kVn(k?0)成立？則級數n=1£ Un發(fā)散？n 1i , 例1討論p嗷數的收斂性?其中常數p?0?解設p，?1 ?這時1->1 np例1討論p呦數1 4r(p>0)的收斂性?nN np?而調和級數£ 1發(fā)散？由比較審斂法知？當p?1時級數£發(fā)散？ n Wnn =1 n設p?1?此時有1npn_in1pdx-nnpnpf(n：2, 3,對于級數£ 焉-2?其

16、部分和n9(n-1嚴 np-1Sn =1工-1;=1np< (n 1嚴(n 1)p因為 lim sn = lim 1 1-( =1 :n ： n n ： (n 1)p-1所以級數£ 一工收斂?從而根據比較審斂法的推論i可知？級數三當p?i時收斂?n占(n1)pnpJn=i np綜上所述? p啾數£ 4當p ?1時收斂?當p ?1時發(fā)散？nd np解 當p?1時？1之1 ?而調和級數去工發(fā)散?由比較審斂法知?np nn；n當p?1時級數三發(fā)散？ns np當p?1時？1 = n 1 dxE n 1 dx= 1 11,np nnp n,xp p -1 (n-1)p_1np，

17、(n：2, 3,:):而級數£ 二_$是收斂的？根據比較審斂法的推論可知n1(n-1)pnp-1qQ級數£，當p?1時收斂？n, np提示?OQ級數;1n 2(n-1)p1j的部分和為np 一sn.方力卡-3"- 昌飛7小=1年小 因為 lim sn = lim 1 二 =1'?n n (n 1產一p,啜數的收斂性？ p ,呦數14當p?1時收斂?當p?1時發(fā)散？nT np所以級數一 一Jn，(n-1)p-1卡收斂？qQ例2證明級數£ / 1 是發(fā)散的?nw 、n(n 1)證因為 -1l ：&l 1l ; Vn21 _ 1=?* n(n

18、1) . (n 1)2 n 1而級數1 1=+1+,.+是發(fā)散的?nn 1 2 3 n 1根據比較審斂法可知所給級數也是發(fā)散的：定理3(比較審斂法的極限形式)設2un和夏vn都是正項級數?如果lim業(yè)萬(0胃制)？n 1n=1n >:：vnqQqQ則級數£Un和級數£Vn同時收斂或同時發(fā)散？n 1n定理3(比較審斂法的極限形式)設三Un和：F Vn都是正項級數？n 1nW/ 丁 產:產 廠(1) 如果lim un=l (0 ?lk?) ?且級數£ Vn收斂？則級數Z Un收斂？n，二vnnWn=1 如果limun=l >0或limun = z ?且級數

19、克vn發(fā)散？則級數Sun發(fā)散？n，二Vnn >：:VnnVn=1定理3(比較審斂法的極限形式)；. ：1設?Un和？Vn都是正項級數？(1) 如果 lim(Un/ Vn)?l(0 ?l 您)？且?Vn收斂?則？Un 收斂？(2) 如果 lim(Un/ Vn)?l(0 ?l ?) ?且?Vn發(fā)散?貝1j ?Un 發(fā)散？證明 由極限的定義可知？對名-2l ?存在自然數 N當n'N時？有不等式即加 <Un<3lVn?再根據比較審斂法的推論1?即得所要證的結論？Q0例3判別級數£ sin1的收斂性？n 1 n.1sin二解因為lim n =1"而級數上一發(fā)

20、散”n 1nnn精心整理根據比較審斂法的極限形式？級數£ sin1發(fā)散？ni nqQ例4判別級數f ln(1+4）的收斂性？ n1ln(1 -2)解因為lim匚=1n )：:1n2?而級數f 4收斂？n zi nn=1根據比較審斂法的極限形式？級數工ln（1+2）收斂？ nJ n定理4（比值審斂法？達朗貝爾判別法）qQ若正項級數£Un的后項與前項之比值的極限等于?n 1limn Un則當？?1時級數收斂？當？1（或lim u±=g ）時級數發(fā)散？當？1時級數可能收斂也可能發(fā)散？ J' un定理4（比值審斂法？達朗貝爾判別法）若正項級數玄un滿足lim u&

