泛函分析第4章 內(nèi)積空間

1、精選文檔第四章 內(nèi)積空間在第三章中，我們把維空間中的向量的模長推廣到一般線性空間中去，得到了賦范線性空間的概念。但在中可以通過兩個向量的夾角討論向量與方向的問題。這對僅有模長概念的賦范線性空間是做不到的。我們知道，中向量的夾角是通過向量的內(nèi)積描述的，因此在本章我們引入了一般的內(nèi)積空間的概念。4.1 內(nèi)積空間的基本概念首先回憶幾何空間中向量內(nèi)積的概念。設(shè)，設(shè)與夾角為，由解析幾何知識可得其中， ，令，稱為與的內(nèi)積，不難證明它有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）注：由定義可得，我們看到，兩個向量的夾角僅與向量的內(nèi)積有關(guān)。利用內(nèi)積我們可以討論如向量的直交及投影等重要幾何問題。現(xiàn)在我們引入一般的內(nèi)積空間

2、的概念?！径x 4.1】 設(shè)為數(shù)域上線性空間，若對任兩個元素（向量），有惟一中數(shù)與之對應，記為，并且滿足如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）則稱為與的內(nèi)積，有了內(nèi)積的線性空間叫做內(nèi)積空間，當為實數(shù)域（或復數(shù)域），叫為實（或復）內(nèi)積空間。 注:由性質(zhì)（3）與性質(zhì)（4）知，內(nèi)積運算關(guān)于第一變元是線性的。由性質(zhì)（2）與性質(zhì)（4）可推知.于是當為內(nèi)積空間時，內(nèi)積關(guān)于第二個變元也是線性的。而常稱為共軛齊次性，因此在為賦內(nèi)積空間時，內(nèi)積是共軛線性的。今后討論中不加注明時，恒設(shè)為復內(nèi)積空間?！疽?4.1】（Schwaraz不等式） 設(shè)為內(nèi)積空間，對任意，成立不等式證明：若，則任，有，則顯然不等式成立?，F(xiàn)在設(shè)

3、，則，有取代入上式可得，由此可得證畢。【定理 4.1】 設(shè)為內(nèi)積空間，對任，令，則是的范數(shù)。證明：因范數(shù)的前兩條性質(zhì)可直接由內(nèi)積的性質(zhì)推出，我們僅驗證它滿足第三條性質(zhì)（即三角不等式）。事實上故有.證畢。注：常稱為內(nèi)積導出的范數(shù)，于是內(nèi)積空間按此范數(shù)成為一個賦范線性空間。在此意義下，第二章關(guān)于賦范線性空間的有關(guān)內(nèi)容都適用于內(nèi)積空間。特別當內(nèi)積空間按由內(nèi)積導出的范數(shù)完備的，稱為Hilbert空間。以下介紹幾個常用的Hilbert空間的例子。例 4.1 表示（實或復）Euclid空間，對于，類似于幾何空間中向量的內(nèi)積定義，令不難驗證成為一個空間。例 4.2 ，當，時，令容易證明成為內(nèi)積空間。以下證明

4、為Hilbert空間。任取列，則對任當時，有因而有故數(shù)列是列，因數(shù)域完備，則存在，使，令，則任，當時，有則令，對每個及任，有因而，亦有，只要，所以，注意是線性空間，則，且，這即表明在中收斂，故為Hilbert空間。例 4.3 為有限或無窮區(qū)間，對任，定義內(nèi)積這里中的元素是實值或復值二次可積函數(shù)，也不難驗證是內(nèi)積空間。現(xiàn)在證明是Hilbert空間。設(shè)為列，則對每個，存在自然數(shù)，有對任有限區(qū)間，由不等式，有式中，為的長度。故級數(shù)收斂，于是由引理（見第一章）我們有 從而知是集上可積函數(shù)，則比在上為處處有限函數(shù)，即級數(shù)在上幾乎處處收斂，而為中任意有限區(qū)間，則級數(shù)在上幾乎處處收斂，因而級數(shù)在上幾乎處處收

