膏體輸送水平懸臂管道不同流速下的三維非線性振動(dòng)分析.docx

1、第30卷第10期Volume30Number1()中國有色金屬學(xué)報(bào)TheChineseJournalofNonferrousMetalsDOI:10.11817/j.ysxb.1004.0609.2020-39521膏體輸送水平懸臂管道不同流速下的三維非線性振動(dòng)分析李榮，2,李翠平，2,顏丙恒I(1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京100083；2.北京科技大學(xué)金屬礦山高效開采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083)摘要：充填管路末端水平管段的振動(dòng)會(huì)極大地影響充填效果和充填效率，針對這問題，為探究管道振動(dòng)狀態(tài)隨管內(nèi)膏體平均流速變化的規(guī)律，結(jié)合現(xiàn)場實(shí)際，構(gòu)建管道振動(dòng)分析模型，建立了水平輸送

2、管段的三維非線性振動(dòng)控制方程組。采用伽遼金法和Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，得到了輸送管道自由端的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并通過時(shí)間歷程圖、分岔圖、相平面圖和運(yùn)動(dòng)軌跡圖進(jìn)行呈現(xiàn)。結(jié)果表明：管內(nèi)商體無量綱流速“f在增大的過程中存在一個(gè)臨界流速"cr，且兩個(gè)方向上的臨界流速不同，方向上“8=10.55,方向上“cr=0.001。當(dāng)“f<"cr時(shí)，管道最終會(huì)穩(wěn)定下來；當(dāng)管道自由端會(huì)發(fā)生顫振失穩(wěn)，其運(yùn)動(dòng)形式表現(xiàn)為周期振動(dòng)和概周期振動(dòng)，且隨著，“的增大,管道的振動(dòng)幅度也會(huì)不斷增大。關(guān)鍵詞：音體輸送；管道三維振動(dòng)：非線性；平均流速文章編號：1004-0609(2020)-10-249

3、2-11中圖分類號：TD853；TB533文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A基金項(xiàng)目：國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2017YFC0602903)收稿日期：2019-09-02；修訂日期:2019-12-25通信作者：李翠平.教熱博士；電話E-mail：cpli隨著國家對礦業(yè)開采安全性和環(huán)保性的重視，膏體充填技術(shù)被廣泛應(yīng)用在礦山建設(shè)中，其在保證礦山安全、環(huán)保、高效生產(chǎn)等方面都顯示出巨大的優(yōu)勢，成為當(dāng)下礦業(yè)開采采用的主要綠色開采技術(shù)【II。管道輸送作為膏體充填工藝的重要環(huán)節(jié)，_定程度上決定著膏體充填的最終效果。膏體輸送的過程可分為豎直輸送段、水平輸送段、充填采場段三個(gè)部分，在豎直輸送段及與其

4、相接的水平輸送段中，管道被剛性固定，這種固定方式使整個(gè)管道系統(tǒng)的剛性非常大，振動(dòng)被抑制。相比于前述兩個(gè)管段，入充填采場管段為保證其靈活性，對管道固定較為寬松，管道的振動(dòng)較為強(qiáng)烈，導(dǎo)致膏體送出管道時(shí)極不均勻，影響了充填作業(yè)的高效性，對充填效果產(chǎn)生了負(fù)面作用，是個(gè)典型的輸流管道系統(tǒng)。關(guān)于輸流管道系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為自20世紀(jì)80年代以來一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題，其在核電站、航空航天、海洋采礦工程等領(lǐng)域具有重要研兗意義13-切。在輸液管的動(dòng)力學(xué)行為研究中，早在1966年，GREGORY等I，頊就對懸骨輸流管的失穩(wěn)方式進(jìn)行了研究，得出懸臂管的失穩(wěn)方式為顫振失穩(wěn)這一重要結(jié)論，而目.在顫振發(fā)生前還可能會(huì)

5、出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)。之后，這一領(lǐng)域的研究成果不斷涌出，1974年P(guān)AIDOUSSIS等建立了比較完整的二維線性振動(dòng)控制方程，但線性模型并不能完整的描述輸流管道的動(dòng)力學(xué)行為，研究人員開始關(guān)注輸流管道的非線性動(dòng)力學(xué)行為，如概周期振動(dòng)、倍周期振動(dòng)、混沌等。PAIDOUSSIS等采用伽遼金法對平面內(nèi)豎直輸液管道在非線性約束下的動(dòng)力學(xué)行為，結(jié)果表明，當(dāng)伽遼金截?cái)嚯A數(shù)N從2變化到4時(shí)，數(shù)值解和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合程度從良好變成優(yōu)秀。徐鑒等圓將數(shù)值解和精確解進(jìn)行了對比，總結(jié)了模態(tài)截?cái)鄶?shù)和無量綱流體質(zhì)量歷對系統(tǒng)臨界流速的影響程度，結(jié)果表明，當(dāng)N=2明崗=0.2時(shí)就可以得到相對精確的數(shù)值解。王乙坤等也對平面內(nèi)非線性約束下管

