收益率曲線制作

1、2012年1月30日 用EXCEL VB制作收益率曲線正在為忙于撰寫(xiě)一本有關(guān)解讀中國(guó)經(jīng)濟(jì)景氣的書(shū)，在網(wǎng)上搜尋中國(guó)經(jīng)濟(jì)資料時(shí)， 看到一些有關(guān)收益率曲線的制作。由于我以前亦有撰寫(xiě)另一本關(guān)于金融工程的書(shū)，所以牽起我用EXCEL的VBA去編寫(xiě)此一挑戰(zhàn)。但是為什庅我們要去每作收益率曲線？其用意又是什庅呢？如果 要知道為什庅收益率曲線那庅重要，我們便要先知道什庅是債券。債券是債務(wù)人（債券發(fā)行人）發(fā)給債權(quán)人（債券持有人）的有價(jià)憑證。由于債券持有人不一 定得持有至到期日，期間亦可進(jìn)行交易， 交易時(shí)的債券價(jià)格與市場(chǎng)利率、投資人買(mǎi)入后可得的實(shí)際報(bào)酬（又稱(chēng)為收益率）。當(dāng)市場(chǎng)利率低于債券票面利率時(shí)，有多余資金的人更樂(lè)

2、于把 資；金用來(lái)買(mǎi)債券，以利獲取更高的利息，因而使得債券價(jià)格上漲：反之，當(dāng)市場(chǎng)利率高于 債券票面利率時(shí)，債券價(jià)格便會(huì)下跌。 再者，雖然債券的票面利率是債券發(fā)行人定期要支付 給債券持有人的利率，決定了持有人將可得到的利息金額，但由于絕大多數(shù)投資人都是在不同的時(shí)間點(diǎn)，以不同的債券價(jià)格買(mǎi)入債券， 而買(mǎi)入債券的時(shí)間點(diǎn)關(guān)系著到期日時(shí)可取得利息 多寡，買(mǎi)進(jìn)的債券價(jià)格高低，也會(huì)影響到期時(shí)可取回的本金盈虧，因此，投資人買(mǎi)入債券后至到期日可得的實(shí)際報(bào)酬率，并不等于票面利率，可獲取的實(shí)質(zhì)投資報(bào)酬率便稱(chēng)為收益率， 收益率則是指持有人買(mǎi)入債券至到期日為止，平均每年可預(yù)期的實(shí)質(zhì)投資報(bào)酬率。收益率與債券價(jià)格的關(guān)系可以簡(jiǎn)單

3、如下表示：收益率=_票面利率x面額 債券價(jià)格收益率和債券價(jià)格為反向關(guān)系。買(mǎi)入的債券價(jià)格高，收益率便會(huì)降低；相對(duì)地，買(mǎi)入債券價(jià)格低，收益率便高。例如，當(dāng)投資人買(mǎi)入的債券價(jià)格高于票面價(jià)格時(shí)，到期時(shí)取回持有期間 的票面固定利息，在扣除高于票面價(jià)格的買(mǎi)入成本后，實(shí)際所得的利息收入將小于票面固定利息，其實(shí)質(zhì)報(bào)酬率，即收益率便會(huì)低于票面利率，因此，在掌握了收益率與債券價(jià)格的反 向關(guān)系下，透過(guò)觀察債券市場(chǎng)中，各天期公債收益率與到期期間的連續(xù)變化所呈現(xiàn)的曲線圖， 便可看出長(zhǎng)短期借貸資金市場(chǎng)的供需情形，以及市場(chǎng)對(duì)未來(lái)景氣的普遍預(yù)期。簡(jiǎn)單而言，收益率曲線隱含著對(duì)未來(lái)利率變動(dòng)的預(yù)期。向右上方傾斜的收益率曲線反映市場(chǎng)