21、#177; = P?則當？?1時級數收斂?ndf : Un當？?1（或lim殳上=8）時級數發(fā)散？當？1時級數可能收斂也可能發(fā)散？f UnoO定理4（比值審斂法?達朗貝爾判別法）設工Un為正項級數?如果n 1lim 與=：f： Un則當叼時級數收斂？當？叫或nf時級數發(fā)散？當？1時級數可能收斂也可能發(fā)散？例5證明級數什丁考總十一+ * *1 2 3 (n -1)是收斂的：精心整理解因為 lim 汕=iim123 '(n-"lim#?n. un n ： 1 2 3 n n ：n根據比值審斂法可知所給級數收斂：例6判別級數。+粵+/+里+ .的收斂性？10 10210310nUn

22、 1. (n 1)! 10n. n 1 一、用牛 內力 lim= lim -n-#= lim二如？n ：: Unn ：: 10 n ! n ：: 10根據比值審斂法可知所給級數發(fā)散：qQ例7判別級數£1的收斂性？n ：(2n-1)2n解 limUn1 = lim (2n-1) 2n =1：n二 un n )：(2n 1) (2n 2)因為 1 ：二2(2n -1) 2n n2這時？?1?比值審斂法失效？必須用其它方法來判別級數的收斂性？?而級數z 4收斂？因此由比較審斂法可知所給級數收斂 nW n2解因為小1c 凸?而級數:£ 4收斂？因此由比較審斂法可知所給級數收斂(2n

23、-1) 2n n2 -n n2提示？ nl瑞二罌22(22；2尸?比值審斂法失效？因為一1:二(2n -1) 2n n?而級數qQZ 4收斂？因此由比較審斂法可知所給級數收斂nd n2精心整理定理5(根值審斂法？柯西判別法)qQ設£un是正項級數?如果它的一般項Un的n次根的極限等于?n 1則當？?1時級數收斂？當？?1(或lim如n f)時級數發(fā)散？當？?1時級數可能收斂也可能發(fā)散？ n 二'qQ若正項級數”Unn =1定理5(根值審斂法？柯西判別法)滿足lim n% = P ?則當？?1時級數收斂?當？叫或lim n/un=y)時級數發(fā)散?當?1時級數可能收斂也可能發(fā)散?

24、n 7二定理5(根值審斂法？柯西判別法)qQ設£ Un為正項級數？如果n =1則當？?1時級數收斂？當？1(或lim £而；=收)時級數發(fā)散？當？?1時級數可能收斂也可能發(fā)散？ n_,例8證明級數1 +1.1. 1 ,22 33nn是收斂的并估計以級數的部分和Sn近似代替和S所產生的誤差？解 因為 lim n/U7= lim=lim 1=0 ?n)二' n ：: i. n n ：: n所以根據根值審斂法可知所給級數收斂：以這級數的部分和Sn近似代替和S所產生的誤差為 k廣-廣I， 二1.1.11:,(n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 3二 1、n(n

25、1)n例6判定級數£2+(n1)n 的收斂性？nV 2n解因為'I 1、/lim n u lim 1 n，2 (-1)n -1 :ni nn-；.：22所以？根據根值審斂法知所給級數收斂？定理6(極限審斂法)qQ設t un為正項級數？n =1qQ(1) 如果 lim nun =l 0(或 lim nun =+°°) ?則級數 £ un 發(fā)散？n 二n ：eqQ(2) 如果p?1?而lim npun=l (0Wl 依)？則級數£un收斂？n 'inTqQ例7判定級數Z ln(12)的收斂性？nW n解因為ln(1+12)2(nT叼

26、？故n nlim n2un = lim n2ln(1 -12) = lim n2 & =1 : n )：:n )：n n )二 n根據極限審斂法？知所給級數收斂？qQ例8判定級數n <zn+1(1 -cos-)的收斂性？n 1n3 lim n2un n_.解因為=lim n2、n 1(1-cos) = lim n2 n 1 1()2 =工二2nn n ： in 2 n 2根據極限審斂法？知所給級數收斂？二、交錯級數及其審斂法交錯級數？交錯級數是這樣的級數？它的各項是正負交錯的?交錯級數的一般形式為 £ (-1)n/Un ?其中Un >0 ?n 1例如？克(-1)n