5、斂，亦即函數(shù)在上幾乎處處收斂于函數(shù).現(xiàn)在證明，且.對任意，因為中列，則存在，當時，有，即令，利用第一章積分的性質(zhì)，得到即，且，因此.因此列在中收斂，故是Hilbert空間。（1） 內(nèi)積的連續(xù)性。設(shè)，則有證明：由不等式，得 因收斂有界。證畢。（2） 極化恒等式。對內(nèi)積空間中元素與，成立證明可直接運用范數(shù)的定義和內(nèi)積的性質(zhì)得到。留給讀者作為練習。注：當為實數(shù)內(nèi)積空間時，則極化恒等式為（3） 中線公式。對內(nèi)積空間中元素與，成立證明：證畢。注：也常稱中線公式為平行四邊形公式。因在平面中，平行四邊形的對角線長度的平方和等于四條邊的長度平方和。另外，可以證明中線公式是內(nèi)積空間中由內(nèi)積導出的范數(shù)的特征性質(zhì)，

6、即當為賦范線性空間時，若對其中任何元素與關(guān)于范數(shù)成立中線公式，則必在中可定義內(nèi)積，使范數(shù)可由此內(nèi)積導出。也就是一個賦范線性空間成為內(nèi)積空間的條件是其范數(shù)要滿足中線公式。因此，內(nèi)積空間是一類特殊的賦范線性空間。例如，當且時，不是內(nèi)積空間。因為，取，則，且，顯然不滿足中線公式。又例如，按范數(shù)不是內(nèi)積空間。這只要取，及，則，且，明顯不滿足中線公式。再例如，當且時，也不是一個內(nèi)積空間。習題 4.11. 證明：Schwarz不等式中等號成立與線性相關(guān)。2. 設(shè)為實內(nèi)積空間，若，證明：.若，所證明事實有什么幾何意義？3. 設(shè)為內(nèi)積空間，若對任何，有，試證明.4. 設(shè)為Hilbert空間，求證的充要條件是，

7、且.5. 驗證極化恒等式。6. 設(shè)是維線性空間的一組基，對于，有惟一表示，其中，求證是上一個內(nèi)積的充要條件是存在正定矩陣，成立4.2 內(nèi)積空間中元素的直交與直交分解4.2.1 直交及其性質(zhì)仿照中兩個向量的直交概念，我們有如下定義。【定義 4.2】 設(shè)是內(nèi)積空間，若，稱與直交，記為.設(shè)，若與每個元素直交時，則稱與直交，記為.又，若，都有，則稱與直交，記為.設(shè)，記,則稱為的直交補。由以上定義，可得如下簡明事實（性質(zhì)）：（1） 零元素與中每個元素直交。（2） 若，則.（3） .（4） 若，則.（5） 任，若，則；若，則.此外我們還有一下幾條有用性質(zhì)：（6） 若，且，則.這是因為.（7） 若，且，則成

8、立勾股公式.這個性質(zhì)留給讀者自己驗證。（8） 對任，則是的閉子空間。事實上，任意，則對每個，有，于是有，故；又任意，則任意，有，故，因此成為的線性子空間?，F(xiàn)在證明是閉集。若，則為閉集，當，任取，則存在，有.對任意，應用事實（6），有則，于是推得，即，因此為閉集。證畢。（9） 設(shè)為非空集，則. 事實上，因，則.另外，對任意，任意取，若，則是中有限個元素的線性組合，即于是，即.而當，則存在元素，有，由以上證明知，于是由性質(zhì)（6）得知.綜上所說，故.證畢。4.2.2 直交投影及變分引理仿照中向量在坐標軸上投影的概念引入以下定義?！径x 4.3】 設(shè)是內(nèi)積空間的一個線性子空間，若存在，使成立，則稱為在

9、上的直交投影（可簡稱為投影）。注：一般情況，某個元素在的某個空間上不一定存在投影。但當投影存在時，則可證明投影的惟一性。因為若及都是在上的投影，則由定義有，于是，故.對于，任向量在軸（即子空間）上有投影為.并且知道點到軸上每個點的距離最小者為.這種現(xiàn)象如何在一般的（特別是無限維）內(nèi)積空間中表現(xiàn)是個需要探討的問題。為此，我們首先給出重要概念?！径x 4.4】 設(shè)是度量空間，是中非空子集，則稱為到集的距離，記為.若存在某，使，則稱為在中最佳逼近元。注：一般情況下，某元，在某集中不一定存在最佳逼近元。并且在最佳逼近元存在時也不一定惟一。因此，最佳逼近元的存在性及惟一性成為逼近理論中一個主要研究方向。