4、的一種平均的預(yù)期，認(rèn)為未來(lái)的短期利率將高于當(dāng)前水平，投資者就將證券從長(zhǎng)期轉(zhuǎn)向短期；當(dāng)收益率曲線處于相對(duì)較高的水平， 而且是平坦的或者是向下傾斜的時(shí)候，表明市場(chǎng)預(yù)期未來(lái)短期利率將下降，投資者轉(zhuǎn)向長(zhǎng)期證券投資。 這種參照收益率曲線轉(zhuǎn)換證券到期日的方法，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確預(yù)測(cè)市場(chǎng)利率變化的時(shí)間。那庅要什樣去制作收益率曲線，在紅預(yù)金融中心介紹如下：收益率曲線的制作方法（一）-三次樣條擬合法在固息債、浮息債以及含權(quán)債的定價(jià)中，讀者反復(fù)地看到兩個(gè)概念：收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)，不熟悉的讀者很容易對(duì)這兩個(gè)概念造成混淆，而實(shí)際上它們的定義截然不同，在債券市場(chǎng)上的應(yīng)用也完全不一樣，因此讀者有必要進(jìn)行區(qū)分。在本期債券教

5、室中，我們將首先向大家介紹收益率曲線的概念并用Excel演示收益率曲線的制作方法。收益率曲線的認(rèn)識(shí)（Yield Curve）收益率曲線描繪的是附息債券的到期收益率（Yield to Maturity）與剩余年期的關(guān)系，橫軸表示基準(zhǔn)債券的剩余年期，縱軸表示不同剩余年期相對(duì)應(yīng)的到期收益率。曲線上的某一點(diǎn)代表著：如果將該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的剩余年期的債券持有到期，期間所有的利息收入和期末返還的本金所帶來(lái)的內(nèi)部投資報(bào)酬率（Internal Rate ofReturn ）為多少。收益率曲線的作用在于：對(duì)于任何一個(gè)剩余年期，在收益率曲線上都可以找到相對(duì)應(yīng)的合理到期收益率。 如果市場(chǎng)中某只債券的到期收益率大幅偏離收益

6、率曲線，則說(shuō)明有可能定價(jià)不合理，存在套利機(jī)會(huì)。需要注意的是：對(duì)于浮息債和含權(quán)債無(wú)法制作收益率曲線，因?yàn)楦∠秃瑱?quán)債在未來(lái)的現(xiàn)金流是不確定 的，無(wú)法用以計(jì)算到期收益率。收益率曲線制作方法（一）-三次樣條擬合法（1）曲線擬合函數(shù)曲線擬合函數(shù)定義為（x為債券剩余年期，y為債券的到期收益率）：公式（1）其中，a、b、c、d都是參數(shù)，采用最小二乘法求解。（2 ）目標(biāo)函數(shù)最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)為：公式（2）其中，y為市場(chǎng)收益率，為透過(guò)樣條法計(jì)算岀來(lái)的理論收益率。（3 ）優(yōu)化方式選取市場(chǎng)中不同到期期限的基準(zhǔn)債券的到期收益率，通過(guò)最小二乘法計(jì)算出 a、b、c、d,求得收益率曲線。在Excel中制作收益率曲線的

7、方法（一）-三次樣條擬合法（1 ）選取樣本，計(jì)算到期收益率以制作上交所企業(yè)債的收益率曲線為例，我們選取岀20個(gè)樣本（在此基于演示方便），分別列示岀它們的剩余年期和到期收益率，一種方法是根據(jù)我們?cè)谇皫灼诮鹑诠こ虉?bào)中介紹的收益率計(jì)算方法自行計(jì)算，具 體過(guò)程在此不贅述，僅于下表中顯示計(jì)算結(jié)果：另一種方法非常簡(jiǎn)單，我們可以直接從"紅頂收益戰(zhàn)略家 5.0"中直接導(dǎo)入這20個(gè)樣本的剩余年期和收益率 字段，操作方法參見(jiàn)以下畫(huà)面：（2）設(shè)置曲線擬合函數(shù)，計(jì)算最小二乘法參數(shù)根據(jù)三次樣條擬合法，假設(shè)理論收益率滿(mǎn)足公式（1），首先設(shè)置參數(shù)a=0, b=0，c=0, d=0，分別計(jì)算出各債券的理論