27、工是交錯級數？但(1)n/1-c0Sn71不是交錯級數?n =1nn 1n定理6 (萊布尼茨定理)qQ如果交錯級數£(-1)n,un滿足條件？n 1(1)Un Ln 1 ( n ：1 ： 2 ： 3 ：)： lim un=0 :n1二則級數收斂？且其和s%1?其余項rn的絕對值| rn| ?Un?1?定理6 (萊布尼茨定理)-I I :盧、工I:1 % I .1 產0O如果交錯級數£(-1)n,un滿足？ (1) un之Un由？ (2) limUn =0 ?則級數收斂?且其和s?U1?其余項rn的絕對值| rn| ?Un?簡要證明？設前n項部分和為Sn?由 S2n ?( U

28、1 ?U2) ?( U3 %4) ? ? ? ? ?( U2n 1 ?U2n) ?及S 2n :U1 ：( U2 :U3) ：( U4 ：U5) ； ； ； ； ( U2n 2 :U2n 1) 12n看出數列S2n單調增加且有界(S2n%1) ?所以收斂?設 S2nan?) ?則也有 S2n?S2n，2n?S(n?) ?所以 Sn ?S( h?) ?從而級數是收斂的？且 Sn?U1? 因為| rn| Rn?Un? ? ?也是收斂的交錯級數?所以|n| ?Un?例9證明級數9(1)n/工收斂？并估計和及余項?n n證這是一個交錯級數?因為此級數滿足111(1)Un =-、Uni(n：1,2, ：

29、 ： ) ： (2) lim Un = lim 1=0 ：n n 1n ： n ： n由萊布尼茨定理？級數是收斂的？且其和s?U1?1?余項|rn區(qū)Un4=n11 ?三、絕對收斂與條件收斂：絕對收斂與條件收斂：若級數占iuni收斂？則稱級數£ un絕對收斂？若級數£ unn 1n =1nqQqQ收斂?而級數工|Un|發(fā)散？則稱級Z Un條件收斂?n =1n 1"IqQqQ例10級數£(_1)nJ2是絕對收斂的?而級數£ (-1)n是條件收斂的?n， nnWn定理7如果級數£ un絕對收斂?則級數£ un必定收斂?n 1n =

30、1值得注意的問題?qQqQ如果級數£|un|發(fā)散？我們不能斷定級數£4也發(fā)散？ndn 1但是？如果我們用比值法或根值法判定級數£ |un|發(fā)散?nToO則我們可以斷定級數£un必定發(fā)散？nTqQ這是因為?止匕時| un|不趨向于零？從而5也不趨向于零？因此級數£un也是發(fā)散的？n=1qQ例11判別級數£叫應的收斂性?n =1 n解因為|嗎aF？而級數£ 4是收斂的？n2n2nw n2所以級數£|sn"|也收斂?從而級數£典”絕對收斂?nnnJ n例12判別級數(1)n /(1+1嚴的收斂性?n=

31、i2n' n，解？由 |unl=4r(1+1)n2 ?有 lim n/iUnLim (1+)n=2e>1?nl 2nn n nl 2n n 2可知lim un#0?因此級數£(-1)n4-(1+1)n2發(fā)散？n，二n=12n ' n'§ 11 ? 3 幕級數一、函數項級數的概念函數項級數？給定一個定義在區(qū)間I上的函數列Un(x) ?由這函數列構成的表達式U1(x) ：U2(X)：U3(X)Un(x)：稱為定義在區(qū)間I上的(函數項)級數？記為克un(x)?n=1收斂點與發(fā)散點：對于區(qū)間I內的一定點xo?若常數項級數克Un(xo)收斂？則稱n 1點