10、在此我們僅介紹一個在微分方程，現(xiàn)代控制論等學科都有重要應用的基本結(jié)果?！径ɡ?4.2】（極小化向量定理） 設(shè)是空間中的凸閉集，則任意，必有中惟一存在最佳逼近元。證明：令，則存在，使.因是凸集，則，于是必有.在中線公式中以代換，以代換，則有因此是完備內(nèi)積空間中列，則存在，使.因是閉集，則，并且有這證明了最佳逼近元的存在性?，F(xiàn)在證明惟一性。設(shè)也是的最佳逼近元。還是由中線公式得故，即.證明。我們通常也稱此定理為變分引理。由于子空間一定是凸集，并注意定理的證明過程，則定理條件改為是內(nèi)積空間中完備的子空間時，定理結(jié)論仍成立。4.2.3 投影定理【定理 4.3】（投影定理） 設(shè)是內(nèi)積空間的完備線性子空間，

11、則任意，必在中惟一存在投影。即必惟一存在，使.證明：由題設(shè)，依據(jù)極小化向量定理，在中存在最佳逼近元，記為任取復數(shù)，則，且有當時，取代入上式，得于是推得，再注意，此式也成立，因而.令，即有.投影的存在性得證。投影的惟一性已由定義4.3的注得證。證畢。注：（1）為空間時，則對任閉集子空間投影定理成立。（2）表達式也常稱為元素的直交分解，故投影定理也叫做直交分解定理，是中向量的直交分解的推廣。由于在一般賦范線性空間中沒有直交概念，因此不能討論直交分解的問題。（3）對于空間及子閉空間，在投影定理條件下有即表示為兩個直交子空間的直和，常稱為與的直交和，或直交分解。投影定理在內(nèi)積空間理論中是極為重要的基本

12、定理。由于投影，就是元素在子空間中的最佳逼近元，因此在現(xiàn)代逼近論，概率論以及控制論中許多問題都可以抽象為如下的數(shù)學問題。設(shè)是內(nèi)積空間，且，問是否存在個數(shù)，使得，其中.并且一般假設(shè)線性無關(guān)。由于是一個維賦范線性空間，故完備，則由投影定理，對于，必惟一存在，使.現(xiàn)在我們給出求解的方法，因，則由投影定理，我們有即得線性方程組記其系數(shù)行列式為.因為方程組已知有惟一解，故，并且可計算出.最后，我們再給出投影定理的兩個推論?！就普?4.1】 設(shè)是內(nèi)積空間的真閉線性子空間，則中必有非零元素。證明：由題設(shè)，則存在.由投影定理得知，存在，使得，于是必，否則，與之矛盾。證畢。【推論 4.2】 設(shè)是內(nèi)積空間的真閉線

13、性子空間，則.特別當，則在中稠密。證明：由性質(zhì)（8），是中真閉線性子空間，因完備，則完備。顯然，有，于是。同樣得知也完備。如果，于是關(guān)于，應用推論4.1，存在非零元素，且，故，從而，矛盾。從而必有，證畢。習題 4.21. 設(shè)是實內(nèi)積空間，若，則.問是復內(nèi)積空間時，結(jié)論是否成立？2. 證明：內(nèi)積空間中的兩個元素直交的充要條件是對任意數(shù)，成立.3. 設(shè)是內(nèi)積空間中兩兩直交的非零元素組，求證：線性無關(guān)。4. 設(shè)是內(nèi)積空間，則對任意，有.5. 設(shè)是空間，是的子集，求證是包含的最小閉子空間。6. 設(shè)是空間中非空子集，求證：.7. 設(shè)為空間中全體偶函數(shù)的集合：（1） 求證是中全體奇函數(shù)。（2） 任意，求在