8、收益率接著根據(jù)公式（2），計(jì)算最小二乘法的參數(shù)，即實(shí)際收益率與理論收益率的殘差的平方，從而得到最小目 標(biāo)函數(shù)E。（3）規(guī)劃求解計(jì)算參數(shù)有了目標(biāo)函數(shù)，就可以利用規(guī)劃求解計(jì)算出四個(gè)參數(shù) a，b, c, do用鼠標(biāo)或鍵盤(pán)方向鍵選中單元格 F20后， 點(diǎn)擊"工具"菜單中的"規(guī)劃求解”，在如下對(duì)話框中點(diǎn)選最小值，并將可變單元格設(shè)置為a, b, c, d所對(duì)應(yīng)的四個(gè)單元格$C$24:$C$27,然后點(diǎn)擊求解按鈕：在Excel中將出現(xiàn)如下計(jì)算結(jié)果，即利用最小二乘法計(jì)算出的a, b, c, d四個(gè)參數(shù)。（4 ）繪制收益率曲線和散點(diǎn)將收益率曲線的橫軸分為 30年（符合市場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)），每

9、隔0.5年取一個(gè)點(diǎn)，利用求解的曲線擬合方程計(jì)算出 每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的理論收益率，并將原有樣本的剩余年期和對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)收益率列示在右邊。用鼠標(biāo)或鍵盤(pán)方向鍵選中插入圖表的區(qū)域，點(diǎn)擊"插入”菜單中的"圖表”，以上述30年的剩余年期系列為 x軸，對(duì)應(yīng)的理論收益率系列為y軸，建立一條平滑曲線，這條曲線就是我們制作的收益率曲線。同時(shí)，以右側(cè)列示樣本的剩余年期系列為x軸，對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)收益率系列為y軸，往收益率曲線圖表中添加入對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)。這樣就可以直觀地觀測(cè)到曲線的擬合效果。5)曲線的修正由于我們直接將市場(chǎng)上的所有債券價(jià)格拿來(lái)擬合收益率曲線，效果很可能會(huì)不理想，因此在實(shí)際制作中，還需要充分考慮以下四

10、個(gè)因素并對(duì)曲線進(jìn)行修正：該用哪些債券作為樣本如何處理債券流動(dòng)性問(wèn)題債券價(jià)格岀現(xiàn)異常狀況是否考慮從樣本中剔除曲線端點(diǎn)的長(zhǎng)年期債券利率不合理該如何設(shè)定”我介紹的方法亦都是用三次樣條插值法我會(huì)以任何可以運(yùn)用的債券價(jià)格資通過(guò)自助法去計(jì)算收益率曲線。在標(biāo)準(zhǔn)課本里自助法就是計(jì)算附息票債券的所有息票經(jīng)貼現(xiàn)率計(jì)算后的凈現(xiàn)值即可計(jì)算出零息率。由於可能沒(méi)有足夠的債券資料，所以用自助法會(huì)可能缺少某些利率，令到整個(gè)計(jì)算過(guò)程停頓，而無(wú)法完成。而樣條法是一個(gè)很好的填補(bǔ)多項(xiàng)式的空缺。而填補(bǔ)多項(xiàng)式的空缺的最隣近的點(diǎn)叫結(jié)點(diǎn)。假設(shè)有s個(gè)結(jié)點(diǎn)(xi,yi),(X2,y2),s,ys)的插值，都可以由n-1的多項(xiàng)式? 1, ?2，,

