第1章 §1 1.2 類比推理

1、.1.2類比推理1.通過詳細實例理解類比推理的意義.重點2.會用類比推理對詳細問題作出判斷.難點 根底·初探教材整理1類比推理閱讀教材P5“1.2類比推理至P6前16行，完成以下問題.由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此根底上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理.類比推理是兩類事物特征之間的推理.類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等的性質，可推知正四面體的以下性質，你認為比較恰當?shù)氖莀填序號.各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；各個面都是全等的正三角形，

2、同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等.【解析】正四面體的面或棱可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角或共頂點的兩棱的夾角可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故都對.【答案】教材整理2合情推理閱讀教材P6的最后4個自然段，完成以下問題.合情推理是根據(jù)實驗和理論的結果、個人的經(jīng)歷和直覺、已有的事實和正確的結論定義、公理、定理等，推測出某些結果的推理方式.合情推理的結果不一定正確.以下說法正確的選項是A.由合情推理得出的結論一定是正確的B.合情推理必須有前提有結論C.合情推理不能猜測D.合情推理得出的結論不能判斷正誤【解析】根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結論.【答案】B質疑·手

3、記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型類比推理在數(shù)列中的應用在公比為4的等比數(shù)列bn中，假設Tn是數(shù)列bn的前n項積，那么有，也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結論，相應地在公差為3的等差數(shù)列an中，假設Sn是an的前n項和.1寫出相應的結論，判斷該結論是否正確，并加以證明；2寫出一個更為一般的結論不必證明.【精彩點撥】結合等比數(shù)列的特征可類比等差數(shù)列每隔10項和的有關性質.【自主解答】1數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結論是正確的.證明如下：等差數(shù)列an的公差d3，S30S

4、20S20S10a21a22a30a11a12a20100d300，同理可得：S40S30S30S20300，所以數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30是等差數(shù)列，且公差為300.2對于任意kN，都有數(shù)列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.1.此題是等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的類比推理，在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類比特點.2.類比推理的思維過程觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新的結論.即在兩類不同事物之間進展比照，找出假設干一樣或相似之處后，推測這兩類事物在其他方面的一樣或相似之處.再練一題1.設等差數(shù)列an的前n項

5、和為Sn，那么S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列.類比以上結論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，那么T4，_，_，成等比數(shù)列. 【導學號：94210005】【解析】等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結論為：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，那么T4，成等比數(shù)列.【答案】類比推理在幾何中的應用如圖1­1­10所示，在平面上，設ha，hb，hc分別是ABC三條邊上的高，P為ABC內任意一點，P到相應三邊的間隔 分別為pa，pb，pc，可以得到結論1.圖1­1­10證明此結論，通過類比寫出在空間中的類似結論，并加以證

6、明.【精彩點撥】三角形類比四面體，三角形的邊類比四面體的面，三角形邊上的高類比四面體以某一面為底面的高.【自主解答】，同理，.SPBCSPACSPABSABC，1.類比上述結論得出以下結論：如下圖，在四面體ABCD中，設ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個頂點到對面的間隔 ，P為該四面體內任意一點，P到相應四個面的間隔 分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結論1.證明如下：，同理，.VP­BCDVP­ACDVP­ABDVP­ABCVA­BCD，1.1.一般地，平面圖形與空間圖形類比方下：平面圖形點線邊長面積線線角三角形空間圖形線面面積體

7、積二面角四面體2.類比推理的一般步驟1找出兩類事物之間的相似性或一致性；2用一類事物的性質推測另一類事物的性質，得出一個明確的結論.再練一題2.在上例中，假設ABC的邊長分別為a，b，c，其對角分別為A，B，C，那么由ab·cos Cc·cos B可類比四面體的什么性質？【解】在如下圖的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小.猜測SS1·cos S2·cos S3·cos .探究共研型類比推理在其他問題中的應用探究1魯班創(chuàng)造鋸子的思維過程

8、為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子能“鋸開木材，它們在功能上是類似的.因此，它們在形狀上也應該類似，“鋸子應該是齒形的.你認為該過程為歸納推理還是類比推理？【提示】類比推理.探究2以下過程可以求123n的和.因為n12n22n1，n2n122n11，22122×11，有n121212nn，所以123n.類比以上過程試求122232n2的和.【提示】因為n13n33n23n1，n3n133n123n11，23133×123×11，有n13131222n23123nn，所以1222n2.橢圓具有性質：假設M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當

9、直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值，試寫出雙曲線1a>0，b>0具有類似特征的性質，并加以證明.【精彩點撥】【自主解答】類似性質：假設M，N為雙曲線1a>0，b>0上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值.證明如下：設點M，P的坐標分別為m，n，x，y，那么Nm，n.因為點Mm，n是雙曲線上的點，所以n2m2b2.同理y2x2b2，那么kPM·kPN··定值.1.兩類事物能進展類比推理的

10、關鍵是兩類對象在某些方面具備相似特征.2.進展類比推理時，首先，找出兩類對象之間可以確切表達的相似特征.然后，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得到一個猜測.再練一題3.如圖1­1­11所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓.類比“黃金橢圓，可推算出“黃金雙曲線的離心率e等于_.圖1­1­11【解析】如下圖，設雙曲線方程為1a>0，b>0，那么Fc，0，B0，b，Aa，0，所以c，b，a，b.又因為，所以·b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e舍去.【答案】

11、構建·體系1.下面使用類比推理恰當?shù)氖茿.“假設a·3b·3，那么ab類比推出“假設a·0b·0，那么abB.“abcacbc類比推出“a·bcac·bcC.“abcacbc類比推出“c0D.“abnanbn類比推出“abnanbn【解析】由實數(shù)運算的知識易得C項正確.【答案】C2.扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可知扇形面積公式為【導學號：94210006】A.B.C.D.無法確定【解析】扇形的弧長對應三角形的底，扇形的半徑對應三角形的高，因此可得扇形面積公式S.【答案】C3.在平面上，假設兩個正三角形的

12、邊長的比為12，那么它們的面積比為14，類似地，在空間中，假設兩個正四面體的棱長的比為12，那么它們的體積比為_.【解析】由平面和空間的知識，可知面積之比與邊長之比成平方關系，在空間中體積之比與棱長之比成立方關系，故假設兩個正四面體的棱長的比為12，那么它們的體積之比為18.【答案】184.在計算“1×22×3nn1時，有如下方法：先改寫第k項：kk1kk1k2k1kk1，由此得1×21×2×30×1×2，2×32×3×41×2×3，nn1nn1n2n1nn1，相加得1

13、15;22×3nn1n1n2.類比上述方法，請你計算“1×32×4nn2，其結果寫成關于n的一次因式的積的形式為_.【解析】1×3×1×2×90×1×7，2×4×2×3×111×2×9，3×5×3×4×132×3×11，nn2nn12n7n1n2n5，各式相加，得1×32×43×5nn2nn12n7.【答案】nn12n75.如圖1­1­121，在三角形ABC中，ABAC，假設ADBC，那么AB2BD·BC.假設類比該命題，如圖1­1­122，三棱錐A­BCD中，AD平面ABC，假設A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，那么可以得到什么命題？命題是否是真命題，并加以證明.12圖1&