14、上的投影。8. 設(shè)為空間，元素列且兩兩直交，求證：級數(shù)收斂數(shù)值級數(shù)收斂。9. 證明：直交性質(zhì)（1）-（5）.10. 設(shè)是內(nèi)積空間中兩兩直交元素組，求證：.4.3 直交系返照中情況，在內(nèi)積空間引入直角坐標系的概念。【定義 4.5】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個不含零元的子集，若中任意兩個不同元素都直交，則稱為的一個直交系。又若中每個元素的范數(shù)都是1，則稱為標準直交系。注：為了簡單起見，我們僅討論至多含可列個元素的直交系，因為對不可列情況，在方法上同可列情況并無本質(zhì)的區(qū)別。例 4.4 在（實或復）空間中是一個標準直交系。例 4.5 在內(nèi)積空間，以下元素列是一個標準直交系其第個分量是1，其余分量都是0，例 4

15、.5 在實內(nèi)積空間中，若定義內(nèi)積為則三角函數(shù)系是的一個標準直交系?！径x 4.6】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，對任，稱為元素關(guān)于的系數(shù)，常簡稱為的系數(shù)。于是有形式級數(shù)，稱為元素關(guān)于可以展開為級數(shù)。注：一般情況下，級數(shù)不一定收斂。即或收斂，也不一定收斂于.在什么條件下元素可以展開為級數(shù)的問題自然是重要的。【定理4.4】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，記對任意給定，則在上的投影是，即是在內(nèi)的最佳逼近元。證明：因，由于，則只須證明.由4.2性質(zhì)（9），又僅須證于是由，知結(jié)論成立。證畢。注：任意，任，成立【定理4.5】（Bessel不等式） 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，則對任意，成立Bessel

16、不等式其中，證明：已知，其中，則由勾股定理得令，得結(jié)論成立。證畢。注：Bessel不等式指元素在每個上投影的范數(shù)的平方和不大于的范數(shù)；由此知為收斂級數(shù)，于是推得事實特別對內(nèi)積空間關(guān)于標準直交系三角函數(shù)系（見例4.3），對任意，其系數(shù)為其中即通常的系數(shù)，則由Bessel不等式，得注意這里用了收斂正項級數(shù)的可交換性。在內(nèi)積空間給定標準直交系情況下，其對應的系數(shù)構(gòu)成一個序列，并確定了由到內(nèi)積空間內(nèi)的一個映射為其中，.不難證明是線性映射。 反之，任意中的元素，一般情況下，不一定存在中元素，使，但在完備時，有以下定理?！径ɡ?.6】（） 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，則對任意，惟一存在，使，且成立等式證

17、明：令，因為，由于級數(shù)收斂，則根據(jù)收斂準則，有故是完備空間中一個列，則存在，有現(xiàn)在設(shè)為任意自然數(shù)，則再注意，令，即得等式.最后證明惟一性。若，也滿足定理結(jié)論，且則因（由定理4.3），令，推得.由極限的惟一性，必.證畢。注：在為空間時，可確定一個有到內(nèi)的映射。但在一般情況下，不能斷定映射是滿射。因此不一定為由到上的一一映射。在維空間中，標準直交基（直角坐標系）的極大性是至關(guān)重要的，對此我們有如下推廣。【定義4.7】 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，若對任意，有，則必，我們就稱是完全的。如例4.2中的標準直交系是中一個完全的標準直交系?！径ɡ?.7】（） 設(shè)是空間中一個標準直交系，則一下的命題等價：

18、（1）是完全的；（2）對任意，成立等式，其中，；（3）對任意，有，其中，；（4）對任意兩個元素有證明：（1）（2）.設(shè)是完全的，對任意，記，則由定理4.5知，再由定理4.6知，惟一存在，使得且成立因為，則，.由于是完全的，于是必有，因此有，命題（2）成立。（2）（3）.現(xiàn)在假設(shè)命題（2）成立，任意取，令，則有即得，于是命題（3）成立。（3）（4）.現(xiàn)在假設(shè)命題（3）成立，任意取，令，則有，.于是可得即命題（4）成立。（4）（1）.現(xiàn)在假設(shè)命題（4）成立，取，若，此時任取，有，即，故，因此命題（1）成立。證畢。注：若空間存在的標準直交系，則任意，有，映射是由到上的一個等距同構(gòu)映射，故與的等距同構(gòu)

