橢圓的簡單的幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、橢圓的簡單的幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)北師大大興附中數(shù)學(xué)組 韓穎1、 指導(dǎo)思想與理論依據(jù):以“培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力” , “倡導(dǎo)自主探索,動(dòng)手實(shí)踐,合作交流,教 育教學(xué)理念” ,采用“以學(xué)生為主體,以問題為中心,以活動(dòng)為基礎(chǔ),以培養(yǎng)學(xué)生提出問 題分析問題和解決問題能力”的合自主探究、體驗(yàn)式教學(xué)模式,通過創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知 規(guī)律的問題情景,挖掘?qū)W生內(nèi)在的研究問題的巨大潛能,使學(xué)生在做的過程中學(xué)習(xí),在 學(xué)的過程中思考,親身體會(huì)創(chuàng)造過程,充分展示思維差異,培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力, 邏輯推理能力,提高學(xué)生的思維層次,掌握獲取知識(shí)的方法和途徑,真正體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí) 知識(shí)過程中的主體地位。讓教師落實(shí):授人于魚不如

2、授人于漁。讓學(xué)生做到:臨淵羨魚 不如退而結(jié)網(wǎng)。2、教學(xué)背景分析:學(xué)習(xí)內(nèi)容分析:利用已知條件求曲線的方程,利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務(wù), 利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說是第一次,傳統(tǒng)的教學(xué)過程往往是利用多媒體課件展示 橢圓曲線,讓學(xué)生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì),然后再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行證明,體現(xiàn) 從感性到理性符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律等,也可以說是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路,但 未能很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì)。因此,本人在教學(xué)一開始的問題設(shè)置就 體現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識(shí), 在三個(gè)性質(zhì)的研究中一直是用方程的結(jié)構(gòu)特征來得到性質(zhì), 真正培養(yǎng)學(xué)生如何利用方程研究曲

3、線性質(zhì)的能力。同時(shí),根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)的課時(shí)安 排,本節(jié)課不研究橢圓的離心率,保證了學(xué)生的研究時(shí)間;與直線方程和圓方程的類比能夠 使得學(xué)生掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),學(xué)生在自主探究過程中能夠聯(lián)想得到三角換元,說明該 種教學(xué)方法還是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的,同時(shí)體現(xiàn)了教材的本質(zhì)。學(xué)生情況分析:本課的學(xué)習(xí)對(duì)象為高二年文科班的學(xué)生,他們經(jīng)過近一年多的高中學(xué)習(xí),已經(jīng)有一定的 學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和分析問題、解決問題的能力。作為高二年文科班的學(xué)生普遍存在著數(shù)學(xué)科基礎(chǔ)知 識(shí)較為薄弱,對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的困難。在課堂上的主體作用的體現(xiàn)不是太充分,但是他們 能意識(shí)到自己的不足,對(duì)數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)興趣高,積極性強(qiáng)。高二年文科班的學(xué)生

4、在學(xué)習(xí)交往 上表現(xiàn)為個(gè)別化學(xué)習(xí),課堂上較為依賴?yán)蠋煹囊龑?dǎo)。學(xué)生的群體性小組交流能力與協(xié)同討論 學(xué)習(xí)的能力不強(qiáng),對(duì)學(xué)習(xí)資源和知識(shí)信息的獲取、加工、處理和綜合的能力較低。教學(xué)方式:啟發(fā)式教學(xué),自主探究式教學(xué)手段的說明:通過創(chuàng)設(shè)問題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過程來激勵(lì)學(xué)生的探 索勇氣。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和學(xué)生的情感發(fā)展來調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度與層次,逐步形 成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。3、教學(xué)目標(biāo):(1 知識(shí)與技能:掌握橢圓的范圍、 對(duì)稱性、 頂點(diǎn), 掌握 cba , 幾何意義以及 cba , 的相互關(guān) 系,初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。(2 過程與方法:利用曲線的方程來研究曲線性