11、n?i達(dá)成所有 點(diǎn)的樣條。當(dāng)然越高次元的多項(xiàng)式要做到精準(zhǔn)，額外的假設(shè)設(shè)定必不可少。最通常用到是定 義額外線性的假設(shè)在插值的兩端。在三次樣條插值法里假設(shè)有s個(gè)結(jié)點(diǎn)(X1,y”，(X2,y2),s(x)而X1 <X2<<x會(huì)有n-1三次兀2O多項(xiàng)式？ i(X)= ai + biX + CiX + diX (i= 1,2,)。而多項(xiàng)式會(huì)產(chǎn)生每一段左方及右方相對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)的數(shù)值。?=y?x?, i=1,2,-,n(1)作者：江冠亨32012年1月30日 用EXCEL VB制作收益率曲線?+y= ?X?+1 , i=1,2,-,n多項(xiàng)式的平滑性條伴在每一結(jié)點(diǎn)會(huì)分別為其一階導(dǎo)數(shù)?i(X)=

12、bi + 2gx+ 3diX2及二階導(dǎo)數(shù)? i (x)= + 2ci+ 6dix。根據(jù)公式1及2，多項(xiàng)式會(huì)延伸每一結(jié)點(diǎn)。一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)的延伸會(huì)-,n-,n由?+似?+1 = ?+(x?+d , i=1,2,?+似？?+1 = ?+(x?+d , i=1,2,在此根據(jù)公式(1)至(4)會(huì)有4(n-1)-2的吻合條件。樣條系數(shù)定義為自然樣條條件去推動(dòng)樣條走 出插值的分段。此可以在二階導(dǎo)數(shù)成為零印證出。1 ( ?1)= ? ?-1 (x?_1)= 0吻合條件加上然樣條條件可改寫(xiě)成矩陣形式作者：江冠亨#2012年1月30日用EXCEL VB制作收益率曲線?-1? =: .：(6)0?-1?-1?-

13、10?-1(7)測(cè)是計(jì)算債券價(jià)格的公式根據(jù)公式(6)會(huì)產(chǎn)生4(n-1)行及2列的向量。而公式債券價(jià)格=刀?=1希?+面值(1+?)?：(7)J51”RI Ml I IA f A s-好ARRI丈H 3K»<?-«*2 鈕-E*D-鼻叭rgnjEs壇號(hào) TRUEo.au4喚5W沖0 2«4 5K%110 50C4-684%97 70121 »04. KM%時(shí)311Ji.m4 MWiog wuJ.KKI5 044%頫如li7 5D0Sill%ioq oq16IB 0004»9%300 m1718IS料ihii *?1聞ttl曲呀垂如# I 齡

14、站 I He 1 jSjrJ?I DO QC1)0 ：'0I DO WDC401D0帥QO«DHO M0JMIDO.P2 JOT兀：.："2：<>1DDOO2.E1D1DD 0D2 3«DHIKH1U0 0 0 01-111.Q D D D*.5 5 5軍屛囂欝Q.VS2Z60.DS14巧雅jjr0潮4訊為OtOT睥29DTK4 571%)0aisi431am4 S?232om4 S?3%O.fJ?0 J5S強(qiáng)4%am4 EH «DT714-淞D.H4.177%»OtffT4 577%D 144 578%0.2S24W*41

15、伽J|j蘭 * 11 H - 聲捕占號(hào)20” I朋 I些A作者：江冠亨42012年1月30日用EXCEL VB制作收益率曲線作者：江冠亨#2012年1月30日用EXCEL VB制作收益率曲線圖1:收益率曲線佈局作者：江冠亨#2012年1月30日 用EXCEL VB制作收益率曲線Option ExplicitPrivate Const eps = 1 * 10 A -14Private Const mmax = 100Sub CalZeroRates()Dim n As Integer: n = Range("B4").ValueDim precise As Double:

16、precise = Range("E4").ValueDim T As Double: T = Range("A8").Offset(1,0)Dim bondPrice As Double: bondPrice = Range("C8").Offset(1,0)Dim parValue As Double: parValue = Range("D8").6ffset(1,0)Dim bnit As Double: bnit = -(1 / T) * Log(bondPrice / parValue)Dim i As