19、。 以下的定理在判別某標準直交系的完全性時是經(jīng)常有用的?！径ɡ?.8】 設(shè)是空間中一個標準直交系，如果等式在中某稠密子集上成立，則是完全的。證明： ，則是的閉線性子空間。任，令，則由假設(shè)成立，同定理4.7（2）（3）之證明得，故.于是.因是閉集，則，即得.由定義，任，有，且，.因此由定理4.7命題（3）成立推得則是完全的。證畢。例 4.7 中三角函數(shù)系是完全的。 因為取在中稠密。對任意三角多項式不難驗證成立等式。 根據(jù)定理4.7，對任意，其中級數(shù)依范數(shù)收斂于.但這并不能推知每個，有由線性代數(shù)及解析幾何的知識，我們知道直交組比一般的線性無關(guān)組的性質(zhì)更為優(yōu)越，若某向量可用標準直交組線性表示，其組合

20、系數(shù)有內(nèi)積容易求出，十分方便。以下介紹一個得到標準直交系的常用的方法。對內(nèi)積空間中已知的某線性無關(guān)序列，通過標準直交化過程可獲得一個標準直交系。其過程如下：第一步，把標準化，令第二步，記由定理4.4得知，在上的投影為，由投影定理，記，則.因為，線性無關(guān)，則，此時令不難看出有第三步，記，也由定理4.4得知，在上的投影為，依據(jù)投影定理，記，則，因為，線性無關(guān)，則，此時令且易知于是歸納有第步，記，同樣由定理4.4得知，在上的投影為，并根據(jù)投影定理，記，則，又因為，線性無關(guān)，則，此時令則易知于是以上程序無限進行下去，即得一個標準直交系.由定理4.7后面的注得知具有可列的完全的標準直交系的空間與等距同構(gòu)

21、。因是可分的（即存在有限或可列稠密子集），則也是可分的。相反地，我們有如下定理?！径ɡ?.9】 設(shè)是空間，則（1） 若是可分的，則必有至多可列的完全的標準直交系；（2） 設(shè)是無限維的可分空間，則的每個完全的標準直交系都是可列集。證明： 由于存在有限或可列（也稱為至多可列）個元素，使，且不妨設(shè)為線性無關(guān)集合。由標準直交化程序，可構(gòu)造出對于的（等勢的）標準直交系.當為維內(nèi)積空間時，則有，故有從而有于是必有故是完全的。定理4.9（1）證畢。又X存在可列稠密子集D，任取X一個完全標準直交系M，則M是一個無限集。任取，M，且，都有記 ， 則。由于在中稠密，則存在，有。于是的勢大于的勢。因而必是可列集。證

22、畢。 習題4.31. 在內(nèi)積空間中，試給出一個使不等式成為嚴格不等式的例子。2. 設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，求證對任意，有3設(shè)是內(nèi)積空間中一個標準直交系，給定，令，則對任意，求證：（1） 使成立不等式的僅有有限個；（2） 設(shè)的個數(shù)為，則有。4在中，試將，標準直交化。5求，使取最小值。6設(shè)是空間中一個標準直交系，若，有， 求證：（1） ；（2）級數(shù)是絕對收斂的。7設(shè)是空間中一個標準直交系，給定，若，求證且有。8設(shè)是空間中一個完全標準直交系，試問是否每個都可用 線性表示。9設(shè)是空間中一個標準直交系，任意，求證在中收斂，并且與每個直交。4.4空間上有界線性泛函 在理論及應用中,對一個具體的賦范線