5、質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次, 通 過初步嘗試,使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程,不僅注意對(duì)研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用,更重 視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng);以自主探究為主,通過體驗(yàn)數(shù) 學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。(3 情感、 態(tài)度與價(jià)值觀:通過自主探究、 交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛, 從中體味 合作與成功的快樂,由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣;通過多媒體展示,讓 學(xué)生體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美,培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品 質(zhì)。內(nèi)容安排:本節(jié)課分成四個(gè)主要部分:創(chuàng)設(shè)問題情景學(xué)生自主探究師生共同辨析

6、研 討歸納總結(jié) -鞏固練習(xí)組成的探究式學(xué)習(xí)方式, 并在教學(xué)過程中根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)地調(diào) 整教學(xué)方案。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):重點(diǎn):利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì);關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn),如思維角度和思維方法。難點(diǎn):從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的幾何性質(zhì)。疑點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì),與坐標(biāo)系選擇無關(guān),即不隨坐標(biāo)系的改變而改變. (解決辦法:利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說明. 教學(xué)過程:創(chuàng)設(shè)情境:問題 :我們前面研究過圓, 根據(jù)圓的方程中變量 x, y之間的關(guān)系, 在不畫出圖像之前我們能否 得到圓的一些相應(yīng)幾何性質(zhì)呢?設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生體會(huì)曲線

7、的性質(zhì)不是只有作出函數(shù)圖像才能得到的,而是曲線自身具有的 性質(zhì), 從曲線的方程中我們就可以得到, 讓學(xué)生體會(huì)解析幾何的思想, 把握解析幾何的本質(zhì)。 教師點(diǎn)評(píng):(1能夠抓住曲線的幾何特征;范圍、對(duì)稱性、關(guān)鍵點(diǎn)做圖;(2研究問題的方向發(fā)生了變化,利用方程研究曲線的幾何性質(zhì);(3 本節(jié)課我們利用橢圓更一般的方程來研究橢圓的幾何性質(zhì), 體現(xiàn)特殊到一般的思想方法。 教師板書:橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、 引導(dǎo)評(píng)價(jià),引入課題:【問題 1】自主探究:結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),利用方程研究橢圓橢圓方程中變量 x,y 的取值范圍; (實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過程,激勵(lì)學(xué)生開拓思維學(xué)生活動(dòng)過程:情形 1:12222=+b

8、ya x 變形為:a x a a x a x a xb y-=22222201,這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下 x 的范圍:a x a -同理,我們也可以得到 y 的范圍:b y b -情形 2:可以把12222=+b y a x 看成 1cos sin 22=+,利用三角函數(shù)的有界性來考慮 b y a x , 的范 圍;情形 3:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 1,那么這兩個(gè)數(shù)都不大于 1,所以122a x ,同理可以得到 y 的范圍設(shè)計(jì)意圖:(1 傳統(tǒng)的研究橢圓的幾何性質(zhì)往往是利用圖形直觀得到性質(zhì), 然后利用方程進(jìn)行證明, 沒 有真正體現(xiàn)出利用方程研究曲線幾何性質(zhì)的路子,因此在這里通過多媒

9、體課件始終展示橢圓 標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),使學(xué)生在把握橢圓方程結(jié)構(gòu)特征(1和(2的基礎(chǔ)上來研究橢圓曲線的 幾何性質(zhì);(2 通過開頭問題的鋪墊, 學(xué)生的思維在這里體現(xiàn)的異常活躍, 除了教材中得到范圍的方法 外,另外兩種方法很多同學(xué)都能想到,使學(xué)生真正感受成功的喜悅;(3多媒體課件展示橢圓的范圍,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。結(jié)論:由橢圓方程中 y x , 的范圍得到橢圓位于直線 a x =和 b y =所圍成的矩形里。即變量 x, y的取值范圍 -曲線的范圍【問題 2】自主探究:繼續(xù)觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),利用方程研究橢圓曲線的對(duì)稱性;實(shí)物投影展示 學(xué)生的解題過程,體現(xiàn)學(xué)生的思維認(rèn)識(shí):辨析與研討:x -代 x 后