17、 IntegerDim zeroRate() As Double: ReDim zeroRate(1 To n)Dim preciseFlag As BooleanDim maxDeviation As DoubleFor i = 1 To n: zeroRate(i) = bnit: Next iCall NewtonRaphson(n, precise, zeroRate, preciseFlag, maxDeviation)For i = 1 To n: Range("B8").Offset(i, 0) = zeroRate(i): Next iRange("

18、;E5").Value = preciseFlagRange("E6").Value = maxDeviationEnd Sub原代碼 1: calZeroRates()Sub GenYieldCurve()Dim n As Integer: n = Range("B4").ValueDim T() As Double: ReDim T(1 To n)Dim zeroRate() As Double: ReDim zeroRate(1 To n)Dim i As Integer, j As Integer, k As IntegerDim a(

19、) AsDouble:ReDima(1Ton -1)Dim b() AsDouble:ReDimb(1Ton -1)Dim c() AsDouble:ReDimc(1Ton -1)Dim d() AsDouble:ReDimd(1Ton -1)For i = 1 To nT(i) = Range("A8").Offset(i, 0) zeroRate(i) = Range("B8").Offset(i, 0)Next iCall CubicSpline(n, T, zeroRate, a, b, c, d)Dim nupoint As Integer:

20、nupoint = Range("E23").ValueDim term As DoubleRange("A25:B300").CIearContentsk = 0For i = 1 To n - 1For j = 0 To nupointk = k + 1term = T(i) + j * (T (i + 1) - T(i) / (nupoint + 1) Range("A24").Offset(k, 0) = termRange("B24").Offset(k, 0) = a(i) + b(i) * term

21、+ c(i) * term a 2 + d(i) * term a 3 Next jNext iRange("A24").Offset(k + 1,0) = T(n)Range("B24").Offset(k + 1,0) = zeroRate(n)End SubSub FunctionArray(n As Integer, zeroRate() As Double, ByRef g() As Double)Dim T() As Double: ReDim T(1 To n)Dim bondPrice() As Double: ReDim bondPri

22、ce(1 To n)Dim parValue() As Double: ReDim parValue(1 To n)Dim couponBond() As Double: ReDim couponBond(1 To n)Dim m() As Integer: ReDim m(1 To n)Dim tb() As Double: ReDim tb(1 To n, 1 To mmax)Dim rb() As Double: ReDim rb(1 To n, 1 To mmax)Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, pointer As Inte

23、gerDim tau As DoubleDim a() As Double:ReDima(1Ton-1)Dim b() As Double:ReDimb(1Ton-1)Dim c() As Double:ReDimc(1Ton-1)Dim d() As Double:ReDimd(1Ton-1)For i = 1 To nT(i) = Range("A8").Offset(i, 0) bondPrice(i) = Range("C8").Offset(i, 0) parValue(i) = Range("D8").Offset(i,

24、0) couponBond(i) = Range("E8").Offset(i, 0) m(i) = Range("F8").Offset(i, 0)For j = 1 To m(i)tb(i, j) = Range("G8").Offset(i, j - 1)Next jNext iCall CubicSpline(n, T, zeroRate, a, b, c, d)For i = 2 To npointer = 1For j = 1 To m(i)tau = tb(i, j)If (Abs(tau - T(1) <= ep

25、s) Thenrb(i, j) = zeroRate(1)GoTo nextjEnd IfFor k = pointer To i - 1If (tau > T(k) And tau <= T(k + 1) Thenrb(i, j) = a(k) + b(k) * tau + c(k) * tau A 2 + d(k) * tau A 3 pointer = k GoTo nextjEnd IfNext knextj: Next jNext iFor i = 1 To ng(i) = bondPrice(i) - parValue(i) * Exp(-zeroRate(i) * T