6、道的混沌行為進(jìn)行了研究。以上研究都集中于二維平面以內(nèi)。WADHAM-GAGNON等削總結(jié)了前人的研兗成果，推導(dǎo)了燧直懸臂管道在重力、中間彈簧支撐、末端附加質(zhì)量作用下的完整的控制方程，并對其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了理論分析；在此基礎(chǔ)上，GHAYESH等叫添加了-個(gè)單點(diǎn)外力進(jìn)行了進(jìn)步的動(dòng)力學(xué)分析，并詳細(xì)地對比了數(shù)值求解過程中不同初始條件下的結(jié)果，表明不同的初始條件下管道的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)發(fā)生變化。的三維振動(dòng)，對應(yīng)于表2中右上斜線部分。當(dāng)速度超過功方向上的臨界流速后，管道末端呈現(xiàn)三維振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖10(b)所示，為一個(gè)折“8”形的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，對應(yīng)于表2中的網(wǎng)格部分。1.51.00.5招0-0.5-1.0-

7、0.004-0.00200.0020.004們-1.5圖10管道自由端三維運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.103Doscillationtrajectoriesoffree-endofpipe:(a)ut=103;(b)M(=134結(jié)論1) 當(dāng)無量綱平均流速“fVO.001時(shí)，管道穩(wěn)定：«)»0.005時(shí)，x-y平面內(nèi)穩(wěn)定，xz平面顫振失穩(wěn)，開始出現(xiàn)多波峰概周期振動(dòng)；隨著速度增大，i-y平面繼續(xù)穩(wěn)定，x-z平面周期振動(dòng)頻率和振幅增大。2) s>1.59時(shí)，初始時(shí)間段內(nèi)管道自由端位移隨時(shí)間的變化極不規(guī)律，穩(wěn)定后的周期振動(dòng)平衡位置在正負(fù)間跳動(dòng)：Wl>1.7時(shí)初始時(shí)間段內(nèi)振動(dòng)開始消

8、減，且平衡位置開始慢慢靠近。點(diǎn)：妙=3時(shí)，平衡位置回到0；速度繼續(xù)增大，振幅變大，但依然呈現(xiàn)周期振動(dòng)，“內(nèi)左右出現(xiàn)振幅不穩(wěn)定的概周期振動(dòng)；u=10.55時(shí)，x-y平面內(nèi)也開始失穩(wěn)，出現(xiàn)周期振動(dòng)，有體輸送管道系統(tǒng)3維顫振失穩(wěn)：w=13時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)均出現(xiàn)振幅不穩(wěn)定概周期振動(dòng)。REFERENCES吳愛祥，王洪江.金屬礦膏體充填理論與技術(shù)M.北京:科學(xué)出版社,2015.WUAi-xiang.WANGHong-jiang.Theoryandtechnologyofpastebackfillingonmetalore|M.Beijing:SciencePress.2015.1 吳愛祥，楊瑩，程海勇，陳順

9、滿.韓悅.中國膏體技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀與趨勢J.工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2018.40(5):517-525.WUAi-xiang,YANGYing,CHENHai-yong,CHENShun-man,HANYue.StatusandprospectsofpastetechnologyinChina|J|.ChineseJournalofEngineering,2018,40(5):517-525.2 NIQ.WANGY.TANGM,LUOY.YANH.WANGL.Nonlinearimpactingoscillationsofafluid-conveyingpipesubjectedtodistributed

10、motionconstraints.NonlinearDynamics,2015,81(1/2):893-906.|4GREGORYRW.PAIDOUSSISMP.Unstableoscillationoftubularcanlilcvcrsconveyingfluid.I.Theory|C/ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA.MathematicalandPhysicalSciences.1966.293(1435):512-527.(51GREGORYRW.PAIDOUSSISMP.Unstableoscillationoftubula

11、rcantileversconveyingfluid,II.ExperimentsfC/ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA.MathematicalandPhysicalSciences,1966,293(1435):52K-542.|6|PAIDOUSSISMP,ISSIDNT.DynamicstabilityofpipesconveyingfluidJ.JournalofSoundandVibration,1974.33(3):267-294.|7|PAIDOUSSISMP.SEMLERC.Nonlinearandchaoticosci