10、方程不變, 就是用 , (y x -來代換方程中的 , (y x , 方程不變, , (y x -和 , (y x 關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程, 而 , (y x 是曲線上任意一點(diǎn), 因此橢圓曲線關(guān)于 y 軸對(duì)稱;其它同理。相關(guān)概念:在標(biāo)準(zhǔn)方程下,坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸,原點(diǎn)是對(duì)稱中心,橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的 中心。設(shè)計(jì)意圖:(1 抓住橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)不放松, 引導(dǎo)學(xué)生探究如何利用方程研究橢圓的對(duì)稱性;(2 在學(xué)生的表述過程中重視學(xué)生的思維方式,培養(yǎng)學(xué)生正確處理問題的思路,能夠引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱性的本質(zhì)上得到研究對(duì)稱性的方法;(3 多媒體課件展示橢圓的對(duì)稱性,使學(xué)生體會(huì)橢圓的對(duì)稱美?？偨Y(jié):

11、 方程的對(duì)稱性 -曲線的對(duì)稱性。設(shè)置問題:拋物線 的對(duì)稱軸是( ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是( 兩者有何關(guān)系?【問題 3】自主探究:再次觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),利用方程求出橢圓曲線與對(duì)稱軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)(實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過程,體現(xiàn)學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令 0=x ,得 b y =, 0=y ,得 a x =頂點(diǎn)概念:橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo); 0, (, 0, (21a A a A -, , 0(, , 0(21b B b B -相關(guān)概念:線段 2121, B B A A 分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別等于 b a 2, 2, a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長

12、 ,總結(jié):x=0或 y=0時(shí)方程的解 -曲線的頂點(diǎn)。設(shè)置問題:在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中令 222b c a =-能使方程簡單整齊, 其幾何意義是什 么?學(xué)生探究:c 表示半焦距, b 表示短半軸長,因此,聯(lián)結(jié)頂點(diǎn) 2B 和焦點(diǎn) 2F ,可以構(gòu)造一個(gè)直223y x x =-+角三角形,在直角三角形內(nèi), 2222222OB F B OF -=,即 222b c a =-;多媒體展示特征三角形 .設(shè)計(jì)意圖:(1 利用方程研究 橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo) 學(xué)生比較容易 接受,相關(guān)概 念也容易理解 ,關(guān)鍵是 222b c a =-的幾何意義,多媒體課件的展示體現(xiàn) c b a , , 的幾何意義,從而得到 222b

13、 c a =-的本質(zhì)。三、課堂練習(xí):例 1、橢圓 13422=+y x 的長軸和短軸長,離心率,焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。若將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程改為 22431x y +=,它的長軸和短軸長,焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)是 什么?你能通過橢圓的幾何性質(zhì)總結(jié)出作橢圓的草圖的步驟嗎?(利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)時(shí),若橢圓的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程,首先應(yīng)方程畫為標(biāo)準(zhǔn)方程,然后找出相應(yīng)的 c b a , , 。利用橢圓的幾何性質(zhì),可以簡化畫圖過程,保證圖形的準(zhǔn)確性掌握畫橢圓草圖的基本步驟和注意事項(xiàng):(1以 , x a y b =為鄰邊畫矩形;(2由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn);(3在第一象限取兩點(diǎn),并用圓滑曲線連接;(4根

14、據(jù)橢圓的對(duì)稱性得到其他象限的圖像;(5畫圖時(shí)要注意它們的對(duì)稱性及頂點(diǎn)附近的平滑性 .設(shè)計(jì)意圖:(1學(xué)生閱讀交流提高認(rèn)識(shí)而不是教師講解,能夠使學(xué)生感悟知識(shí)的應(yīng)用;(2與開頭相呼應(yīng),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓的簡單幾何性質(zhì)能夠簡化做圖過程;四、 反思與評(píng)價(jià):(回顧知識(shí)的形成過程,同學(xué)交流,談?wù)剬?duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí)(1 知識(shí)與技能:橢圓的范圍、 對(duì)稱性、 頂點(diǎn), 初步學(xué)習(xí)了利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓曲線性質(zhì)的方法;(2 過程與方法:重視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng); 以自主探究為主, 通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程, 培養(yǎng)了我們觀察、 分析、 邏輯推理、理性思維的能力;(3情感、態(tài)度與價(jià)值觀:善于