32、xo是級數三小(x)的收斂點？若常數項級數 玄Un(xo)發(fā)散？則稱n 1n =1點xo是級數£ Un (x)的發(fā)散點？n 1收斂域與發(fā)散域？函數項級數Z Un(x)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域?所 n 1有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域？和函數?Q0在收斂域上?函數項級數£ un(x)的和是x的函數s(x)?n =1qQqQs(x)稱為函數項級數£un(x)的和函數？并寫成s(x) =Z un(x) ?n 1n =1qQ!2un(x)是Z-Un(x)的簡便記法？以下不再重述？ n 1在收斂域上？函數項級數12 Un(x)的和是x的函數s(x) ?s(x)稱為函數

33、項級數三Un(x)的和函數?并寫成s(x) ?Eun(x) ?這函數的定義就是級數的收斂域：部分和：函數項級數 克un(x)的前n項的部分和記作sn(x) ?n =1函數項級數13 Un(x)的前n項的部分和記作Sn(x) ?即Sn(x) ; u l(x) :U2(x) :U3(x) , , , , Un(x):在收斂域上有 lim sn(x)=s(x)或 Sn(x)，?s(x)( n?) ?n1二二余項：函數項級數玄Un(x)的和函數S(x)與部分和Sn(x)的差 n 1rn (x) ?s(x) %n(x)叫做函數項級數Z Un(x)的余項？ nW函數項級數Un(x)的余項記為rn(x)?它

34、是和函數s(x)與部分和Sn(x)的差r n( x) ?s(x) ?Sn(x) ?在收斂域上有l(wèi)im rn(x)=0：n )：: n二、幕級數及其收斂性幕級數：函數項級數中簡單而常見的一類級數就是各項都幕函數的函數項級數?這種形式的級數稱為幕級數？它的形式是n-rff-a0 aix ,&x ,anx一 一其中常數ao? ai ? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做幕級數的系數?幕級數的例子：/23n1: x：x ：xx ：1 x 1 x2：； ： 1 xn2! n!注？幕級數的一般形式是2nao：ai(x：xo) :a2(x：x0) ： ： ： ： a(x：xo);：經變

35、換 t TxTxo就得 ao?ait ?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?幕級數可以看成是公比為x的幾何級數?當| x| ?1時它是收斂的？當| x| ?1時，？它是發(fā)散的？因此它的收斂域為(？1? 1) ?在收斂域內有11 -x=1 x x2 x3 -xn:定理1 (阿貝爾定理)如果級數£ anxn當x?x0 ( xo?0)時收斂？則適合不等式n =0| x| ?| xo|的一切x使這幕級數絕對收斂？反之?如果級數an anxn當n0x?x0時發(fā)散?則適合不等式|x|彳xo|的一切x使這幕級數發(fā)散?定理1 (阿貝爾定理)如果級數三anxn當x/0 ( x0p)時收

36、斂？則適合不等式| x| ?| xo|的一切x使這幕級數絕對收斂？反之？如果級數12 anxn當x%0時發(fā)散?則適合不等式|x|彳xo|的一切x使這幕級數發(fā)散？提示?三anxn是£ anxn的簡記形式?n 0)證 先設x。是幕級數支axn的收斂點？即級數支anxn收斂？根據級數收斂的必要條件？有 n =0nd。lim anxn =0 ?于是存在一個常數 M使 n_.| a nx0nlM n ：0, 1,2,：)：這樣級數 /anxn的的一股項的絕對值 n zzDn.:'lanx+laX xn|=|anxni|X|"M |x|n ：x°x0x0/ : Ss

37、廠因為當|x| Tjx0|時？等比級數M M占1n收斂？所以級數 萬anxn|收斂？也就是級數 支anxn絕對收斂 n -0x0n -0n H0?簡要證明設!2anxn在點x0收斂？則有anx0n?0(n?) ?于是數列anx0n有界，？即存在一個常數M?使| anx0n | MnQ 1,2,? ? ?) ?7 ci 因為|anxn|=|anxn 'xn| = |anx(n|x0而當|x|<|x0|時？等比級數M M產1n收斂?所以級數三| anxn|收斂？也就是級數三anxn絕對收斂? n =0x0定理的第二部分可用反證法證明？倘若幕級數當xTx0時發(fā)散而有一點xi適合|xi|