12、llationsofaconstrainedcantileveredpipeconveyingfluid:afullnonlinearanalysisJ|.NonlinearDynamics,1993,4(6):655-670.|8|徐鑒，王琳.輸液管動(dòng)力學(xué)分析和控制M.北京：科學(xué)出版社,2015.XUJian,WANGLin.DynamicsandcontroloffluidconveyingpipesystemM.Beijing:SciencePress,2015.19王乙坤，王琳.分布式運(yùn)動(dòng)約束下懸普輸液管的參數(shù)共振研究J.力學(xué)學(xué)報(bào),2019.51(2):558-568.WANGYi-k

13、ong.WANGLin.Parametricresonanceofacantileverpipelineconveyingfluidsubjectedtodistributedmotionconstraints.ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics,2019,51(2):558-568.101WADHAM-GAGNONM.PAlDOUSSISMP.SEMLERC.Dynamicsofcantileveredpipesconveyingfluid.Part1:Nonlinearequationsofthree-dimensionalmoti

14、on|J.JournalofFluidsandStructures,2(X)7,23(4):545-567.11GHAYESHMH.PAlDOUSSISMP.Three-dimensionaldynamicsofacantileveredpipeconveyingfluid,additionallysupportedbyanintermediatespringarray!J|.InternationalJournalofNon-LinearMechanics,2010,45(5):507-524.|I2|吳愛祥，程海勇，王貽明，王洪江，劉曉輝，李公成.考慮管壁滑移效應(yīng)看體管道的輸送阻力特性.中

15、國有色金屬學(xué)報(bào),2016,26(1):180-187.WUAi-xiang,CHENHai-yong,WANGYi-ming,WANGHong-jiang.LIUXiao-hui,LIGong-cheng.Transportresistancecharacteristicofpastepipelineconsideringeffectofwallslip|J.TheChineseJournalofNonfeuousMetals,2016,26(1):180-187.|13jWUA,RUANZ,WANGY,YINS,WANGS,WANGY,WANGJ.Simulationoflong-disla

16、nccpipelinetransportationpropertiesofwhole-tailingspastewithhighslimingJ.JournalofCentralSouthUniversity,2018,25(1):141-150.114顏丙恒，李翠平，吳愛祥，王洪江，侯賀子.有體料漿管道輸送中粗骨料顆粒運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析J.中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2019,50(1):172-179.YANBing-heng,LICui-ping,WUAi-xiang,WANGHong-jiang,HOUHc-zi.Analysisoflawofmovementofcoarseaggregat

17、eparticlesinpipelinetransportationofpastelJ.JournalofCentralSouthUniversity(ScienceandTechnology),2019,50(1):172-179.|I5|KHEIRIM.PAlDOUSSISMP,DELPOZOGC,AMABILIM.DynamicsofapipeconveyingfluidflexiblyrestrainedattheendsJ.JournalofFluidsandStructures.2014.49:360-385.|I6|KHEIRIM,PAlDOUSSISMP.Ontheuseofg

18、eneralizedHamilton'sprincipleforthederivationoftheequationofmotionofapipeconveyingfluidJ.JournalofFluidsandStructures,2014,50:18-24.Analysisofthree-dimensionalnonlinearvibrationofhorizontalcantileveredpipelineconveyingpasteatvariousflowvelocityLlRong1-2.LICui-ping1-2,YANBing-heng1,2(1.SchoolofCi

19、vilandResourceEngineering,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,BeijingIOOO83,China;2.SlateKeyLaboratoryofHigh-EfficientMiningandSafetyofMetalMines,MinistryofEducation,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China)Abstract:Intheprocessofpaste-filling,theviolentvibrationofthehorizonta

20、lpipelineconveyingpasteclosetopastefillingareatendstoaffecttheeffectoffillingandefficiencygreatly.Toinvestigatetheeffectofpasteaverageflowvelocityonvibration,theanalysismodelwasobtainedforthehorizontalpipelineconveyingpasteaccordingtotheactualconditiononsite.Basedonthis,thegoverningequationsfornonli

21、nearthree-dimensionaldynamicswerededuced.BytheGalcrkindiscretizationandtheRunge-Kuttaalgorithm,theequationsweresolvednumericallyandthedynamicresponsesoffrcc-cndwhichwerepresentedbytime(race,bifurcationdiagram,phasc-pluncdiagramandoscillaiiontrajectorieswereobtained.Thenumericalresultsshowthatthereis

22、acriticalflowvelocitywhichisdifferentintwodimensionswhennon-dimensionalvelocityofpasteu(increases,anduais10.55in心如is0.(X)lin72.Italsoshowsthatthepipeisstableasu(<ucr.Whenu(>Ua,thepipelosesstabilityviaflutter,meanwhile,theperiodandquasi-periodvibrationareobserved.Moreover,(heamplitudeofvibratio