15、觀察,敢于創(chuàng)新,學(xué)會(huì)與人合作,感受到探究的樂趣,體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美, 培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖:不會(huì)反思,就不會(huì)學(xué)習(xí),通過反思,深化知識(shí)的形成過程,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),掌握 研究的方法和思路,拓寬思維角度,提高思維層次。五、課后作業(yè):(1反思知識(shí)的形成過程,掌握研究問題的方法;(2研究22221(0y xa ba b+=的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn);(3 課后延伸:同學(xué)們?cè)賮碛^察橢圓的結(jié)構(gòu)特征 “方程中 2x 和 2y 的系數(shù)不相等” , 因此當(dāng) 2x 和 2y 的系數(shù)發(fā)生變化時(shí),橢圓的形狀是如何隨之變化的?設(shè)計(jì)意圖:課后作業(yè)的設(shè)置體現(xiàn)了本節(jié)課研究方法的延伸,作業(yè)

16、(1強(qiáng)調(diào)研究方法的重要性,作業(yè)(2是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種檢驗(yàn),作業(yè)(3引導(dǎo)學(xué)生利用橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征自主研究橢圓的另一條性質(zhì)離心 率;附錄:板書設(shè)計(jì)8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:22221(0 x ya b a b+=1、范圍:橢圓位于直線 ax =和 by =所圍成的矩形里。2、對(duì)稱性:橢圓關(guān)于 x 軸、 y 軸、原點(diǎn)都對(duì)稱3、頂點(diǎn):頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(, 0a, (0, b 課堂練習(xí):反思與評(píng)價(jià):課后作業(yè):課堂設(shè)計(jì)說明:1、對(duì)教材的研究認(rèn)識(shí):利用已知條件求曲線的方程, 利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務(wù), 利 用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)可以說是第一次,傳統(tǒng)的教學(xué)過程往往是

17、利用多媒體課件展示橢 圓曲線,讓學(xué)生觀察、猜想橢圓的幾何性質(zhì),然后再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行證明,體現(xiàn)從 感性到理性符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律等,也可以說是用方程研究橢圓曲線性質(zhì)的一種思路,但未 能很好的體現(xiàn)“利用方程研究曲線性質(zhì)”的本質(zhì)。因此,本人在教學(xué)一開始的問題設(shè)置就體 現(xiàn)了利用方程研究曲線的意識(shí),在三個(gè)性質(zhì)的研究中一直是用方程的結(jié)構(gòu)特征來得到性質(zhì), 真正培養(yǎng)學(xué)生如何利用方程研究曲線性質(zhì)的能力。同時(shí),根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)的課時(shí)安 排,本節(jié)課不研究橢圓的離心率,保證了學(xué)生的研究時(shí)間;與直線方程和圓方程的類比能夠 使得學(xué)生掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),學(xué)生在自主探究過程中能夠聯(lián)想得到三角換元,說明該 種教學(xué)方法還是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的,同時(shí)體現(xiàn)了教材的本質(zhì)。2、 課堂教學(xué)模式的設(shè)置:自主探究是傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種補(bǔ)充,自主探究能夠使學(xué)生成為研究問題的主人,能夠 培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),思維能力是數(shù)學(xué)的核心,教學(xué)過程的設(shè)計(jì)要能夠 體現(xiàn)教學(xué)本質(zhì);能夠突出所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì);組織教學(xué)的過程要能觸及學(xué)生的靈魂深處。 因此,課堂教學(xué)中提倡問