38、>| x0|使級數 收斂？則根據本定理的第一部分?級數當乂取0時應收斂？這與所設矛盾？定理得證?推論如果級數?anxn不是僅在點x汨一點收斂？也不是在整個數軸上都收斂？則必有一個完n =0全確定的正數R存在？使得 當| x| ?R時，？幕級數絕對收斂？ 當|x| ?R時？幕級數發(fā)散?當x OR與x 2?R時？幕級數可能收斂也可能發(fā)散?收斂半徑與收斂區(qū)間?正數R通常叫做幕級數Z anxn的收斂半徑？開區(qū)間（？R R）叫做事級數n=0an斗xn的收斂區(qū)間？再由幕級數在X?nR處的收斂性就可以決定它的收斂域？幕級數a anXn的收斂n =0nd0域是（？R R）（或浜 R）、（？R R、職 R

39、 之一？00規(guī)定?若幕級數an anxn只在xP收斂？則規(guī)定收斂半徑R?0 ?若幕級數a anxn對一切x都收n =0斂?則規(guī)定收斂半徑R?這時收斂域為（?, ?） ?定理2n=0如果恨誓其中an、an?是幕級數自nxn的相鄰兩項的系數？則這幕級數的收斂半徑R=(+001-P0P - +cc定理2如果幕級數 克anxn系數滿足lim 1ati=P?則這幕級數的收斂半徑n吐ann =0R=4十co1P0=0：=0 :P = -Re定理2Q0|=p?則幕級數Z anxn的收斂半徑R為.?n=0當? ?0時R =4？當?0時R?當？您時 R0?簡要證明：lim |n，n 1 2*1二 nim瑟 |x

40、|=：1x|：n例1求幕級數£（1尸工的收斂半徑與收斂域?n=1n1解 因為 p= iim|a史|= lim 與1=1?nan n1 1n所以收斂半徑為R =4=1 ：當x?1時？幕級數成為£（1）52是收斂的？ nd n當x ?1時？幕級數成為£（）?是發(fā)散的?因此？收斂域為（？1, 1 ?n 1 n例2求幕級數克xn ndon!的收斂域：例2求幕級數£lxn的收斂域？ndon!二 f1解 因為 P= lim 1a3=lim 9T11 = lim 上=0 ?n 二 ann，二 1 n 二（n 1）!n!所以收斂半徑為R?從而收斂域為（？?，？?）？例3

41、求幕級數克n!xn的收斂半徑？n -0解因為小"小（7!=所以收斂半徑為RT0?即級數僅在x?0處收斂？例4求幕級數:f (2嗎x2n n/(n!)2的收斂半徑?解級數缺少奇次幕的項?定理2不能應用？可根據比值審斂法來求收斂半徑？幕級數的一般項記為Un（x戶黑x2n：因為 nmiiwxi2：當4|x|2月即岡2時級數收斂?當4|x|2?1即|x|2時級數發(fā)散?所以收斂半徑為R=T?2(n 削! x2(n 1)Un i(x)(n 1)!2(2n 2)(2n 1)Un(X)一 (2n)! 2n 一 (n 1)22 X例5求幕級數£蟲工的收斂域?n=i 2nn n因為an 1解

42、令t ?x?1 ?上述級數變?yōu)?#163;？ n/2nn2n n 1、=f2n 1 (n 1) 2所以收斂半徑R：2：當t笈時？級數成為1 1 ?此級數發(fā)散？當t可2時？級數成為£（一1） ?此級數收斂?因此級nnnnn數的收斂域為*2曾，2?因為？27/。2?即？17x?3?所以原級數的收斂域為?1,3） ? n2nn三、幕級數的運算OQqQ設幕級數£anXn及Tbnxn分別在區(qū)間（？R 2及（？卬，R）內收斂？則在（蟲，2與（？田，R） n =0n =0中較小的區(qū)間內有加法：“，anxn，.二 bnxn = （不 bn）xn :n -0n -0n -0減法：'