23、nincreasesasu(increases.Keywords:pastetransportation;three-dimensionalvibrationofpipeline;nonlinear;averageflowvelocityFoundationitem:Project(2017YFC0602903)s叩portedbytheNationalKeyResearchandDevelopmentProgramofChinaReceiveddate:2019-09-02;Accepteddate:2019-12-25Correspondingauthor:LICui-ping;Tel:+

24、86-10-62334756;E-mail:cpli（編輯龍懷中）|17|PAlDOUSSISMP.Fluid-structureinteractions:Slenderstructuresandaxialflow(Vol.l)M.London:AcademicPress.2014.圖1管道布置圖Fig.1Layoutofhorizontalpipeconveyingpaste笫30卷第10期在輸流管道系統(tǒng)中，管內(nèi)流體是影響管道振動(dòng)的一個(gè)重要因素。膏體是多尺度散體材料與水復(fù)合而成的無泌水、牙音狀結(jié)構(gòu)流體，屬于非牛頓流體的一種類型I。有體料漿在管道輸送中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是國內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)問題，可以

25、采用2參數(shù)的Bingham流體模型模擬管道橫截面上膏體的速度分布規(guī)律。管內(nèi)流動(dòng)可分為柱塞流動(dòng)區(qū)與剪切流動(dòng)區(qū)兩個(gè)區(qū)域，柱塞流動(dòng)區(qū)域流速相等，而剪切流動(dòng)區(qū)域流速沿管徑方向逐漸降低f,J-,4k吳愛祥等【在此基礎(chǔ)上考慮避免滑移的影響，增加了滑移流動(dòng)區(qū)域，結(jié)果表明，當(dāng)滑移流動(dòng)區(qū)很小時(shí)，速度分布規(guī)律與文獻(xiàn)13-14得到的規(guī)律相一致。本文針對肓體自流輸送條件下的入采場水平輸送管路末端水平管道，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、數(shù)值求解，在求解結(jié)果的基礎(chǔ)上對管道自由末端進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，著重研究管內(nèi)膏體平均流速對管道振動(dòng)規(guī)律影響，探究輸送膏體管道在不同平均流速下的振動(dòng)狀態(tài)，為礦山膏體輸送振動(dòng)控制提供理論基礎(chǔ)。1數(shù)學(xué)建模11生瓢普

26、本輸送水平懸臂管道的布置情況如圖1所示。設(shè)此段輸送管道長為L,管道材質(zhì)為硬質(zhì)PVC,管道的內(nèi)徑為Din,外徑為Dout,管道的抗彎剛度為EI,密度為Qp,單位長度管道質(zhì)量為，：為靜態(tài)狀態(tài)下管道中的一點(diǎn)：P為管道運(yùn)動(dòng)后對應(yīng)的R)點(diǎn)?？紤]到現(xiàn)場管道的長徑比較大，管道在輸送中表現(xiàn)出的非線性動(dòng)力學(xué)行為更貼近于Euler-Bernoulli梁模型，且現(xiàn)場水平管道入口處與前段管道采用兩個(gè)半鋼圈制固，末端自由，在此種邊界條件下，在分析中將青體輸送水平管道看作Euler-Bernoulli懸臂梁模型處理，同時(shí)不考慮中間約束的影響，認(rèn)為管道在軸線上不訶壓縮。2493膏體是一種結(jié)構(gòu)流體皿叫其密度為單位長度流體質(zhì)量

27、為另外，考慮自流輸送的情形，不考慮此段管內(nèi)皆體速度波動(dòng)，不考慮管內(nèi)多相流、壁面滑移等復(fù)雜情況的影響?；诠艿垒斔臀锪掀胶庠?，輸送管道入口處和出口處膏體的運(yùn)動(dòng)速度是相同的，壓力對盲體的作用與流體和管壁的摩擦作用抵消，因此，在此段水平輸送膏體的管道振動(dòng)分析中，不考慮水平管道內(nèi)膏體速度的復(fù)雜狀態(tài)，假設(shè)膏體具有恒定流速U。除此之外，還有如卜假設(shè)：管道變形很小，但管道位移不受限制：忽略管道的旋轉(zhuǎn)慣性和剪切變形；莒體不可壓縮。管道的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以分為無變形的初始狀態(tài)和變形中的振動(dòng)狀態(tài)，為方便分析，在每一狀態(tài)上建立坐標(biāo)系，即固定坐標(biāo)系I(Eulerian坐標(biāo)系(x,y,z)、跟隨管道運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系II(Lag