23、性空間來說,往往要和它的共軛空間結(jié)合一起來研究。為此,知道有界線性泛函的一般形式,自然是十分重要的。對于一般賦范線性空間,獲得這種表示是相當困難的。但對于空間,情況卻非常簡單。4.4.1 定理 【定理4.10】 設(shè)是空間，對于每個，惟一存在，使任意，有并且還有證明：若為零泛函，則取中零元素即可?，F(xiàn)在設(shè)，令為的零空間。因是連續(xù)線性泛函，則是的閉子空間。因，則必有為的真子空間。由投影定理，必定有且。所以任取，因為則。于是有從而得。此時令，即有存在性得證。現(xiàn)在證明由惟一確定。如果還有，使于是有，即，所以，惟一性得證。最后證明。當，事實明顯。現(xiàn)在設(shè)，則。首先由不等式有，于是推得；另一方面，取，又有于是

24、推知。因此必成立。定理證畢。注：定理4.10告訴我們產(chǎn)生了一個由到內(nèi)的映射。現(xiàn)在要說明它是一一映射。因為任意取定元素，則確定上一個泛函為，由內(nèi)積的性質(zhì)可知是線性的。再由不等式，有，因而是有界泛函，且，故。類似于定理4.10的證明，可推知。于是可得以下的由到上的映射是個一一映射：，使，。任取復數(shù)及元素，令，則對任意，有即有因此稱為復共軛線性映射，并且有即是一個等距映射（或稱為保范映射）。故稱映射是到上的復共軛等距映射。在這種意義下，認為元素與對應的泛函是一致的，即。因此，稱為自共軛空間（必須注意是在復共軛等距同構(gòu)意義下）。4.4.2 空間上的共軛算子我們曾在第3章討論過賦范線性空間上的共軛算子問

25、題?，F(xiàn)在我們利用空間與共軛空間的一致化，引入所謂空間上的共軛算子概念。這類算子是在研究矩陣及線性微分（或積分）方程的問題中提出來的，有著廣泛的應用。【定義4.8】 設(shè)和是兩個內(nèi)積空間，是一個有界線性算子。又設(shè)是有界算子，若對任意的，都有就稱是的共軛算子（或伴隨算子）。 注：在復空間情況下，第3章關(guān)于賦范線性空間所引進的共軛算子與定義4.8所陳述的共軛算子并不完全一致，設(shè)及復數(shù)，按第3章所述定義，有但依定義4.8的概念，卻有而在實空間情況下，兩者完全一致。例4.8 設(shè)為復空間，對于有界線性算子，則為行列的矩陣，即當時，有此時，任取，有其中 我們看到共軛算子是的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。如果是維（實或復）內(nèi)積

26、空間，取定為其一個標準直交基，是維（實或復）內(nèi)積空間，取定為其一個標準直交基。設(shè)是一個線性算子（則一定有界）。令則任意，有惟一表示，于是有 不難看出，線性算子由一個行列的矩陣所決定。類似于空間的情形，可得的共軛算子由的轉(zhuǎn)置共軛矩陣表示。以下定理說明了一般情況下共軛算子的存在性?！径ɡ?.11】設(shè)是空間，是內(nèi)積空間，則對任意有界線性算子，必惟一存在共軛算子。證明：對任意取定，確定了上線性泛函，其中。因則，且。由定理，惟一存在有我們得到了算子為，且。使對任意的，有?，F(xiàn)在證明是由到的有界線性算子。任意取復數(shù)及元素，因有 因此。這說明是線性的。再由的定義，對任意的，有，因此有，即為有界線性算子，而的惟

27、一性是明顯的。證畢。再給出一個實例。設(shè)是矩形區(qū)域上平方可積函數(shù)，則由核定義了空間上的有界線性算子為是一個型積分算子?，F(xiàn)在求的共軛算子。任取，因為在給定條件下可交換積分次序，有故有 。即是以為核的型積分算子。由例4.8,我們看到共軛算子是轉(zhuǎn)置共軛矩陣概念的推廣，因此它必然具有許多類似轉(zhuǎn)置共軛矩陣的性質(zhì)?！径ɡ?.12】(共軛算子的性質(zhì)) 設(shè)，是空間，是內(nèi)積空間。，是復數(shù)，則以下命題成立：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）存在有界線性逆算子的充要條件是也存在有界線性逆算子，有；（7）。證明：（1）任取有因此有。性質(zhì)（1）得證。（2）證明留給讀者證明。（3）任取有，因此有。于是由定義4.