26、(i)For j = 1 To m(i)g(i) = g(i) - couponBond(i) * Exp(-rb(i, j) * tb(i, j)Next jNext iEnd Sub原代碼 3: FunctionArray()作者：江冠亨62012年1月30日 用EXCEL VB制作收益率曲線Sub NewtonRaphson(n As Integer, precise As Double, ByRef x() As Double, ByRef preciseFlag As Boolean, ByRef maxDeviation As Double)Const itMax As Integ

27、er = 1000Dim yElder() As Double: ReDim yElder(1 To n)Dim yMover() As Double: ReDim yMover(1 To n)Dim iMover() As Double: ReDim iMover(1 To n)Dim jx() As Double: ReDim jx(1 To n)Dim omega() As Double: ReDim omega(1 To n, 1 To n)Dim Dxter() As Double: ReDim Dxter(1 To n)Dim i As Integer, j As Integer,

28、 k As Integer, itr As IntegerFor itr = 1 To itMaxFor i = 1 To n: yElder(i) = x(i): Next iCall FunctionArray(n, yElder, jx)Forj = 1 To nFor k = 1 To n: yMover(k) = yElder(k) + precise * IIf(j = k, 1,0): Next kCall FunctionArray(n, yMover, iMover)For i = 1 To n: omega(i, j) = (iMover(i) - jx(i) / prec

29、ise: Next iNext jCall SolveAxb(omega, jx, Dxter, n, 1, 1, 1)For i = 1 To n: x(i) = yElder(i) - Dxter(i): Next iFor i = 1 To nIf Abs(x(i) - yElder(i) <= precise ThenpreciseFlag = TrueElsepreciseFlag = FalseExit ForEnd IfNext iIf preciseFlag Then Exit ForNext itrCall FunctionArray(n, x, jx)maxDevia

30、tion = 0For i = 1 To nIf Abs(jx(i) > maxDeviation Then maxDeviation = Abs(jx(i)Next iEnd Sub原代碼 4: NewtonRaphson()Sub SolveAxb(Amatrix() As Double, bvec() As Double, ByRef xvec() As Double, n As Integer, iptr As Integer, jptr As Integer, kptr As Integer) -Dim wsAmatrix As Variant: ReDim wsAmatrix

31、(1 To n, 1 To n)Dim row As Integer, column As IntegerFor row = 1 To nFor column = 1 To n: wsAmatrix(row, column) = Amatrix(iptr + row - 1, jptr + column - 1): Next column Next rowDim wsbvec As Variant: ReDim wsbvec(1 To n, 1 To 1)For row = 1 To n: wsbvec(row, 1) = bvec(kptr + row - 1): Next rowDim w

32、sxvec As Variant:With Application.WorksheetFunctionwsxvec = .MMult(.MInverse(wsAmatrix), wsbvec)End WithDim i As IntegerIf n = 1 ThenFor i = kptr To kptr + n - 1: xvec(i) = wsxvec(i - kptr + 1): Next iElseFor i = kptr To kptr + n - 1: xvec(i) = wsxvec(i - kptr + 1, 1): Next iEnd IfEnd Sub原代碼 5: Solv

33、eAxb()作者：江冠亨82012年1月30日用EXCEL VB制作收益率曲線原代碼 6: CubicSpline ()作者：江冠亨92012年1月30日用EXCEL VB制作收益率曲線Double, ByRef d() As Double)Dim i As Integer, j As Integer, pointer As IntegerDim Tmatrix() As Double: ReDim Tmatrix(1 To 4 * (n - 1), 1 To 4 * (n - 1)Dim Rvector() As Double: ReDim Rvector(1 To 4 * (n - 1)Dim Qvector() As Double: ReDim Qvector(1 To 4 * (n - 1)For i = 1 To (n - 1)Rvector(i) = y(i)Rvector(n - 1 + i)Rvector(2 * (n - 1)Rvector(3 * (n - 1) Next ioo一一=-+ +For i = 1 To 4 * (n - 1)For j = 1 To 4 * (n - 1): Tmatrix(i, j) = 0: