分式的運(yùn)算法則

1、精選文檔分式的運(yùn)算一.通分的方法:  1.分式通分的涵義和分?jǐn)?shù)通分的涵義有類似的地方; (1)把異分母分式化為同分母分式; (2)同時(shí)必須使化得的分式和原來(lái)的分式分別相等;     (3)通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì),且取各分式分母的最簡(jiǎn)公分母,否則使運(yùn)算變得煩瑣. 2.求最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵,其法則是: (1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù); (2)凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底的冪的因式都要取; (3)相同字母(或含字母的式子)的冪的因式取指數(shù)最高的. 這樣取出的因式的積,就是最簡(jiǎn)公分母. 例1.通分: 解:8,12,20的最小公倍

2、數(shù)為120,字母因式x、y、z的最高次冪分別為x3、y3、z2,所以最簡(jiǎn)公分母是120x3y3z2.通分過(guò)程中,如果字母的系數(shù)是負(fù)數(shù),一般先把負(fù)號(hào)提到分式的前面. 例2.通分:   解:將分母分解因式:a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b) 最簡(jiǎn)公分母為(a+b)(a-b)2 分子,分母同乘以(a-b) =分子作整式乘法分子,分母同乘以(a+b)=分子作整式乘法分子,分母同乘以(a+b)(a-b)=-分子作整式乘法說(shuō)明: (1)分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母,分母是多項(xiàng)式時(shí),必須先分解因式,分子是多項(xiàng)式時(shí),要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相

3、乘,而不能只同其中某一項(xiàng)相乘。  (2)通分是和約分相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去.將分式化為較簡(jiǎn)單的形式;通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式,使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式。約分是對(duì)一個(gè)分式而言的;通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的。  二.分式的乘除法:1.同分?jǐn)?shù)乘除法類似,分式乘除法的法則用式子表示是：，其中a、b、c、d可以代表數(shù)也可以代表含有字母的整式.2.分式乘除法的運(yùn)算.歸根到底是乘法的運(yùn)算,當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí),一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解,再約分。3.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí),可以把整式看成分母為1的分式。 

4、0;4.做分式乘除混合運(yùn)算時(shí),要注意運(yùn)算順序,乘除法是同級(jí)運(yùn)算,要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算.切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序。例如:a÷b·=a· · = 切不可以: a÷b· = a÷1=a例1、計(jì)算：（1） （2） ÷(-)解: (1)法(一)分子、分母分別相乘得一個(gè)分式再進(jìn)行約分: =法(二)先約分,再相乘 =(2)÷(- )= ·（- ）=-說(shuō)明分式的除法,只要將除式的分子和分母顛倒位置,就可以轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)做,并注意符號(hào)法則,一般先確定符號(hào),然后演算. 根據(jù)乘法法則,應(yīng)先化成一個(gè)分式后再進(jìn)行

5、約分,如(1)題中的法(一)計(jì)算,但在實(shí)際演算中,這樣的做法就顯得繁瑣,因此往往在運(yùn)算過(guò)程中,先約分,再相乘,所得的結(jié)果是相同的. 如(1)題中的法(二)計(jì)算.例2.計(jì)算: ÷(x+3)·解: ÷(x+3)· =÷(x+3)· (各分子,分母按x降冪排列) = · ·（統(tǒng)一為乘法運(yùn)算） =· · （分子，分母因式分解） =-（約分）說(shuō)明:整式(x+3)可以寫(xiě)成分式形式: 顛倒除式后為.上例的右側(cè)說(shuō)明就是乘除混合運(yùn)算的步驟。要注意運(yùn)算順序,在同級(jí)運(yùn)算中,如果沒(méi)有括號(hào),就應(yīng)按照由左到右的順

6、序進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)分式的分子分母是多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)先進(jìn)行因式分解,分解時(shí),應(yīng)先把含有同一個(gè)字母的多項(xiàng)式按降冪(或升冪)排列好,再進(jìn)行分解因式,化成最簡(jiǎn)分式后再進(jìn)行運(yùn)算,這樣就容易看出相同的因式,便于約分。 三.分式的乘方:1.分式乘方法則用式子表示是：( )n=(n是正整數(shù),b0) 2.帶有負(fù)號(hào)的分式乘方,其結(jié)果的符號(hào)與負(fù)數(shù)的乘方的規(guī)律相同,即負(fù)數(shù)的偶次方為正,奇次方為負(fù).在演算帶有負(fù)號(hào)的分式乘方時(shí),應(yīng)先決定結(jié)果的符號(hào),再做其它的運(yùn)算。 3.分式乘除,乘方混合運(yùn)算時(shí),要先乘方,再化除為乘,最后進(jìn)行約分并把結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式或整式。例1.計(jì)算: (- )2·(- )3÷(-)

7、4解: (-)2·(- )3÷(- )4 =(分式乘方法則) =(統(tǒng)一為乘法運(yùn)算) =-(分式乘法及分式變號(hào)法則) =-a5(約分)說(shuō)明:上例的右側(cè)說(shuō)明就是乘方,乘除混合運(yùn)算的步驟。 例2.計(jì)算:()2·( )3÷ 解: ( )2·( )3÷=÷ (分式乘方法則) = ·(統(tǒng)一為乘法運(yùn)算) = ·(分子,分母因式分解及分式變號(hào)法則) =(約分) =(分子作整式乘法運(yùn)算)說(shuō)明:運(yùn)算時(shí)特別注意符號(hào),在做題時(shí),先判斷符號(hào),如負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù),如(-a)3=-a3,負(fù)數(shù)的偶次方為正,同號(hào)相乘除為正,如，異號(hào)相乘除

8、為負(fù).注意(b-a)3=-(a-b)3的變形。  四.分式的加減法: 1.分式的加減法,可以依照分?jǐn)?shù)加減法的法則來(lái)進(jìn)行。分為同分母的加減法和異分母的加減法。而異分母的加減法是通過(guò)"通分"轉(zhuǎn)化為同分母的加減法進(jìn)行運(yùn)算的。 2.分母相同的分式的加減法,用式子表示為:  3.分母不相同的分式的加減法,用式子表示為:. 4.當(dāng)一個(gè)分式和一個(gè)整式相加減時(shí),要把這個(gè)整式看作分母為1的式子進(jìn)行通分。 例1.計(jì)算:    解:三個(gè)分式的分母相同,只要對(duì)分子進(jìn)行加減: =（分母不變，分子相加減） =（應(yīng)用去括號(hào)法則） =（分子合并同類項(xiàng)） =

9、（約分） 說(shuō)明:注意"分子相加減"是指把各個(gè)分式的分子的"整體"相加減.如上例的三個(gè)分子相加減為: (4x+6y)+(2y-3x)-(x+2y),尤其是-(x+2y)注意括號(hào)的作用. 例2.計(jì)算: (1)（2）a- -b解:（1）=（按x的降冪排列） =（把分母進(jìn)行分解因式） =（通分） =（分母不變，分子相加減） =（用去括號(hào)法則，去掉括號(hào)） =（分子合并同類項(xiàng)） =（分子再進(jìn)行分解因式） =（約分）（2）法（一）    a-b    =（分別通分）    =（分

10、別進(jìn)行加減法運(yùn)算）    =（分子部分去括號(hào)）    =（分子合并同類項(xiàng)）    =（再通分）    =（用分式加法法則運(yùn)算）（2）法（二）：原式=五.分式的混合運(yùn)算:1.分式混合運(yùn)算的順序是:第一級(jí)運(yùn)算是加法和減法;第二級(jí)運(yùn)算是乘法和除法;第三級(jí)運(yùn)算是乘方.如果一個(gè)式子里含有幾級(jí)運(yùn)算,那么先做第三級(jí)運(yùn)算,再作第二級(jí)運(yùn)算,最后再做第一級(jí)運(yùn)算;如果有括號(hào)先做括號(hào)里面的運(yùn)算.如順口溜:"先三后二再做一,有了括號(hào)先做里."當(dāng)有多層括號(hào)時(shí),先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算,從里向

11、外(«).2.運(yùn)算中不要出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:；( )3= ;=0例1.計(jì)算:()÷ 解：( )÷      =÷ (括號(hào)內(nèi)分母分解因式)      = ÷(通分)      =· （去括號(hào)及顛倒分子，分母）      = ·（分子合并同類項(xiàng)）      =（約分）例2計(jì)算：(1+)(a

12、-4+ )-3÷( -1)解：(1+ )(a-4+ )-3÷(-1)      =-3÷( )（通分） = -3÷（合并同類項(xiàng)及分解因式） =-3÷ （約分） = ·（通分及顛倒分子和分母） = ·（分解因式） =-（a+1）（約分） =-a-1（去括號(hào)）說(shuō)明:對(duì)含有加,減,乘,除及帶括號(hào)的混合運(yùn)算,要先弄清運(yùn)算順序,有括號(hào)的按括號(hào)法則由里向外運(yùn)算. 例3.計(jì)算:()÷ 解: ( )÷     =÷ （對(duì)分

13、母進(jìn)行分解因式）   = ·（除法變乘法）   =（利用乘法分配律）   =（分別約分）   =（同分母減法法則）     =（合并同類項(xiàng)）     =（分子分解因式）     =-1說(shuō)明:如果本題先計(jì)算括號(hào)內(nèi)異分母減法后再計(jì)算除法就顯得比較繁瑣,本題運(yùn)用了分配律去計(jì)算顯得靈巧,簡(jiǎn)單.計(jì)算中注意應(yīng)用技巧. 例4.計(jì)算: -( - - )÷解: -( - - )÷    = - - ·（部分通