28、rangian坐標(biāo)系(X,V,Z)和沿管道中心線自然坐標(biāo)系s,如圖1所示，管道位移在坐標(biāo)系II中可以表示為(“，v,w).這樣，管道的不可壓縮條件可表示為如下形式：(卻嘻N卻7或者從不可壓縮條件可以看到，3個(gè)方向的管道位移存在變換關(guān)系，利用式和中的變換關(guān)系，令管道的軸向位移隱式存在于控制方程中，則管道的三維振動(dòng)可以只分析火z方向上的振動(dòng)情況，在之后的分析中，令+fJrj)<!/'+r|_222II2Jz2,!)|jSf+4rfj+伊+孕卻if+爪功')+孕L(根2+冊+沂+債'X1Z-圖2管內(nèi)膏體橫截面流速分布圖Fig.2Distributionofvelocit

29、yofpasteflowaroundpipecross-section1.2控制方程相比于兩端釵支輸流管道，懸臀輸流管道系統(tǒng)是一個(gè)開放系統(tǒng)，整個(gè)系統(tǒng)存在能量的交換，所以不能直接應(yīng)用HALMITON原理【5。KHEIRI等四對這一問題進(jìn)行了詳細(xì)的回顧和分析，給出了適用于開放系統(tǒng)的改進(jìn)的HALMITON定理。在此基礎(chǔ)之上，WADHAM-GAGNON等的采用適用于開放系統(tǒng)的Hamilton原理導(dǎo)出了具有中間彈簧和末端重力的垂直輸流管道三維非線性振動(dòng)的控制方程，本文在其控制方程基礎(chǔ)上，考慮了無中間彈簧水平輸流管道，將重力做功路徑調(diào)整方向，消去中間彈簧和末端重力的影響，得到了描述膏體管道水平輸送3-D振

30、動(dòng)的控制方程。y方向上：rj""+2m'+u曲"+1lrfIfl.-i2一"(萬)d?'+f寸&L'l1221JzII22JU1+T1J1-7J("+H7Rz+f|_III22Iz1I22|j(%+4時(shí)+們+們22+3"+fj'"+'"2)+W2+方+廣+萬而-122121Jo1II222Z.2r*.，24!(71Hl+也+22)頓/+/+0(£)=0(5)Z方向上：匯"+在節(jié)2七*'+''+|2“l(fā)+時(shí)-+時(shí)'爵+

31、J22*"r()d/12J/22?J'J(I+麗;+沂+帶'攻奴+。(£)=。(6)式(5)和(6)中的無量綱量如下：rj=v/V,=w/L,x=s/L必=LJL,r=/£Z/(m+M)L4l/2,u(=UL(mf/El)"2,倪=m/(m+M),/7t=M/(m+M),/=g(m+M)1/El式中：i(/)和"2(/,r)分別為y、z方向上的無量綱位移；/為無量綱重力加速度；點(diǎn)和撤分別代表對無量綱時(shí)間r和無量綱曲線坐標(biāo)/的導(dǎo)數(shù)；身和煉分別代表百體和管道的單位氏度無量綱質(zhì)量；表示無量綱肓體流速；0(/)為四階精度項(xiàng)。13所跚物樣

32、拆11(6)中由管道中流體流速U變(換而來，在方程的推導(dǎo)過程中，認(rèn)為流速沿管道界面均勻分布，但對膏體來說，它作為一種非牛頓流體，存在黏性，在管道輸送中，速度沿截面不均勻。吳愛新筏稀勰珈散翠醐植弟零艘翩瓣m切流動(dòng)區(qū)被稱為主流區(qū)，如圖2所小。由圖2可以看到，在柱塞流動(dòng)區(qū)內(nèi)，流速不變，在剪切流動(dòng)區(qū)內(nèi)流速隨管道半徑方向減小，在滑動(dòng)區(qū)內(nèi)流速快速減小，速度梯度極大。描述管道振動(dòng)的控制方程中，U值應(yīng)該為平均流速，考慮到膏體速度在第短博摩要擊乍拘勻分布，忽略壁面滑移區(qū)，則平均式中：仁為柱塞區(qū)膏體流速；知為柱塞區(qū)寬度；Din為管道內(nèi)徑。2方程求解2.1方程離散育體輸送管道是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，具有無限自由度，對控制方