28、8得知。性質(zhì)（3）得證。（4）由定理4.11的證明已知。因此也有，即。于是必。任取，因則得。另一方面，任取，且，有則得即有。綜上所證就得到。性質(zhì)（4）得證。（5）由假設(shè)知。任取，因于是有。性質(zhì)（5）得證。（6）設(shè)存在有界線性逆算子，則，其中 分別是及上單位（恒等）算子。因明顯有，則利用性質(zhì)（5）可得因此知是的逆算子，即成立。反之，設(shè)存在有界線性逆算子，于是由前證有存在有界線性逆算子。性質(zhì)（6）得證。定理證畢。（7）設(shè)，則，于是由性質(zhì)（6），存在有界線性逆算子，而，可見，故。同理可證即所以 而分別是，的余集，因此習題4,41設(shè)是空間，是內(nèi)積空間，若，有，求證。2設(shè)是空間，求證是自反空間。3證明，

29、其中分別是空間上單位算子和零算子。4 試求作用于上的算子的共軛算子：（1）（2）。5試求作用于上的算子的共軛算子：（1），其中，是實常數(shù)；（2），其中。6 設(shè)是復空間，。求證：若，則對任意，有。7設(shè)是空間，且，求證：。8設(shè)，是空間，。記的零空間與值域分別為，。（1） 任，若，求證；（2） 若（1）中，都是閉線性子空間，若，求證；（3） 求證； 。9 設(shè)是復空間，是的閉線性子空間，求證：若是是某個非零有界線性泛函的零空間，則是的一維空間。4.5自共軛算子在4.4節(jié)中我們引進了空間上共軛算子的概念，如果，那么。當是實空間且是有窮維時，算子就可看成實方陣，而就是的轉(zhuǎn)置。若=，那么矩陣就是對稱矩陣。通

30、過線性代數(shù)我們知道，對稱矩陣有很多好的性質(zhì)。在這里我們將對稱矩陣的概念一般化，引入一類重要的算子?！径x4.9】 若=，則稱為自共軛算子（或自伴算子）?！径ɡ?.13】 設(shè)是空間，則下面的結(jié)論成立：（1） 若，則為自共軛算子當且僅當對是實數(shù)。（2） 若且為自共軛算子，則對任何實數(shù)是自共軛算子。（3） 若且為自共軛算子，則是自共軛算子的充要條件是。證明：（1）設(shè)對任何，是實數(shù)，來證。由于所以，令，那么。又及于是得及故，對，可見，即是零算子。于是。反之，若，則那么是實數(shù)。（2）由性質(zhì)（1）之證，由于是實數(shù)，所以是自共軛算子。 （3）首先設(shè)，那么由共軛算子的性質(zhì)知即自共軛，反之 注：從定理4.13的

31、性質(zhì)（2）可以看出，自共軛算子組成的一個實線性子空間，而且從下面的定理近一步得知，這個子空間在算子的一致收斂和強收斂下均是閉子空間。【定理4.14】設(shè)是一列自共軛算子，。若對每個，有，則是自共軛算子。證明：對，由及內(nèi)積的連續(xù)性得故 【推論4.3】設(shè)是一列自共軛算子，且，則也是共軛的。證明：由算子的一致收斂可推出算子的強收斂，再由定理4.14可證得此推論成立。【定理4.15】自共軛算子的每個譜點都是實數(shù)。證明：設(shè)，來證，則。對每個是實數(shù)，于是 可見算子是一對一的，下面證的值域是閉的。設(shè)，于是有。由式得因此是列，而完備，故存在，使。根據(jù)的連續(xù)性，有，即。這樣由投影定理得知，為證，僅需證。若不然，設(shè)

