第1章 §1 1.2 類(lèi)比推理

1、.1.2類(lèi)比推理1.通過(guò)詳細(xì)實(shí)例理解類(lèi)比推理的意義.重點(diǎn)2.會(huì)用類(lèi)比推理對(duì)詳細(xì)問(wèn)題作出判斷.難點(diǎn) 根底·初探教材整理1類(lèi)比推理閱讀教材P5“1.2類(lèi)比推理至P6前16行，完成以下問(wèn)題.由于兩類(lèi)不同對(duì)象具有某些類(lèi)似的特征，在此根底上，根據(jù)一類(lèi)對(duì)象的其他特征，推斷另一類(lèi)對(duì)象也具有類(lèi)似的其他特征，我們把這種推理過(guò)程稱(chēng)為類(lèi)比推理.類(lèi)比推理是兩類(lèi)事物特征之間的推理.類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等的性質(zhì)，可推知正四面體的以下性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀填序號(hào).各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，

2、同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等.【解析】正四面體的面或棱可與正三角形的邊類(lèi)比，正四面體的相鄰兩面成的二面角或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角可與正三角形相鄰兩邊的夾角類(lèi)比，故都對(duì).【答案】教材整理2合情推理閱讀教材P6的最后4個(gè)自然段，完成以下問(wèn)題.合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和理論的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)歷和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論定義、公理、定理等，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式.合情推理的結(jié)果不一定正確.以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是A.由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B.合情推理必須有前提有結(jié)論C.合情推理不能猜測(cè)D.合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤【解析】根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論.【答案】B質(zhì)疑·手

3、記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型類(lèi)比推理在數(shù)列中的應(yīng)用在公比為4的等比數(shù)列bn中，假設(shè)Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，那么有，也成等比數(shù)列，且公比為4100；類(lèi)比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列an中，假設(shè)Sn是an的前n項(xiàng)和.1寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；2寫(xiě)出一個(gè)更為一般的結(jié)論不必證明.【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合等比數(shù)列的特征可類(lèi)比等差數(shù)列每隔10項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).【自主解答】1數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的.證明如下：等差數(shù)列an的公差d3，S30S

4、20S20S10a21a22a30a11a12a20100d300，同理可得：S40S30S30S20300，所以數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30是等差數(shù)列，且公差為300.2對(duì)于任意kN，都有數(shù)列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.1.此題是等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的類(lèi)比推理，在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類(lèi)比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類(lèi)比特點(diǎn).2.類(lèi)比推理的思維過(guò)程觀察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜測(cè)新的結(jié)論.即在兩類(lèi)不同事物之間進(jìn)展比照，找出假設(shè)干一樣或相似之處后，推測(cè)這兩類(lèi)事物在其他方面的一樣或相似之處.再練一題1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)

5、和為Sn，那么S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n，那么T4，_，_，成等比數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210005】【解析】等差數(shù)列類(lèi)比于等比數(shù)列時(shí)，和類(lèi)比于積，減法類(lèi)比于除法，可得類(lèi)比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n，那么T4，成等比數(shù)列.【答案】類(lèi)比推理在幾何中的應(yīng)用如圖1­1­10所示，在平面上，設(shè)ha，hb，hc分別是ABC三條邊上的高，P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的間隔 分別為pa，pb，pc，可以得到結(jié)論1.圖1­1­10證明此結(jié)論，通過(guò)類(lèi)比寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論，并加以證

6、明.【精彩點(diǎn)撥】三角形類(lèi)比四面體，三角形的邊類(lèi)比四面體的面，三角形邊上的高類(lèi)比四面體以某一面為底面的高.【自主解答】，同理，.SPBCSPACSPABSABC，1.類(lèi)比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如下圖，在四面體ABCD中，設(shè)ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的間隔 ，P為該四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的間隔 分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結(jié)論1.證明如下：，同理，.VP­BCDVP­ACDVP­ABDVP­ABCVA­BCD，1.1.一般地，平面圖形與空間圖形類(lèi)比方下：平面圖形點(diǎn)線邊長(zhǎng)面積線線角三角形空間圖形線面面積體

7、積二面角四面體2.類(lèi)比推理的一般步驟1找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；2用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論.再練一題2.在上例中，假設(shè)ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其對(duì)角分別為A，B，C，那么由ab·cos Cc·cos B可類(lèi)比四面體的什么性質(zhì)？【解】在如下圖的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小.猜測(cè)SS1·cos S2·cos S3·cos .探究共研型類(lèi)比推理在其他問(wèn)題中的應(yīng)用探究1魯班創(chuàng)造鋸子的思維過(guò)程

8、為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子能“鋸開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷?lèi)似的.因此，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類(lèi)似，“鋸子應(yīng)該是齒形的.你認(rèn)為該過(guò)程為歸納推理還是類(lèi)比推理？【提示】類(lèi)比推理.探究2以下過(guò)程可以求123n的和.因?yàn)閚12n22n1，n2n122n11，22122×11，有n121212nn，所以123n.類(lèi)比以上過(guò)程試求122232n2的和.【提示】因?yàn)閚13n33n23n1，n3n133n123n11，23133×123×11，有n13131222n23123nn，所以1222n2.橢圓具有性質(zhì)：假設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)

9、直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值，試寫(xiě)出雙曲線1a>0，b>0具有類(lèi)似特征的性質(zhì)，并加以證明.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】類(lèi)似性質(zhì)：假設(shè)M，N為雙曲線1a>0，b>0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為m，n，x，y，那么Nm，n.因?yàn)辄c(diǎn)Mm，n是雙曲線上的點(diǎn)，所以n2m2b2.同理y2x2b2，那么kPM·kPN··定值.1.兩類(lèi)事物能進(jìn)展類(lèi)比推理的

10、關(guān)鍵是兩類(lèi)對(duì)象在某些方面具備相似特征.2.進(jìn)展類(lèi)比推理時(shí)，首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表達(dá)的相似特征.然后，用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得到一個(gè)猜測(cè).再練一題3.如圖1­1­11所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓.類(lèi)比“黃金橢圓，可推算出“黃金雙曲線的離心率e等于_.圖1­1­11【解析】如下圖，設(shè)雙曲線方程為1a>0，b>0，那么Fc，0，B0，b，Aa，0，所以c，b，a，b.又因?yàn)?，所?#183;b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e舍去.【答案】

11、構(gòu)建·體系1.下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖茿.“假設(shè)a·3b·3，那么ab類(lèi)比推出“假設(shè)a·0b·0，那么abB.“abcacbc類(lèi)比推出“a·bcac·bcC.“abcacbc類(lèi)比推出“c0D.“abnanbn類(lèi)比推出“abnanbn【解析】由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確.【答案】C2.扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類(lèi)比三角形的面積公式S，可知扇形面積公式為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210006】A.B.C.D.無(wú)法確定【解析】扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S.【答案】C3.在平面上，假設(shè)兩個(gè)正三角形的

12、邊長(zhǎng)的比為12，那么它們的面積比為14，類(lèi)似地，在空間中，假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，那么它們的體積比為_(kāi).【解析】由平面和空間的知識(shí)，可知面積之比與邊長(zhǎng)之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長(zhǎng)之比成立方關(guān)系，故假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，那么它們的體積之比為18.【答案】184.在計(jì)算“1×22×3nn1時(shí)，有如下方法：先改寫(xiě)第k項(xiàng)：kk1kk1k2k1kk1，由此得1×21×2×30×1×2，2×32×3×41×2×3，nn1nn1n2n1nn1，相加得1

13、15;22×3nn1n1n2.類(lèi)比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×32×4nn2，其結(jié)果寫(xiě)成關(guān)于n的一次因式的積的形式為_(kāi).【解析】1×3×1×2×90×1×7，2×4×2×3×111×2×9，3×5×3×4×132×3×11，nn2nn12n7n1n2n5，各式相加，得1×32×43×5nn2nn12n7.【答案】nn12n75.如圖1­1­121，在三角形ABC中，ABAC，假設(shè)ADBC，那么AB2BD·BC.假設(shè)類(lèi)比該命題，如圖1­1­122，三棱錐A­BCD中，AD平面ABC，假設(shè)A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，那么可以得到什么命題？命題是否是真命題，并加以證明.12圖1&