33、程進(jìn)行伽遼金離散，將其轉(zhuǎn)換為有限自由度系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解。在求解中，選擇N=2即截?cái)嗄B(tài)為2階，理論上，N越大，求解所得的解越精確：但個(gè)相對精確的結(jié)果I別。計(jì)算過程中，無量綱位移可以表示為有限項(xiàng)無量綱懸臂梁形函數(shù)和廣義響應(yīng)函數(shù)乘積之和，如："1（"）=力,（Z）Pr3）r=l2（，"）=£&（7以（?。?）式中：如Jlo（z）為懸臂梁的無量綱形函數(shù)；P,0）、%.（）為無量綱響應(yīng)函數(shù)：N為截?cái)嚯A數(shù)，文中選N=2°其中，hr（X）和c,（z）需滿足懸臂梁的邊界條件，且兩者描述的都是橫向位移，所以兩者是相同的，則：如(/)=(，)=cosh

34、(/2r)-cos(/2r)-sinh(A,.)-sin(2r)cos(A)4-cosh(2)*(sinh(/2)-sin(/2)式中：4為特征根，滿足coshAcosA=-l，貝ijrrr2i=1.8751,22=4.69409。將771（/）、帶入無量綱化方程中對其進(jìn)行離散，利用特征函數(shù)的正交性，分別左乘而（）和&（%）,然后在0,1上積分，這樣y方向的方程如下：mtjPj+cijDj+kgPj+BjjkiPjPkPi+DwpjPPi+EijkiPjDkDCFjjkiPjPkh+HijkiPjqe+L典PjqMh+MgP血S+竭虹血+G=0（10）z方向的方程為灼+勺們+m+Bgc

35、gch+Q汨幻帆功+鳥即幻久S+Hjj虹qjPkPi+LjkqjPk機(jī)+MgqjPkPi+P山=。（11）式（10）和（11）中各項(xiàng)系數(shù)是一致的，其中G,是重力項(xiàng)，只在)，方向存在，計(jì)算方式如下：m=.hbd/»c=2'bb'd>yJoiJUf處JoiJk=隨'"'奴+“2"d/,.f.ff.VJo1JfJo1JBijkl=峋2J3W"-hj匚碇阪)切+£)".也"+4小妒+外%")d/，-勺3位)d,，(b'Xb'b(1-b'zbb>JJJo*c

36、'c"<x)d/+Dijki=2氣EijklHijklF=b-眼Jo*iJok1=u2*/?(b'c'cu-bnfJoijjtfmr9ftftttf，9HttH，Jo切飽a。+3bjCkC+bjCkq+bjCkq)d/,九用=2f楊L切飽以qQ.Qdz)dZ,G=ybd%,'"'i,/,iM=N=b(h'ccd/-bxc'c'd/d/)d/叭1ijklJ。ijj()kiJJok12.2求解前的分析在數(shù)值計(jì)算中，選取的無量綱量的值為7=0.1、A=0.2。本文采用4階Runge-Kutta法對離散后得到的常

37、微分方程組進(jìn)行求解，得到方向和方向上的廣義位移P*）和4（），管道在距離首端Z處的位移rrs值l（Z.、/）=S3s）Pl3）+b2（Zs）P2（），2（乙，?。?G（Zs）0i（r）+c2（/s）02（丁）o在常微分方程組求解中,為了得到最終的數(shù)值結(jié)果，初始條件必須給定，否則無法進(jìn)行求解，而11在三維管道振動(dòng)分析中，若只給定一個(gè)方向上的初始值，求解得到的結(jié)果僅在這一方向上運(yùn)動(dòng)，呈現(xiàn)二維平面振動(dòng)特性。初始條件借鑒GHAYESH等對初始條件的處理方式，令/?（0為A-'d）的任意倍數(shù)，考慮到現(xiàn)場的實(shí)際情況，方I12向的初始位移取值取P1I0的百分之一，則Pl0=-0.04,P20=0,冰

38、0=0,P2O=0,0J=0.0004,"°=°，礦0=0,礦0=0。首先對1方向上重力的影響做分析，重力方向?yàn)椋?，的?fù)方向且不變，分別求解有無重力情況下管道振動(dòng)情況并進(jìn)行對比。從圖3可以看出，時(shí)間歷程圖的變化規(guī)律相似，整個(gè)系統(tǒng)發(fā)展相似，但平衡位置由0偏移到了7/1=-0.025左右，PAIDOUSSIS1171也指出，r=o和/ho下管道的基本動(dòng)力學(xué)行為是相似的。為r更清晰地描述管道的振動(dòng)狀態(tài)在速度變化下的規(guī)律，消除由無量綱重力太大而導(dǎo)致的管道屈曲影響數(shù)值解的穩(wěn)定性，分析中先不考慮重力的影響，主要探究無量綱速度變化對管道動(dòng)力學(xué)行為的影響。051015202530