43、anxn - ' bnxn =' （斗-bn）xn : n =0n =0n =0設幕級數三anxn及三bnxn分別在區(qū)間（？R 2及（？卬，Rf內收斂？則在（OR 2與（？R，R）中較 小的區(qū)間內有加法？ -anx- bnxn ?E （an?bn）xn ?減法？ ZZanxn ?E bnxn ?E （an?bn）xn ?乘法？（£anxn） （£bnxn）匕0卜%01%七0）乂?（20132%心1?22E）乂2? ? ? ?n =0n=0：（a0bn：a1bn2加0）乂入：:qQ性質1幕級數f anxn的和函數S（x）在其收斂域I上連續(xù)？如果幕級數在x?R

44、（或x，?職）也收斂？則和函數s（x）在（？R R（或?R R）連續(xù)？性質2幕級數£anxn的和函數s（x）在其收斂域I上可積？并且有逐項積分公式n =0；s（x）dx =；（二 anxn）dx = " ；anxndx = ' -a xn 1 （x ：I ）:00 n 為n=00n5 1逐項積分后所得到的幕級數和原級數有相同的收斂半徑：性質3幕級數£anxn的和函數s(x)在其收斂區(qū)間(？R? R)內可導？并且有逐項求導公式n=0n=1s(x)=anXn),：=工(anXn),：=nanXn(| x| ：R :n =0逐項求導后所得到的幕級數和原級數有相同

45、的收斂半徑：性質1幕級數三anxn的和函數s(x)在其收斂域I上連續(xù)？性質2幕級數!2anxn的和函數s(x)在其收斂域I上可積？并且有逐項積分公式:s(x)dx = ；anXn)dx-" janxndxC -ax" (x：I ):n=0n=0n=0n 1逐項積分后所得到的幕級數和原級數有相同的收斂半徑：性質3幕級數三anxn的和函數s(x)在其收斂區(qū)間(？R? R)內可導?并且有逐項求導公式s(x)=anXn),：= Y (anXn) = " nanXn-1 (| x| H :n J3n =0逐項求導后所得到的幕級數和原級數有相同的收斂半徑：例6求幕級數克，xn

46、的和函數？ndDn 1解 求得幕級數的收斂域為?1? 1) ?、1； C £ t/ - $x' I 、r 一一 、，、，- rr291 c一設和函數為 s(x) ?即 s(x) =Zxn ? x? ?1? 1) ?顯然 s(0) ?1?nn 1在xs(x)=£-xn'1的兩邊求導得nn 1xs(x) = J 1 xn1)：xn= 1 ;n =0 n 1n=01-X對上式從0到x積分？得xs(x) = (1 dx = -ln(1-x) ?1 -x-ln(1 - x)x10："x卜：1、x = 0于是？當 X ?0 時？ <s(x) = -ln(

47、1-x)?從而 s(x) = ； X因為 xs(x) = - 1 xn1=：1 xn 1 dxn=on 10 n=on 1=(工 xndx =，dx =ln(1x) ? n -01 -X所以?當X犯時,？有s(x) = ln(1x) ?x從而 s(x)= Tln(1 - x)10：|x卜：1、x = 0例6求幕級數£一七Xn的和函數?n=0n 1解 求得幕級數的收斂域為?1? 1) ?設幕級數的和函數為s(x) ?即s(x) = £-工xn? x?1? 1) ?n與n 1ndx 二顯然S(0) ?1 ?因為dx - - ln(1 -x) (-1 :二 x ：二 1)：1 -

48、 x所以？當 0<|x|<1 時？有 s(x)=-ln(1-x) ? x從而 s(x)-lxln(1-x)10：二岡：二1 ：x = 0由和函數在收斂域上的連續(xù)性？(二 1)n、S(-1)= lim S(x) = ln2 : x l.綜合起來得 s(x); .xln(1 一x) x 一1'0)0'1)：提示？應用公式(F'(x)dx = F(x) F(0) ?即 F(x)=F(0) +：F'(x)dx ?1 =1 x x2 x3xn：1 -x例7:求級數三上1n的和?nJ n 1解考慮幕級數H，xn ?此級數在?1, 1)上收斂？設其和n*n 100