32、，但。因為，那么亦即。注意到是自共軛算子，等式左邊是實數(shù)，而等式右邊是復數(shù)，矛盾。故，這說明是上一對一滿設(shè)。因此由逆算子定理，即。 從定理4.15可見自共軛算子的譜集是實數(shù)軸上的一個有界閉集，下面的定理4.16進一步說明譜集的范圍?！径ɡ?.16】 對于自共軛算子，令則：（1）；（2）且。證明：記，對于，有，于是，即。另一方面，對任何可直接驗證下面等式成立：于是得設(shè)特別取，則，即故，因此。仿定理4.15之證，得。同理，若可得。這樣下面來證（類似可證，）。注意到得可取列使得，且。又 故不存在有界線性逆算子，若不然，則由 得出矛盾。 就一般而言，自共軛算子未必有特征值，但當算子是緊自共軛時，特征值

33、一定存在?！径ɡ?.17】設(shè)是緊自共軛算子，那么有特征值。證明：如果是零算子，則結(jié)論顯然?，F(xiàn)設(shè)（零算子）。不失一般性，設(shè)，則，由之定義，此時。取且，使。因是緊算子，那么有收斂子序列。設(shè)，因為則 所以，即。因，則，所以是的特征值。結(jié)合第3章關(guān)于緊算子的理論，如果是自共軛算子，那么的譜集將十分簡單，即存在一組互不相同的非零實數(shù)（有窮或可列），每個是的特征值，使。記，即為算子對應特征值的特征子空間的維數(shù)，為該子空間的規(guī)范正交基，則若可以展成則。習題4.51在中舉例說明線性算子滿足，但不是自共軛算子。 2設(shè)是空間上的自共軛算子，證明：對任何偶自然數(shù)都有。3設(shè)（二維酉空間），定義算子為求，并證明。4設(shè)是

34、空間，稱為正規(guī)算子，是指。證明：如果 是自共軛算子，則是正規(guī)算子，請舉例說明是正規(guī)算子，但卻不是自共軛算子。5設(shè)是空間，證明：為正規(guī)算子的充要條件是存在兩個自共軛算子，且，使。6設(shè)是空間上一列正規(guī)算子，若，證明：為正規(guī)算子。7若是空間上一個正規(guī)算子，證明：。4.6 投影算子 正算子和酉算子利用投影定理我們引進投影算子的概念，投影算子也是一類非常重要的自共軛算子?！径x4.10】 設(shè)是空間的一個給定的閉子空間，則對，由投影定理，存在惟一的垂直分解其中。定義算子 為，并稱為由到上的投影算子。注：根據(jù)投影算子的定義，對每個投影算子，惟一對應一個閉子空間，使，為清楚起見，有時記為。【定理4.18】（1

35、）投影算子是有界線性算子。（2）當時，。（3）。（4）即是冪等算子。證明：對任意及任意元素，有由于，都是線性子空間，那么故。因此即是線性算子。另一方面，由，得，即，說明是有界的。因，取，由的定義有，于是等價于因此，得。定理4.18之性質(zhì)（3），性質(zhì)（4）由的定義顯然成立?！径ɡ?.19】為投影算子的充要條件是：（1）是自共軛算子；（2）是冪等，即。證明：設(shè)是投影算子，則條件（2）自然成立，僅需證明是自共軛算子，對任意，記于是故，因此。反之，設(shè)條件（1），設(shè)條件（2）成立，來證明是某一閉子空間上的投影算子。記（算子的值域），顯然是的子空間。我們來證是閉的。設(shè)，取使，根據(jù)條件（2），再由的連續(xù)性，

36、得。故。對，來證。事實上由條件（1）和條件（2），對任何，有可見，特別且，即是的投影算子。讀者利用定理4.19很容易證明投影算子的如下性質(zhì)：（1）設(shè)是兩個投影算子，則為投影算子的充要條件是，此時是的投影算子。（2）設(shè)是兩個投影算子，則為投影算子的充要條件是，此時是的投影算子。現(xiàn)在引進另一類特殊的自共軛算子正算子。【定義4.11】設(shè)是空間，是上自共軛算子，若對，有。則稱為正算子。記為。注：（1）通過正算子的概念，我們可對自共軛算子類引進一種序，設(shè)，是自共軛算子，若，則記（注意 ，不必是正算子）。（2）對上的任何有界線性算子，及都是正算子，這是因為，（3）若是正算子，是兩個非負實數(shù)，則也是正算子。（4）若是正算子，