39、T圖3有無重力情況下“戶0.5時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.3Timetracediagramswith"f=0.5inpresenceorabsenceofgravity:(a)y=0;(b)y=i3求解結(jié)果與分析無量綱控制方程采取截?cái)嚯A數(shù)片2進(jìn)行伽江金離散后，偏微分方程被化為4個(gè)描述輸送音體管道系統(tǒng)常微分方程，不考慮重力的影響，對其進(jìn)行數(shù)值求解，求解的結(jié)果采用時(shí)間歷程圖、相平面圖、運(yùn)動(dòng)軌跡圖和分岔圖來呈現(xiàn)。其中，時(shí)間歷程圖能完美地表現(xiàn)符體輸送管道在某一點(diǎn)的振動(dòng)幅值隨時(shí)間的變化情況，但其無法清晰描述管道振動(dòng)速度和管道位移的相關(guān)關(guān)系；相平面圖以位移為橫坐標(biāo)、速度為縱坐標(biāo)，表達(dá)管道自由末端位移

40、和速度隨時(shí)間的變化，箭頭的指向系統(tǒng)整體發(fā)展趨勢的方向：運(yùn)動(dòng)軌跡圖以兩個(gè)方向上的位移分別作為坐標(biāo)軸，顯示了管道自由端的運(yùn)動(dòng)軌跡；分岔圖可以從整體上給出管道自由末端的位移隨控制參數(shù)無量綱流速w的變化規(guī)律，但并不能清晰的描述某一特定點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。文中的圖像如未特別標(biāo)明,皆表示的是管道自由端處的振動(dòng)響應(yīng)圖像。圖4以管內(nèi)無量綱流速“f為控制參數(shù)的管道自由端位移分岔圖Fig.4Bifurcationdiagramsoffree-enddisplacementusingdimensionalvelocityinpipeascontrolparameter文中主要研究無量綱速度016以內(nèi)、無量綱時(shí)間0200之

41、內(nèi)的管道自由末端位移響應(yīng)情況，管道整體的運(yùn)動(dòng)情況在分岔圖中給出。分岔圖中管道自由端振動(dòng)的位移在管道振動(dòng)相對穩(wěn)定時(shí)取得，忽略初始段不穩(wěn)定的振動(dòng)，當(dāng)管道末端的速度為0時(shí)，即4（1.）=0和力（1擇）=0時(shí)，記錄此時(shí)的管道末端的位彩值，其可畝下式計(jì)算得出：功（1,丁）=力Pi（T）+P2（r），S（l,r）=C（l”i（r）+C2（10（f）,并以點(diǎn)的形式繪制在以速度為橫坐標(biāo)、末端位移為縱坐標(biāo)的圖中得到分岔圖如圖4所示。圖4反映了管道自由端在勺、2方向管道自由端位移響應(yīng)隨管內(nèi)骨體無量綱平均流速M(fèi)的變化規(guī)律。懸臂管輸流管系統(tǒng)是一非保守系統(tǒng)，其失穩(wěn)是由Hopf分岔引起的顫振失穩(wěn)。由圖4可以看到，言體輸送

42、管系統(tǒng)在“r增大的過程中存在一個(gè)臨界速度如當(dāng)/時(shí)，管道末端振幅隨時(shí)間衰減，的越大，衰減速度越快，位移最終為0,整個(gè)系統(tǒng)最后趨于穩(wěn)定：當(dāng)管內(nèi)流速超過臨界流速后，管道末端振幅先減小，然后開始增大到一個(gè)特定值，開始周期振動(dòng)，這代表著發(fā)生了顫振失穩(wěn)，這一點(diǎn)稱為Hopf分岔點(diǎn)。從圖4中可以看到，方向上的uCT*10.55o相比于外方向,m方向上管道發(fā)生分岔現(xiàn)象很早，可以看到在0.005左右、T=6500左右時(shí)，管道就開始出現(xiàn)的多波峰概周期振動(dòng)，如圖5所示。另外，相比于方向上的振動(dòng)變化，從圖4右邊小框圖可以看到，仰在0.005-1.8區(qū)間內(nèi)位移點(diǎn)十分密集，此時(shí)管道在欄方向上展現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。Gu

43、EQ3-ds5l4-0.0050.00500200040006000800010000r圖5如=0.005時(shí)2方向管道末端振動(dòng)狀態(tài)圖Fig.5Vibrationdiagramsoffree-endatvariousfbrut=0.005inz/2direction7/1方向上平面)需要特別分析的速度范圍為10-13區(qū)間內(nèi)，0方向上(x-z平面)為1.5-3.0區(qū)間內(nèi)，兩個(gè)方向上分析的重點(diǎn)并不在一個(gè)速度區(qū)域內(nèi)，為了更清晰地描述管道的動(dòng)力學(xué)行為，需對管道的三維振動(dòng)狀態(tài)分別從兩個(gè)方向上的進(jìn)行分析。3.1萬向上CLy平面)振動(dòng)分析在速度達(dá)到分岔點(diǎn)之前，即uf如時(shí)，在戶0.0011。區(qū)間內(nèi),對比圖3(a

44、)和6(a)發(fā)現(xiàn),“戶0.5、t=I4時(shí)，管道在功方向上的位移為0,但在s=4、ra2.5左右時(shí)管道位移己經(jīng)為0。這一階段中，流速的增大引起的音體輸送管道系統(tǒng)阻尼的增大超過此時(shí)系統(tǒng)剛度減小的影響，整體上，管道在方向振動(dòng)衰減越來越快。在圖6(b)中可以看到，當(dāng)s=9時(shí)，小020-0.08-0.06-0.04-0.020"Displacement圖6不同流速下方向管道末端振動(dòng)狀態(tài)圖Fig.6Vibrationdiagramsoffree-endatvariousflowvelocityinijdirection:(a)-(b)Timehistoryatn(=4andu(=9;(c)Pha

45、seportraitatut=4O.3O.2O.I范圍內(nèi)，管道穩(wěn)定之前又會(huì)出現(xiàn)一段不規(guī)律振動(dòng)，稱為振動(dòng)I。這段振動(dòng)在S繼續(xù)增大時(shí)仍然存在，形態(tài)基本相似，且這段波動(dòng)的最大振幅增大，但并沒有對此方向上之后的發(fā)展有影響。振動(dòng)I的發(fā)生在編=4時(shí)就開始顯現(xiàn)，從其相圖6(c)中可以看到，小=0.005時(shí)，管道的速度會(huì)發(fā)生一個(gè)突變，對應(yīng)圖6(a)中r«0.3時(shí)的一個(gè)階梯上升，這說明r振動(dòng)【的發(fā)生。管內(nèi)流速M(fèi)F10時(shí)，管道在振動(dòng)I之后不會(huì)像圖6(b)那樣快速穩(wěn)定，而是呈現(xiàn)開始不斷衰減的振動(dòng)形式(見圖7(a),系統(tǒng)最終會(huì)穩(wěn)定下來，11隨著速度的增大，系統(tǒng)回到穩(wěn)定所需的時(shí)間也越來越多。當(dāng)/f=10.55

46、左右時(shí)，由圖7(b)中可以看出，經(jīng)歷振動(dòng)I后，在r-1.2左右管道開始小幅周期振動(dòng)。從圖7(c)和7(d)可以清晰地看到，振動(dòng)I后管道末端存在振幅先增大然后趨于穩(wěn)定，旦最終呈現(xiàn)極限環(huán)形周期振動(dòng)。隨著流速的增大，=13時(shí)，r=90-100內(nèi)，其相圖7(f)相比圖7(e)環(huán)面增大，說明此時(shí)發(fā)生了振幅時(shí)變的概周期振動(dòng)。當(dāng)w在1316范圍內(nèi)，結(jié)合圖4發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)的振幅隨速度增大而增大，但并沒有觀察到混沌現(xiàn)象。3.2方向上Clz平面)振動(dòng)分析72方向上管道的振動(dòng)狀態(tài)相對比較復(fù)雜，臨界速度很?。撼^臨界速度后，戶0.005時(shí)，管道在發(fā)生多波峰概周期振動(dòng)之前會(huì)先發(fā)生一段與振動(dòng)I相似的不規(guī)律運(yùn)動(dòng)，稱為振動(dòng)II,

47、如圖5中r=0-4000內(nèi)的振動(dòng)。cMUVW-dssI=2u4>w-ds-at060402A1UO.UA'CQE8B一dssa't020406-O.-O.-O.o.o.o.o.o.o.-0.06-0.04-0.0200.020.04-Displacement.06.04.020.02.04,06-0.15-0.10-0.0500.050.100.15"Displacement圖7不同流速下方向管道末端振動(dòng)狀態(tài)圖Fig.7Vibrationdiagramsoffree-endatvariousflowvelocityinrjdirection:(a)-(d)Timehistoryat“(=10,“(=10.55(7=0-10),/t=10.55(r=1.4-10)andu(=10.55(r=90-100);(e)-Phaseportraitsat*<=10.55andz/f=l3(r=90-100)隨著速度增大，達(dá)到周期振動(dòng)的時(shí)間減少，振動(dòng)的頻率明顯加快。當(dāng)婦.59時(shí)，對比圖7(b)和8