49、函數為 s(x) ?則 s(-1) =£ -n =0在例 6 中已得到 xs(x) 21n(1 ?x) ?于是?s( ?1) 71n2 ? s(-1)=ln- ?即:£上方=/ ?2 nn 12§ 11? 4 函數展開成幕級數一、泰勒級數要解決的問題？給定函數f(x) ?要考慮它是否能在某個區(qū)間內”展開成幕級數”?就是說？是否能找到這樣一個幕級數？它在某區(qū)間內收斂？且其和恰好就是給定的函數f(x)?如果能找到這 樣的幕級數？我們就說?函數f(x)在該區(qū)間內能展開成幕級數？或簡單地說函數f(x)能展開成幕 級數？而該級數在收斂區(qū)間內就表達了函數 f (x) ?泰勒多

50、項式？如果f(x)在點x。的某鄰域內具有各階導數？則在該鄰域內f(x)近似等于.fn(x-x0)n Rn(x)：n!(n/其中fU"(?介于x與X0之間)?泰勒級數？如果f (x)在點X0的某鄰域內具有各階導數f Xx) ? f ?(x) ? ? ? ? ?f (n)(x) ? ? ? ? ?則當n?時? f(x)在點x0的泰勒多項式成為幕級數這一幕級數稱為函數f( x)的泰勒級數？顯然？當x »0時？ f ( x)的泰勒級數收斂于f ( xo) ?需回答的問題?除了 x)0外？ f(x)的泰勒級數是否收斂？如果收斂?它是否一定收斂于f(x)? 定理 設函數f (x)在點x

51、。的某一鄰域U(x。)內具有各階導數?則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項R(x)當n?0時的極限為零？即lim R(x) =0 (x U (x0)： n1證明先證必要性？設f (x)在U(x0)內能展開為泰勒級數?即f (x0)2f (n)(x0) . n _f (x) = f(x0)+f (xO)(xxO)+ °-(x-x0)2+ +j-0-(x-x0)+r2!n!又設Sn?(x)是f (x)的泰勒級數的前nk項的和？則在U(x0)內Sn?(x) ?f (x)( n?) ?而 f (x)的 n 階泰勒公式可寫成 f (x) ?Sn?(x)

52、 “(x) ?于是 Rn(x) 2f (x) ?Sn?(x) ?0(n?) ?再證充分性？設R(x) ?0(n?)對一切x?U(x0)成立？| . 二。11r"，uf '：因為 f (x)的 n 階泰勒公式可寫成 f (x)%n?(x) ?Rn(x) ?于是 Sn?(x) ?f (x) ?Rn(x)?f (x) ?即f (x)的泰勒級數在U(x0)內收斂？并且收斂于f (x) ?麥克勞林級數?在泰勒級數中取x0?0?得f(0) + f(0)x+粵X2+中xn+-？此級數稱為f(x)的麥克勞林級數？展開式的唯一性？如果f(x)能展開成x的幕級數?那么這種展式是唯一的？它一定與f

53、(x)的1-. I 1麥克勞林級數一致？這是因為？如果f (x)在點x0 ?0的某鄰域(？R F)內能展開成x的幕級數？即2nf (x)為0?aix%2x ? ? ? ? ?anx ? ? ? ? ?那么根據幕級數在收斂區(qū)間內可以逐項求導？有2_ n_1_f ：(x) ：ai 2a2x 3a以. nanx ：.n 2f 二(x) ：2!a2：3：2a3x，一 ，n：(n：1)anx '：n 3f 二：(x) ：3!a3, 一 ，n：(n：1)( n：2)anx ,999 999999 999 999 (f (n)(x) ：n!an：(n：1)n(n：1) : : :2 an ix ：f (n)(0)n!于是得a 0 ：f (0) : ai ：f ：(0) : a2 =皿an = 2!n應注意的問題？如果f (x)能展開成x的幕級數？那么這個幕級數就是f (x)的麥克勞林級數？但 是？反過來如果f (x)的麥克勞林級數在點x0?0的某鄰域內收斂？它卻不一定收斂于f (x) ?因止匕？如 果f(x)在點x。*處具有各階導數？則f(x)的麥克勞林級數雖然能作出來?但這個級數是否在某個區(qū)間內收斂？以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察9二、函數展開成幕級數展開步驟：第一步 求出 f ( x)的各階導數? f ?(x) ? f ?(x) ? ? ? ? ? f